高二數(shù)學(xué) 新人教版(A版) 選擇性必修1：直線的點(diǎn)斜式方程-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA019學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上

課題2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師傅靖北京市第二中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)與技能：

（1）推導(dǎo)并掌握直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程；

（2）能正確利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式公式求直線方程；

（3）體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)解析式的關(guān)系.

2．過程與方法：通過已知直線上的一點(diǎn)和直線的方向的代數(shù)表示，借助坐標(biāo)法探究直

線的點(diǎn)斜式方程，并進(jìn)一步探究直線的斜截式方程，深化直線的幾何特征與方程之間的關(guān)系.

3．情態(tài)與價(jià)值觀：從學(xué)生熟悉的問題入手，深化直線的幾何特征與代數(shù)表達(dá)之間的內(nèi)

在聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生利用幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的解析思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系、

相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.

教學(xué)重點(diǎn)：推導(dǎo)直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程；

教學(xué)難點(diǎn)：理解直線上點(diǎn)的幾何特征與直線上點(diǎn)坐標(biāo)滿足的直線方程間的對應(yīng)關(guān)系；

教學(xué)過程

教

時(shí)學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)

節(jié)

問題：如何表示出過已知點(diǎn)，且斜率為的直線的方程？

1P0(x0,y0)k

追問1：如何建立直線的方程？

引導(dǎo)學(xué)生明確：介紹建立直線的方程的過程：利用確定直線位置的幾何要素，

探

建立直線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y所滿足的關(guān)系式.

究

意圖：明確直線的方程的含義.

新

知

問題：如何表示出過已知點(diǎn)，且斜率為的直線的方程？

1P0(x0,y0)k

引導(dǎo)學(xué)生明確：直線方程是直線上任意點(diǎn)的幾何特征進(jìn)行代數(shù)表示.過已知點(diǎn)P，

且斜率為k的直線的幾何特征：直線上任意點(diǎn)與已知點(diǎn)連線的斜率等于直線的

斜率.

解：如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為，設(shè)是直線上不同

lP0(x0,y0)kP(x,y)l

于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，因?yàn)橹本€l斜率為k，由斜率

yy

公式得0，整理得

kyy0k(xx0).

xx0

意圖：利用直線上任意點(diǎn)的幾何特征表示直線的

代數(shù)形式；突出利用解析思想探究直線的方程.

yy

追問2：k0能否直接表示直線l？為什么要進(jìn)行變形？

xx0

yy

引導(dǎo)學(xué)生觀察：分式表達(dá)式中分母，，即分式0無法

xx00xx0k

xx0

表示點(diǎn)；而變形后即可表示直線上的所有點(diǎn)，即可表示直線并

P0(x0,y0)ll.

且知道直線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足直線的方程.

意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察分式表達(dá)式中的限制條件，對表達(dá)式進(jìn)行合理變形，得到

直線的方程.

追問3：坐標(biāo)滿足該式的每一個(gè)點(diǎn)是否都在直線l上？

引導(dǎo)學(xué)生思考：已知直線的代數(shù)表示，檢驗(yàn)任意點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足直線上任意

點(diǎn)的幾何特征.

解：若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足關(guān)系式，則；

P1(x1,y1)x1,y1y1y0k(x1x0)

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)點(diǎn)與重合，顯然有點(diǎn)都在直線上；

x1x0y1y0P1P0P1l

yy

當(dāng)時(shí)，有10，這表明過點(diǎn)，的直線的斜率為

x1x0kP1P0l1k.

x1x0

因?yàn)橹本€的斜率都為，且都過點(diǎn)，所以它們重合，點(diǎn)在直線上

l,l1kP0P1l.

意圖：明確直線l上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足關(guān)系式；坐標(biāo)滿足這個(gè)方程的

每個(gè)點(diǎn)都在直線.

問題：如何表示出過已知點(diǎn)，且斜率為的直線的方程？

1P0(x0,y0)k

引導(dǎo)學(xué)生明確：直線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足直線的方程;同時(shí)坐標(biāo)滿足方程的

點(diǎn)都在直線上.

我們將稱為過點(diǎn)，斜率為的直線的點(diǎn)斜式方

yy0k(xx0)P0(x0,y0)kl

程，簡稱點(diǎn)斜式；

意圖：明確直線的點(diǎn)斜式方程的定義.

問題：直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為時(shí)，直線的方程是什么？

2lP0(x0,y0)0l

引導(dǎo)學(xué)生思考：已知直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角，可通過求解直線的斜率，

代入直線的點(diǎn)斜式方程表示直線，或利用直線上任意點(diǎn)的幾何特征來進(jìn)行代數(shù)

表示

解法：如圖，此時(shí)，則由直線的點(diǎn)斜式方程得：

1ktan00yy00.

解法2：如圖，ktan00k0，這時(shí)直

線與軸平行或重合，直線的方程

lxlyy0.

問題：直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為時(shí)，直線的方程是什么

3lP0(x0,y0)90l?

引導(dǎo)學(xué)生思考：已知直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角為90，直線沒有斜率，不

能用直線的點(diǎn)斜式方程，需要通過直線上任意點(diǎn)的幾何特征推導(dǎo)直線的代數(shù)形

式，得到直線的方程.

解：如圖，此時(shí)由于tan90無意義，即直線沒有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行

或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.又因?yàn)檫@時(shí)直線l

上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，即它的方程為

x0xx0.

意圖完善直線的點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用范圍，說明直線的點(diǎn)

斜式方程無法表示所有的直線，需要注意斜率不存在的

情況.

小結(jié)：已知直線上一點(diǎn)和直線的方向，表示直線的方程.

活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考：已知直線過點(diǎn)，若想利用直線的點(diǎn)斜式方程

P0(x0,y0)

知

表示直線，關(guān)鍵要考慮直線的斜率是否存在：

識(shí)

若直線的斜率存在，無論斜率是否為0，即傾斜角是否為0，都可以用直線的

小

點(diǎn)斜式方程來表示直線；

結(jié)

若直線的斜率不存在，即傾斜角為90時(shí)，則無法應(yīng)用點(diǎn)斜式方程，直線的方

程表示為

xx0.

意圖：小結(jié)核心知識(shí)，強(qiáng)化直線的點(diǎn)斜式方程需注意應(yīng)用條件.

例：直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角，求直線的點(diǎn)斜式方程，并

1lP0(2,3),45l

畫出直線l.

引導(dǎo)學(xué)生明確解題思路：已知直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角為，可通過求解直

線的斜率，代入直線的點(diǎn)斜式方程表示直線.

梳理解題過程：

解：直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角，則斜率，代入

lP0(2,3),45ktan451

點(diǎn)斜式方程得：，即

例y31[x(2)]y3x2.

題

而若想畫出直線，先確定點(diǎn)的位置，雖然本題的直線是由一點(diǎn)和斜率的確

lP0

解

析定，但在畫直線時(shí)并不好操作，實(shí)際上，通過直線上的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足

直線方程這一本質(zhì)特征，我們只需找出滿足直線方程的直線上的另一點(diǎn)的另一

點(diǎn)，即可通過確定兩點(diǎn)畫出這條直線。例如，取，代入直線的方程，

P1x11

得到，則得到的點(diǎn)，則過，兩點(diǎn)的

y14P1(1,4)P0P1

直線即為所求，如圖所示.

意圖：明確問題思考過程，應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)解決問題.

問題：如何表示過點(diǎn)，斜率為的直線方程？

4P0(0,b)k

引導(dǎo)學(xué)生思考：已知直線的斜率和直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可直接將已知代入點(diǎn)斜

式方程得到，化簡后得我們將

yy0k(xx0),ybk(x0)ykxb.

該式稱為直線的斜截式方程，簡稱斜截式.

意圖：借助直線的點(diǎn)斜式方程探究直線的斜截式方程.

探

追問1：如何理解與應(yīng)用直線的斜截式方程ykxb?

究

新引導(dǎo)學(xué)生明確：“斜”表示斜率k；“截”表示直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為

知直線在y軸上的截距；強(qiáng)調(diào)截距不是距離，而是交點(diǎn)的坐標(biāo)；直線的斜截式方

程是特殊的點(diǎn)斜式方程，兩者都只能表示斜率存在的直線.

意圖：說明并理解直線的斜截式方程.

追問2：如何從直線方程的角度認(rèn)識(shí)一次函數(shù)ykxb？

引導(dǎo)學(xué)生思考：直線方程是直線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)所滿足的代數(shù)關(guān)系，由

于直線上點(diǎn)的任意性，因此在坐標(biāo)系中表示變量x，y間的對應(yīng)關(guān)系，而它也就

是一次函數(shù)對應(yīng)的圖象.初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)y=kx+b時(shí)，只知道k，b是常數(shù)，

但是沒有說明它們的幾何意義.現(xiàn)在，從直線方程的角度我們知道了k，b的幾

何意義為函數(shù)對應(yīng)的直線的斜率和直線在y軸上的截距.

追問3：一次函數(shù)y2x1，yx3，y3x對應(yīng)的圖象都是直線，這

三條直線的斜率和直線在y軸上的截距是什么？

引導(dǎo)學(xué)生思考：y2x1圖象對應(yīng)的直線斜率為2，直線在y軸上的截距為1，

與y軸交點(diǎn)為(0，1)；

yx3圖象對應(yīng)的直線斜率為1，直線在y軸上的截距為3，與y軸交點(diǎn)

為(0，3)；

y3x圖象對應(yīng)的直線斜率為3，直線在y軸上的截距為0，與y軸交點(diǎn)為(0，0).

意圖：從直線方程的角度認(rèn)識(shí)一次函數(shù)；深化數(shù)形間的內(nèi)在聯(lián)系.

例：已知直線，，試討論：

2l1:yk1xb1l2:yk2xb2

（）的條件是什么？

1l1//l2

（）的條件是什么？

2l1l2

引導(dǎo)學(xué)生明確思路：找到判斷兩條直線位置關(guān)系的條件，即要判斷能確定直線

的幾何要素之間的關(guān)系由題意，在直線的斜截式方程中判斷之間的

.k1,k2,b1,b2

例關(guān)系.分別說明兩直線平行或垂直的幾何特征所對應(yīng)的代數(shù)表達(dá).

題梳理解題過程：

解解：若，則，此時(shí)與軸的交點(diǎn)不同，即；反之，

(1)l1//l2k1k2l1,l2yb1b2

析

若，，則

k1k2b1b2l1//l2.

若，則；反之，若，則

(2)l1l2k1k21k1k21l1l2.

小結(jié)：對于直線

l1:yk1xb1,l2:yk2xb2.

，且；

l1//l2k1k2b1b2l1l2k1k21.

補(bǔ)充說明：相交

l1,l2k1k2.

核心知識(shí)：

yy