廣東省深圳市聚龍科學(xué)中學(xué)教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省深圳市聚龍科學(xué)中學(xué)教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.下列說法正確的是（

）A.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C.若，，則D.向量與向量的長度相等【答案】D【解析】單位向量是指模等于的向量.若兩個單位向量平行，它們的方向可能相同或相反.當(dāng)方向相反時，這兩個單位向量并不相等.所以A選項錯誤.兩個有共同起點且長度相等的向量，它們的方向不一定相同.向量由大小和方向共同決定，方向不同時，終點也不同.比如，以原點為起點，長度都為的向量，一個沿軸正方向，一個沿軸正方向，它們的終點顯然不同.所以B選項錯誤.當(dāng)時，對于任意向量和，都有且，但與不一定平行.因為零向量與任意向量都平行.所以C選項錯誤.向量與向量是方向相反的向量，但它們的長度是相等的，因為向量的長度只與向量的大小有關(guān)，與方向無關(guān).所以D選項正確.故選：D.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由于為純虛數(shù)，所以且，解得.故選：C.3.下列各式中不能化簡為的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A：，不符合題意；B：因為，，若，即，可得，即點與點重合，顯然這不一定成立，所以與不一定相等，符合題意；C：，不符合題意；D：，不符合題意.故選：B.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，，對應(yīng)點為.故選：B．5.已知向量，，，若點不能構(gòu)成三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，若點三點共線，則點不能構(gòu)成三角形，即，解得：，所以的值為.故選：B.6.已知平面向量滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，則，由，得，因此，所以.故選：A.7.設(shè)非零向量滿足，，則四邊形ABCD形狀（）A.平行四邊形 B.矩形 C.正方形 D.菱形【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以，根據(jù)平行四邊形法則，所以四邊形ABCD是菱形，又因為，所以，所以四邊形ABCD是正方形.故選：C.8.在中，點D在BC上，且滿足，點E為AD上任意一點，若實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由三點共線可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故選：D.二、多項選擇題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.）9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題，其中真命題是（）A. B.C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.的虛部為【答案】ABCD【解析】，，故A正確；，故B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；的虛部為，故D正確.故選：ABCD.10.已知向量，則下列說法正確的是（）A. B.與的夾角為C.若，則 D.存在，使得【答案】ACD【解析】對于A，由題可知，故A項正確；對于B，，故與的夾角為，故B項錯誤；對于C，若，則，故C項正確；對于D，若，則，則當(dāng)時，可以使，故D正確.故選：ACD.11.在正方形中，，點E滿足，則下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，C.存在t，使得 D.的最小值為2【答案】BC【解析】由題可以A為原點，AB、AD分別為和軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則由題意，故，對于A，當(dāng)時，則由可知，所以，又，故，故A正確；對于B，當(dāng)時，則由可知，所以，，所以，故B錯誤；對于C，由可得，故，，則，故不存在t，使得，故C錯誤；對于D，由C得，故，又，故當(dāng)時，取得最小值為，故D正確.故選：BC.三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分.）12.若向量，，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】因為向量，，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以，當(dāng)時，，解得，所以若，則，即的取值范圍為.13.已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】設(shè)點為坐標(biāo)原點，點在線段的延長線上，且，，即，．點的坐標(biāo)為．14.在山腳A測得山頂P的仰角，沿傾斜角的公路向上走600m到達(dá)B處，在B處測得山頂P的仰角，如圖，若在山高的處的點S位置建造下山索道，則此索道離地面的高度為______m.【答案】【解析】過B作，垂足為，因為，在中，可得，在中，則，由正弦定理可得，在中，可得，則山的高度，所以索道離地面的高度為（m）.四、解答題（共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.設(shè)是不共線的兩個非零向量．（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數(shù)k的值，并指出與反向共線時k的取值.解：（1）由，得，，所以，且有公共點B，所以三點共線.（2）由與共線，則存在實數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個非零向量，因此，解得，或，實數(shù)k的值是.當(dāng)時，與反向共線.16.已知向量與夾角，且，．（1）求，，在上的投影向量；（2）求向量與夾角的余弦值．解：（1），所以，，所以，在上的投影向量為：（2），設(shè)向量與夾角為，則.17.在中，角的對邊分別是，已知.（1）求；（2）若，且周長為，求.解：（1）在中，由及正弦定理得，而，則，又，所以或.（2）由的周長為，，得，在中，由余弦定理得，即，則，當(dāng)時，，于是，，此方程無解；當(dāng)時，，于是，解得或，所以當(dāng)時，無解；當(dāng)時，或.18.在中，角的對邊分別是，．（1）求C；（2）若，的面積是，求的周長．解：（1）由題意在中，，即，故，由于，所以.（