廣西壯族自治區(qū)桂林市2025屆高考第一次跨市聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)桂林市2025屆高考第一次跨市聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】，所以的虛部為2，故選：D．2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】，，故選：C.3.巴黎奧運(yùn)會(huì)在2024年7月27日至8月12日舉行，在這期間，中國(guó)視聽(tīng)大數(shù)據(jù)（CVB）顯示，直播總觀看戶次超46億，分天觀看戶次（億）分別為：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（）A.2.03 B.2.21 C.2.12 D.3.55【答案】B【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，，取第五位數(shù)據(jù)2.21，故選：B．4.已知直線的一個(gè)方向向量為，則過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的方向向量為，則斜率為，因?yàn)橹本€與垂直，所以斜率為又過(guò)點(diǎn)，所以直線方程，整理可得.故選：D.5.在平行六面體中，，則直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以為基底，則，，則，，，所以，則直線所成角的余弦值為.故選：A.6.“，使”的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，有解；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，所以有解；當(dāng)時(shí)，有解，則，解得；綜上可得；因?yàn)檎姘?，所以“，使”的一個(gè)充分不必要條件是.故選：C.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由雙曲線可知漸近線方程為，因?yàn)?，所以，在中，，，可?即，則又因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以，解得，可得.故選：B.8.函數(shù).若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)時(shí)：為增函數(shù)，也為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱在為減函數(shù)，，，.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則（）A.B.常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)C.二項(xiàng)式系數(shù)最大值為20D.所有項(xiàng)系數(shù)之和等于1【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題意，二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則，解得，故A正確；對(duì)于B，通項(xiàng)公式為，令，得，則第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中間項(xiàng)第四項(xiàng)，所以為，故C正確；對(duì)于D，令則系數(shù)和為，故D正確.故選：ACD.10.已知數(shù)列滿足，則（）A.B.若，則C.D.若數(shù)列滿足，記為的前項(xiàng)和，則【答案】ABD【解析】由遞推公式得，，構(gòu)造新數(shù)列得，，所以是公比為3，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，所以，所以，故A正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shù)列前項(xiàng)和為：，所以，故B正確；由得，，所以，故D正確；故選：ABD．11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為與軸的交點(diǎn)為，過(guò)的直線與分別交于兩點(diǎn)，則以下選項(xiàng)正確的是（）A.坐標(biāo)為B.當(dāng)時(shí)，C.若，則D.過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線與交于兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為32【答案】ABD【解析】對(duì)于A，拋物線：，焦點(diǎn)坐標(biāo)，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，由題意知，直線斜率不零，設(shè)直線，，可推出：，，所以，解得，所以，故B正確；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，設(shè)直線，同理推出，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則在上的投影向量為_(kāi)_________（用坐標(biāo)表示）.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，則在上的投影向量為：.故答案為：.13.已知正四面體中，，則該四面體內(nèi)半徑最大的球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，則點(diǎn)是的中心，正四面體內(nèi)半徑最大的球?yàn)閮?nèi)切球，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，其內(nèi)切球球心和外接球球心都在垂線上，設(shè)為點(diǎn)，為外接球半徑，為內(nèi)切球半徑.在中，，，，則，所以，解得，所以內(nèi)切球表面積.故答案為：.14.已知函數(shù)，其中，記函數(shù)的最小值為，若，都有，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】，設(shè)，則，令，，當(dāng)，則，所以，得，則在單調(diào)遞減，當(dāng)，則，所以，得，則在單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，只需大于的最大值，令，則，可得，則的最大值為，所以，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值；（3）若的面積為為的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．解：（1），又據(jù)余弦定理，∴，．（2）由及已知得，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的周長(zhǎng)最大值為．（3），則，，則，解得，∴，又為的中點(diǎn)，，又由勾股定理得．16.某所學(xué)校進(jìn)行知識(shí)競(jìng)賽，最終甲乙同學(xué)進(jìn)入決賽，爭(zhēng)奪冠軍，決賽一共有文化?科技?體育三個(gè)項(xiàng)目，比賽采取每個(gè)項(xiàng)目中回答對(duì)問(wèn)題多的那個(gè)同學(xué)在該項(xiàng)目獲勝并且獲得20分，沒(méi)獲勝的同學(xué)得0分，三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束，總得分高的同學(xué)獲得冠軍，已知甲同學(xué)每個(gè)項(xiàng)目獲勝的概率分別為，比賽沒(méi)有平局，且每個(gè)項(xiàng)目比賽相互獨(dú)立.（1）求乙同學(xué)總得分為40分的概率；（2）用表示甲同學(xué)的總得分，求的分布列與期望；（3）判斷甲乙兩名同學(xué)誰(shuí)獲得冠軍的概率大.解：（1）設(shè)三個(gè)項(xiàng)目乙獲勝的事件分別為，乙同學(xué)總得分40分記為事件，則，且.（2）由題可知甲總得分的分布列：0204060.（3）甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，因?yàn)?，所以甲獲勝概率更大.17.如圖，梯形中，為上一點(diǎn)，，且，將沿著翻折至所在位置，使得平面平面，連接，得到四棱錐為中點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求直線與平面所成角的正弦值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.三點(diǎn)分別為的中點(diǎn)在平面中，，又平面平面平面同理，，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面，平面平面.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平?所以，平面.過(guò)作的平行線，過(guò)作交于點(diǎn).以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.梯形中，，，所以，則.所以.假設(shè)在上存在點(diǎn)使得，設(shè)，設(shè)，則，解得.因?yàn)椋?，解?，因?yàn)槠矫嫫矫妫嗜∑矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以，線段上存在點(diǎn)使得，直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓為的右焦點(diǎn)，短半軸長(zhǎng)為為上動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)為外一點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，（i）為原點(diǎn)，若，求直線的方程；（ii）記直線的斜率分別為，若，求的面積．解：（1），，可得橢圓方程：．（2）（i）設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)，則，則，由題，可得：，則，，則直線的方程為：或．（ii）①當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不妨設(shè)，則，，所以，；②當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)，由（i）得，，則，，，所以點(diǎn)在定直線上，平行直線，點(diǎn)到直線的距離，，綜上可知，的面積為．19.對(duì)，若函數(shù)在有不等式，則稱函數(shù)是在上的“凹函數(shù)”，反之，若不等式，則稱函數(shù)是在上的“凸函數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．也可理解為若函數(shù)在上可導(dǎo)，為在上的導(dǎo)函數(shù)，為在上的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是在上的“凹函數(shù)”，反之，當(dāng)時(shí)，則稱函數(shù)是在上的“凸函