河北省保定市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省保定市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.曲線在處的切線傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)曲線在處的切線傾斜角為，因?yàn)?，則.所以曲線在處的切線傾斜角是，故選：D.2.某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表：已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（）789100.10.3A. B. C. D.【答案】C【解析】的數(shù)學(xué)期望，由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，得，解得，．故選：C．3.某學(xué)校安排3名教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生社團(tuán)，每名教師至少指導(dǎo)一個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)只需一位指導(dǎo)老師，則不同的安排方式共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.72種【答案】C【解析】4個(gè)學(xué)生社團(tuán)，分為2，1，1的組，則有種分組情況，再分配給3位老師，則有種方法.故選：C4.在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的通項(xiàng)為，所以，含的項(xiàng)為，即含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.5.下列說(shuō)法正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.若隨機(jī)變量，其中，則C.若隨機(jī)變量，則越小，越大D.若隨機(jī)變量，且，則【答案】C【解析】因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以越小，的概率曲線越集中于對(duì)稱(chēng)軸處，，所以越大，故C正確；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機(jī)事件存在如下關(guān)系：.對(duì)于一個(gè)電商平臺(tái)，用戶(hù)可以選擇使用信用卡?支付寶或微信進(jìn)行支付.已知使用信用卡支付的用戶(hù)占總用戶(hù)的，使用支付寶支付的用戶(hù)占總用戶(hù)的，其余的用戶(hù)使用微信支付.平臺(tái)試運(yùn)營(yíng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)三種支付方式都會(huì)遇到支付問(wèn)題，為了優(yōu)化服務(wù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)支付問(wèn)題的概率是0.06，若一個(gè)遇到支付問(wèn)題的用戶(hù)，使用三種支付方式支付的概率均為，則使用微信支付遇到支付問(wèn)題的概率是（）A.0.1 B.0.06 C.0.4 D.0.05【答案】D【解析】設(shè)分別表示事件使用信用卡支付?使用支付寶支付?使用微信支付，表示事件出現(xiàn)支付問(wèn)題，則，所以使用微信支付遇到支付問(wèn)題的概率，.故選：D.7.設(shè)，且隨機(jī)變量的分布列是：01則的最小值為（）A0 B. C. D.【答案】B【解析】由分布列得，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B.8.已知函數(shù)，若過(guò)可做兩條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)的切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以切線方程為，又在切線上，所以，整理得，則過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切線條數(shù)即為直線與曲線的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?，得，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的圖象大致如圖：所以當(dāng)時(shí)，圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，切線有兩條.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.保定某中學(xué)上午大課間跑操，為了提升班級(jí)跑操水平，某班在跑操后進(jìn)行分組訓(xùn)練，現(xiàn)六名同學(xué)一組進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若不在第一個(gè)，則不同的排序種數(shù)有480種B.若和不相鄰，則不同的站隊(duì)方式共有480種C.若和相鄰，且不在兩端，則不同站隊(duì)方式共有120種D.排在之前的概率為【答案】BD【解析】對(duì)于，若甲不排第一個(gè)，則甲有5種排法，其余5個(gè)人全排，共有種；對(duì)于，先排列除與外的4個(gè)人，有種方法，利用插空法將和插入5個(gè)空，有種方法，則共有種方法；對(duì)于，若和相鄰，利用捆綁法不同站隊(duì)方式有種，若和相鄰且在兩端，則站隊(duì)方式有種，故由間接法得站隊(duì)方式共有192種；對(duì)于排在之前的概率為.故選：BD.10.若，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】設(shè)，對(duì)A：令，則，故A正確；對(duì)B：令，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則，結(jié)合B中所求，則，解得，故C正確；對(duì)D：，令，則，故，又，故，故D正確；故選：ACD.11.甲?乙?丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人.設(shè)第次傳球后球在甲?乙?丙手中的概率依次為，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】第一次傳球后到乙或丙手里，故，第二次傳球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，故A正確；第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個(gè)結(jié)果，它們等可能，3次傳球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個(gè)結(jié)果，所以概率為，故B錯(cuò)誤；第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙共4個(gè)結(jié)果，它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個(gè)結(jié)果，所以概率是，故C正確；，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】由題意得，，所以，即，所以.故答案為：13.若隨機(jī)變量，且，則__________，__________.【答案】①②【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，所以，解得，則.故答案為：；.14.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為且外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開(kāi)之前，主持人先隨機(jī)打開(kāi)另一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的箱子，并問(wèn)抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇.現(xiàn)在已知甲選擇了1號(hào)箱，若用表示號(hào)箱有獎(jiǎng)品，用表示主持人打開(kāi)號(hào)箱子，則__________.【答案】【解析】獎(jiǎng)品在1號(hào)箱里，主持人可打開(kāi)2，3號(hào)箱，故；獎(jiǎng)品在2號(hào)箱里，主持人打開(kāi)3號(hào)箱的概率為1，故；獎(jiǎng)品在3號(hào)箱里，主持人只能打開(kāi)2號(hào)箱，故，由全概率公式可得：，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和為81.（1）求的值；（2）求含的項(xiàng)的系數(shù)；（3）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：（1）因?yàn)榈恼归_(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為81，所以令，則，解得.（2）由第項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)為.（3）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第三項(xiàng)，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是.16.袋中有除顏色外其他都相同的7個(gè)小球，其中4個(gè)紅色，3個(gè)黃色.（1）甲?乙兩人依次不放回各摸一個(gè)球，求甲摸出紅球，乙摸出黃球的概率；（2）甲從中隨機(jī)且不放回地摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時(shí)即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù)，求：①的值；②隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)事件為“甲摸出紅球”，事件為“乙摸出黃球”，.（2）①由已知得從袋中不放回的摸球兩次的所有取法有種，事件表示第一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次取紅球，故事件包含種取法，所以.②的可能取值為：，.則的概率分布為2345所以的數(shù)學(xué)期望為17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最小值為0，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，又，所以切線方程為（或?qū)懗?（2），定義域?yàn)?，，令得；①?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，這時(shí)，不合題意，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)單調(diào)遞減單調(diào)遞增，這時(shí)，解得；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，這時(shí)，解得（舍去），綜上：.18.學(xué)校組織一項(xiàng)競(jìng)賽，在初賽中有兩輪答題：第一輪從類(lèi)的三個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)選兩題作答，每答對(duì)一題得30分，答錯(cuò)得0分；第二輪從類(lèi)的分值分別為40，70的2個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)選1題作答，每答對(duì)一題得相應(yīng)滿(mǎn)分，答錯(cuò)得0分.若兩輪總積分不低于100分，則晉級(jí)復(fù)賽.甲?乙同時(shí)參賽，在類(lèi)的三個(gè)問(wèn)題中，甲每個(gè)問(wèn)題答對(duì)的概率均為，乙只能答對(duì)其中兩個(gè)問(wèn)題；在類(lèi)的2個(gè)分值分別為40，70的問(wèn)題中，甲答對(duì)的概率分別為，乙答對(duì)的概率分別為，甲?乙回答任一問(wèn)題正確與否互不影響.設(shè)甲?乙在第一輪的得分分別為.（1）分別求的概率分布列；（2）分別計(jì)算甲?乙晉級(jí)復(fù)賽的概率.解：（1）根據(jù)題設(shè)可知：，，.所以的分布列為03060因?yàn)橐抑荒艽饘?duì)其中兩道題，所以，，故的分布列為3060（2）記事件表示“甲晉級(jí)復(fù)賽”，事件表示“乙晉級(jí)復(fù)賽”，由于甲、乙回答任一問(wèn)題正確與否互不影響，所以，故甲晉級(jí)復(fù)賽概率為，乙晉級(jí)復(fù)賽概率為.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若滿(mǎn)足，求證：；（3）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意，則.要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，由均值不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立）.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由，可得，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即得證.（3）法一：，則，令，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)