河北省承德市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省承德市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.以下說(shuō)法中正確的是（）A.兩個(gè)具有公共起點(diǎn)的向量，一定是共線向量B.兩個(gè)向量不能比較大小，它們的模也不能比較大小C.單位向量都是共線向量D.向量與向量的長(zhǎng)度相等【答案】D【解析】共起點(diǎn)不代表共線，向量的方向是由起點(diǎn)和終點(diǎn)共同決定的，故A錯(cuò)誤；向量既有大小又有方向，因此兩個(gè)向量不能比較大小，而它們的模是表示它們的有向線段的長(zhǎng)度，是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小，故B錯(cuò)誤；單位向量指的是模長(zhǎng)為1的向量，方向有無(wú)數(shù)種情況，故C錯(cuò)誤；向量與向量的長(zhǎng)度相等，故D正確.故選：D.2.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由兩邊平方得，即.故選：C.3.為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】由題意，所以將的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到的圖象.故選：A.4.函數(shù)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)輔助角公式，其中，可得，，則，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，移項(xiàng)可得，可得，所以.故選：A.5.已知向量，則取得最小值時(shí)值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C.6.如圖，在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，因，即，可得，故.故選：C.7.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.是第四象限角 B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，即點(diǎn)，由題意結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義可知，，則，故，即點(diǎn)，對(duì)于A選項(xiàng)，為第四象限角，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，且函?shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋珻對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉榈谒南笙藿?，則sinα=-1-cos2故選：B.8.點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最小值為（）A.25 B.30 C.60 D.80【答案】B【解析】由題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為30.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列計(jì)算結(jié)果為的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：AD.10.如圖，在正六邊形中，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.向量與向量是平行向量【答案】AD【解析】對(duì)于A，，，由正六邊形的性質(zhì)可知，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)正六邊形每條邊長(zhǎng)為，則故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線但方向相反，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)平行四邊形法則有，與方向相同，故D正確.故選：AD.11.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是D.函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，易知函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，作出函?shù)的圖象如下圖所示：所以，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，可得，解得，所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則___________.【答案】3【解析】因?yàn)?，所以，，所?13.如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，，若，，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意得，所以.14.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.【答案】7【解析】與在上的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7個(gè).四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，而，則，所以.（2）由，得，而，則，所以.16.如圖，在矩形中，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，與的交點(diǎn)為.（1）求；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求.解：（1）因?yàn)?，所以?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得.則.若為的中點(diǎn)，則，故，又由，則.17.已知向量，且與的夾角為.（1）求；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）向量，可得，且.因?yàn)榕c的角為，可得，解得，所以，則，所以.（2）由向量，可得，由，解得，當(dāng)向量與共線時(shí)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）求的圖象的對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值；（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，得，令，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為；令，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為；由，得，所以的單調(diào)通增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值2.（3）由題意得時(shí)，有解，而此時(shí)，即有解，只需要即可，，令，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以的取值范圍是.19.設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量的夾角為，定義一種運(yùn)算“”：.試求解下列問(wèn)題.（1）已知向量滿(mǎn)足，求的