中考數(shù)學復習-圓的切線證明（含答案）

圓的切線證明典例精練【例1】如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上兩點,C是BD的中點，過點C作AD的垂線,垂足是E,連接AC交BD于點F.求證:CE是⊙O的切線.【例2】如圖，△ABC為等腰三角形，O為底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D.求證:AC是⊙O的切線.針對訓練1.(2023達州)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=BC,P是OB的延長線上一點,∠PAB=∠ACB,求證:AP是⊙O的切線.2.如圖,在四邊形ABCD中,AD‖BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直徑,CO平分3.(2024甘肅)如圖,AB是⊙O的直徑,BC=BD,點E在AD的延長線上，且∠ADC=4.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,,點O在AC上,⊙O過點A,交AB,AC于點E,D,且5.如圖，在△ABC中，AB=AC,,以AB為直徑作⊙O,AC與⊙O交于點D,BC與⊙O交于點E，過點C作CF‖AB,且CF=CD,連接BF.求證:BF是⊙O的切線.6.如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,□ODEF的頂點O,D在斜邊AB上,頂點E,F分別在邊BC，AC上，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點D和點E.求證：BC與⊙O相切.7.(2024湖北)如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,,點E在AC上,以CE為直徑的⊙O經(jīng)過AB上的點D,與OB交于點F,且.8.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D,FD‖BC,求證：FD是⊙O的切線.圓的切線證明參考答案典例精練【例1】如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上兩點,C是BD的中點,過點C作AD的垂線,垂足是E,連接AC交BD于點F.求證:CE是⊙O的切線.證明:連接OC交BD于點G,連接OD.∵C是BD的中點,∴∠BOC=∠DOC,OC垂直平分BD.∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°.∵CE⊥DE,∴∠E=90°.又∵∠EDB=∠CGD=90°,∴四邊形CGDE是矩形.∴∠ECG=90°.∴OC⊥CE.又∵OC是⊙O的半徑,∴CE是⊙O的切線.【例2】如圖，△ABC為等腰三角形，O為底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D.求證:AC是⊙O的切線.證明:連接OD,OA,作OE⊥AC于點E.∵AB與⊙O相切,∴OD⊥AB.∵AB=AC,OB=OC,∴∠BAO=∠CAO.∴OD=OE,∴OE是⊙O的半徑.∴AC是⊙O的切線.針對訓練1.(2023達州)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=BC,P是OB的延長線上一點,∠PAB=∠ACB,求證:AP是⊙O的切線.證明:連接OA,OC.∵AB=BC,∴AB=BC,∠CAB=∠ACB.∴∠AOB=∠COB.∴OB⊥AC.∴∠CAB+∠ABO=90°.∴∠ACB+∠ABO=90°.∵∠PAB=∠ACB,∴∠PAB+∠ABO=90°.∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABO.∴∠PAB+∠OAB=90°,即∠OAP=90°.又∵OA是⊙O的半徑,∴AP是⊙O的切線.2.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直徑,CO平分∠BCD.求證：直線CD與⊙O相切.證明:過點O作OE⊥CD于點E.∵AD∥BC,∠DAB=90°,∴∠OBC=90°,即OB⊥BC.∵OE⊥CD,OB⊥BC,CO平分∠BCD,∴OB=OE.∴OE是⊙O的半徑.∴直線CD與⊙O相切.3.(2024甘肅)如圖,AB是⊙O的直徑,BC=BD,點E在AD的延長線上，且證明:連接BD,OC,OD,設AB與CD交于點F.∵BC∴點O,B在CD的垂直平分線上.∴OB垂直平分CD.∴∠AFD=90°.∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE.∴∠ABE=∠AFD=90°.∴AB⊥BE,又∵AB是⊙O的直徑,∴BE是⊙O的切線.4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點O在AC上,⊙O過點A,交AB,AC于點E,D,且EC=BC,求證:EC是⊙O的切線.證明:連接OE.∵AO=EO,EC=BC,∴∠A=∠AEO,∠B=∠BEC.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∴∠AEO+∠BEC=90°.∴∠OEC=180°-90°=90°.∵OE是⊙O的半徑,∴EC是⊙O的切線.5.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O,AC與⊙O交于點D,BC與⊙O交于點E,過點C作CF∥AB,且CF=CD,連接BF.求證:BF是⊙O的切線.證明:連接BD.∵AB是⊙O的直徑,∴∠BDA=90°.∴∠BDC=90°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CF∥AB,∴∠FCB=∠ABC,∠ABF+∠F=180°.∴∠FCB=∠ACB.又∵CF=CD,BC=BC,∴△BCF≌△BCD.∴∠F=∠BDC=90°.又∵∠ABF+∠F=180°,∴∠ABF=90°,即OB⊥BF.又∵OB是⊙O的半徑,∴BF是⊙O的切線.6.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,□ODEF的頂點O,D在斜邊AB上,頂點E,F分別在邊BC，AC上，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點D和點E.求證：BC與⊙O相切.證明：連接OE.∵四邊形ODEF是平行四邊形,∴EF∥OD,EF=OD.∵OA=OD,∴EF∥OA,EF=OA.∴四邊形AOEF是平行四邊形.∴OE∥AC.∴∠OEB=∠ACB.∵∠ACB=90°,∴∠OEB=90°,即OE⊥BC.∵OE是⊙O的半徑,∴BC與⊙O相切.7.(2024湖北)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點E在AC上,以CE為直徑的⊙O經(jīng)過AB上的點D,與OB交于點F,且BD=BC.求證:AB是⊙O的切線.證明：連接OD，在△OBD和△OBC中{BD=BC,∴∠ODB=∠OCB=90°.∵OD為⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.8.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠BAC交⊙O于D,FD∥BC,求證:FD是⊙O的切線.證明:連接OB,O