離散課件 代數(shù)系統(tǒng)和群1學習資料

Galois

第六章群、環(huán)、域§6.1代數(shù)系統(tǒng)

對于代數(shù)系統(tǒng)而言,運算是它的決定性因素,因此,必須首先明確運算的概念。在代數(shù)系統(tǒng)中二元代數(shù)運算用得最多,所以我們給出其定義并討論其性質(zhì)。定義6.1.1設(shè)S是一個非空集合，稱S×S到S的一個映射f為S的一個二元代數(shù)運算，即,對于S中任意兩個元素a,b,通過f,唯一確定S中一個元素c：f（a，b）=c，常記為a*b=c。由于一般情況下,(a,b),(b,a)是S×S中不同的元，故a*b未必等于b*a。例如，S={a,b},則S×S={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}映射f為：(a,a)----a(a,b)----a(b,a)----b(b,b)----bf稱為S的一個二元代數(shù)運算，有

f(a,a)=af(a,b)=af(b,a)=bf(b,b)=b,也可表示為：

a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b有限集合S上的一個二元代數(shù)運算，也可以用一個運算表來表示：例如，設(shè)S={1，-1}運算*為普通的乘法運算，則*1-111-1-1-11上面例子的運算表就可以表為：*abaaabbb例6.1.1自然數(shù)集N上的加法和乘法是N上的二元代數(shù)運算；減法和除法不是N上的二元代數(shù)運算，因為兩個自然數(shù)相減或相除可能得到的不是自然數(shù)。例6.1.2整數(shù)集Z上的加法、減法、乘法都是Z上的二元代數(shù)運算;除法不是Z上的二元代數(shù)運算.例6.1.3非零實數(shù)集R*上的乘法、除法是R*上的二元代數(shù)運算；加法和減法不是R*上的二元代數(shù)運算，因為兩個非零實數(shù)相加或相減可能得出0。例6.1.4矩陣加法和乘法是n階實矩陣集合上的二元代數(shù)運算。例6.1.5設(shè)S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，則集合的交運算∩、并運算∪是ρ（S）上的二元代數(shù)運算。定義6.1.2設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算，如果對于S中任意兩個元素a，b，等式a*b=b*a都成立，則稱運算“*”滿足交換律。例如,整數(shù)上的加法，整數(shù)上的乘法。例如，S={a,b}運算*如下,不滿足交換律*abaaabbb定義6.1.3設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算，如果對于S中任意三個元素a，b，c，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，則稱運算*滿足結(jié)合律。例如整數(shù)上的加法，整數(shù)上的乘法。例如S={a,b}，運算*如下，則不滿足結(jié)合律。*abababba定義6.1.4設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算，a是S中的元素，如果a*a=a則稱a是關(guān)于運算*的冪等元。如果S中每個元素都是關(guān)于*的冪等元，則稱運算“*”滿足等冪律。如在整數(shù)中看，1是關(guān)于乘法的冪等元，0是關(guān)于加法的冪等元，但乘法和加法都不滿足等冪律。定義6.1.5設(shè)*和+是集合S上的兩個二元代數(shù)運算，如果對于S中任意三個元素a，b，c，等式a*(b+c)=(a*b)+(a*c)，(b+c)*a=(b*a)+(c*a）都成立，則稱運算*對+滿足分配律。定義6.1.6設(shè)*和+是集合S上的兩個二元代數(shù)運算，如果對于S中任意兩個元素a，b，等式a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，則稱運算*和+滿足吸收律。例6.1.7整數(shù)集Z上的加法、乘法都滿足結(jié)合律和交換律，乘法對加法滿足分配律，但加法對乘法不滿足分配律；減法不滿足結(jié)合律，也不滿足交換律；它們都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。例6.1.8n階實矩陣集合上的加法滿足結(jié)合律,也滿足交換律;乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律;它們都不滿足等冪律,也不滿足吸收律。例6.1.9設(shè)S是一個非空集合，ρ(S)是S的冪集,則ρ(S)上的交運算∩、并運算∪都滿足結(jié)合律,交換律,∪對∩、∩對∪都滿足分配律,它們都滿足等冪律,也滿足吸收律。定義6.1.7設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算,如果對于S中任意三個元素a,b,c,（1）若a*b=a*c，則b=c，（2）若b*a=c*a，則b=c，就稱*滿足消去律。例如，整數(shù)集Z上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，因為，3*0=5*0，但3≠5。例6.1.10n階實矩陣集合上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，例如，

=,但定義6.1.8設(shè)S是一個非空集合，f1，……，fm是S上的若干代數(shù)運算，把S及其運算f1，……，fm看成一個整體來看,叫做一個代數(shù)系統(tǒng)，記為（S，f1，……，fm）例6.1.11設(shè)S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運算和并運算,則（ρ（S），∩，∪）為代數(shù)系統(tǒng)。例6.1.12設(shè)Z為整數(shù)集,Z0為偶數(shù)集,N為自然數(shù)集,+、·是數(shù)的加法和乘法,則(Z,+)、(Z,·)、(Z,+,·)都是代數(shù)系統(tǒng)；(Z0,+)、(Z0,·)、(Z0,+,·)都是代數(shù)系統(tǒng)；

(N,+)、(N,·)、(N,+,·)都是代數(shù)系統(tǒng)；如果用、⊙分別表示求最大公約數(shù)和求最小公倍數(shù)的運算，那么（Z,,⊙）、（Z0,,⊙）與（N，，⊙）也都是代數(shù)系統(tǒng)。例6.1.13設(shè)∧、∨是真值集合{0，1}上的合取與析取運算，則（{0，1}，∧，∨）是代數(shù)系統(tǒng)。

作業(yè)：181頁，3,4?！?.2群的定義6.2.1半群

定義6.2.1設(shè)G是一個非空集合，若·為G上的二元代數(shù)運算，且滿足結(jié)合律，則稱該代數(shù)系統(tǒng)（G，·）為半群。例如，設(shè)S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運算和并運算，則（ρ（S），∩）為半群，（ρ（S），∪）為半群。例6.2.1設(shè)Z為整數(shù)集,+、-、·是數(shù)的加法、減法和乘法,則(Z,+)、(Z,·)都是半群；（Z，-）不是半群，因為減法不滿足結(jié)合律。例如，

設(shè)N為自然數(shù)集，規(guī)定N上的運算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b，其中+、·是數(shù)的加法和乘法,a，b是N中任意元素。顯然,⊙為N上的二元代數(shù)運算。對N中任意三個元素a,b,c,有：(a⊙b)⊙c=(a+b+a·b)⊙c=(a+b+a·b)+c+(a+b+a·b)·c=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，a⊙(b⊙c)=a⊙(b+c+b·c）=a+（b+c+b·c）+a·（b+c+b·c）=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，故，（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c），⊙滿足結(jié)合律，因此，（N，⊙）為半群。例6.2.2設(shè)S是一個非空集合，規(guī)定S上的運算如下：

ab=b，其中a，b是S中任意元素。顯然為S上的二元代數(shù)運算。對S中任意三個元素a，b，c，有：（ab）c=bc=c，

a（bc）=ac=c，

故，（ab）c=a（bc），滿足結(jié)合律，因此，（S，）為半群。

6.2.2群定義6.2.2設(shè)（G,·）為半群，如果滿足下面條件：

(1)G中有一個元素1，適合對于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;(2)對于G中任意a，都可找到G中一個元素a-1，滿足a·a-1=a-1·a=1，則稱（G，·）為群。元素1稱為G的單位元素（單位元），a-1稱為a的逆元素。如果群G包含的元素個數(shù)有限，則稱G為有限群，否則稱G為無限群。下面用|G|表示有限群G所包含的元素個數(shù)。

例6.2.3設(shè)Z為整數(shù)集合，+、·是數(shù)的加法和乘法，則（1）半群（Z，+）是群。稱為整數(shù)加法群。因為存在存在元素0，適合對于Z中任意a，都有：0+a=a+0=a,即0為單位元；且對于Z中任意元素a。都可以找到Z中的數(shù)a的相反數(shù)-a，滿足:a+(-a)=(-a)+a=0,即-a為a的逆元素。(2)半群（Z，·）不是群。因為雖然存在單位元1，適合對于Z中任意a，都有：1·a=a·1=a,但除了1和-1外。其它元素均無逆元素。

例如，

設(shè)S是一個非空集合，ρ(S)是S的冪集,∩和∪是ρ(S)上的交運算和并運算，則(1)半群(ρ(S),∩)不是群,雖然存在單位元素S,但不是任意元素都存在逆元素；(2)半群(ρ(S),∪)也不是群,雖然存在單位元素：空集，但不是任意元素都存在逆元素。例6.2.4例6.2.2中，如果S不僅有一個元素，則半群(S,)也不是群,因為不存在單位元素。例如，設(shè)A是實數(shù)域上所有n階非奇異矩陣的集合，*為矩陣的乘法，則不難驗證（A，*）是群。例6.2.5設(shè)S={0，1，2，……m-1}，m>0,規(guī)定S上的運算⊕如下：

a⊕b=，其中a，b是S中任意元素，+、-為數(shù)的加與減。則（S，⊕）是群，稱為模m的整數(shù)加法群。6.2.3群的性質(zhì)定理6.2.1設(shè)(G,·)是一個群，則G中恰有一個元素1適合1·a=a·1=a,而且對于任意a恰有一個元素a-1適合a·a-1=a-1·a=1。證明：若1和1’都是單位元素，則1’=1·1’=1，故1’=1。若b和c都有a-1的性質(zhì),則b=b·1=b·(a·c)=（b·a）·c=1·c=c,故b=c.這就是說群的單位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易見（a-1）-1=a。例如，S={0,1,2,3,4},運算⊕是模5加運算，則單位元有且只有一個為0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是4；2的唯一的逆元素是3；3的唯一的逆元素是2；4的唯一的逆元素是1。如果，S={0,1,2,3},運算⊕是模4加運算,則單位元也有且只有一個為0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是3；2的唯一的逆元素是2；3的唯一的逆元素是1。定理6.2.2群定義中的條件（1）和（2）可以減弱如下：（1）’G中有一個元素左壹適合1·a=a;（2）’對于任意a，有一個元素左逆a-1適合

a-1·a=1。

證明：只要證明由（1）’、（2）’（和其余的條件聯(lián)合）可以推出(1)和(2)，即只需證明a·1=a和a·a-1=1。先證a·a-1=1。因為(a-1·a)·a-1=1·a-1=a-1，故(a-1·a)·a-1=a-1。由（2）’，a-1也應(yīng)該有一個左逆適合b·a-1=1。于是,一方面有：

b·（（a-1·a）·a-1）)=b·a-1=l，另一方面有：

b·((a-1·a)·a-1)=(b·a-1)·(a·a-1)=1·（a·a-1）=a·a-1，因此，a·a-1=1。再證a·1=a。事實上，a·1=a·（a-1·a）

=（a·a-1）·a=1·a=a。自然，把（1）’,（2）’中對于左邊的要求一律改成對于右邊的要求也是一樣。定理6.2.3群定義中的條件（1）和（2）等于下列可除條件：對于任意a，b，有χ使χ·a=b，又有y使a·y=b。證明：首先證明在任一群中可除條件成立。因為，取χ=b·a-1，y=a-1·b，即得χ·a=b，a·y=b，故，由(1)和(2)可以推出可除條件成立。再證明由可除條件也可以推出(1)’,(2)’，因而可以推出(1),(2)。事實上,取任意c∈G，命1為適合х·c=c的х，則1·c=c。今對于任意a,有y使c·y=a,故1·a=1·(c·y)=（1·c）·y=c·y=a，即（1）’成立。至于（2）’，只要令a-1為適合х·a=1的х，則a-1·a=1。定理6.2.4設(shè)G是一個群，在一個乘積a1…an中可以任意加括號而求其值。證明：要證定理，只要證明任意加括號而得的積等于按次序由左而右加括號所得的積(…((a1·a2)·a3)…·an-1)·an

（1）（1）式對于n=1，2不成問題；對于n=3,由結(jié)合律也不成問題?，F(xiàn)在對n用歸納法,假定對少于n個因子的乘積（1）式成立，試證對n個因子的乘積（1）式也成立。a1…an任意加括號而得到的乘積A，求證A等于(1)式。設(shè)在A中最后一次計算是前后兩部分B與C相乘：

A=（B）·（C）今C的因子個數(shù)小于n，故由歸納假設(shè),C等于按次序自左而右加括號所得的乘積（D）·an。由結(jié)合律，A=(B)(C)=(B)·((D)·an)=((B)·(D))·an。但（B）·（D）的因子個數(shù)小于n，故由歸納假設(shè)，（B）·（D）等于按次序由左而右加括號所得的乘積(B)·(D)=(…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1因而A=((B)·(D))·an=((…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1）·an即A等于（1）式。當給出二元運算后，若無結(jié)合律，則三個以上元素的運算不一定有意義,需要特殊指定，本定理對有結(jié)合律的一切代數(shù)體系成立?，F(xiàn)在a1…an有意義，當它們都相同時稱n個a連乘積為a的n次方，記為an，記為an。我們規(guī)定a0=1，a-n=（an）-1(=(a-1)n)象在普通代數(shù)中一樣，可以證明對于任意整數(shù)m，n，有第一指數(shù)律am·an=am+n，第二指數(shù)律（am）n=amn。定義6.2.3若群(G,·)的運算·適合交換律，則稱（G，·）為Abel群或交換群.定理6.2.5在一個Abel群（G，·）中，一個乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。證明：考慮一個乘積a1·…·an。設(shè)σ是{1，…，n}上的一個一對一變換，欲證aσ（1）·…·aσ（n）=a1·…·an對n用歸納法，n=1時只有一個a1定理