第8章 整式乘法與因式分解（教師版）3VIP

2023-2024學(xué)年滬科新版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)章節(jié)培優(yōu)復(fù)習(xí)知識(shí)講練第8章整式乘法與因式分解（思維導(dǎo)圖+知識(shí)梳理+十九大重點(diǎn)考向舉一反三講練）1.掌握正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；掌握單項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2.會(huì)推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算；4.理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算，掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解.知識(shí)點(diǎn)01：冪的運(yùn)算【高頻考點(diǎn)精講】1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方：(為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方：(為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0,為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.6.負(fù)指數(shù)冪：(，為正整數(shù)).任何不等于0的數(shù)的－次冪，等于這個(gè)數(shù)的次冪的倒數(shù).【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式，還可以表示多項(xiàng)式；靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡潔.知識(shí)點(diǎn)02：整式的乘法【高頻考點(diǎn)精講】1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即(都是單項(xiàng)式).3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】運(yùn)算時(shí)，要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)前面的“＋”“－”號(hào)是性質(zhì)符號(hào)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式各項(xiàng)的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫成省略加號(hào)的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，能得出一個(gè)應(yīng)用比較廣泛的公式：.知識(shí)點(diǎn)03：乘法公式【高頻考點(diǎn)精講】1.平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.知識(shí)點(diǎn)04：因式分解【高頻考點(diǎn)精講】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項(xiàng)法等.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)完全或十字；四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.重點(diǎn)考向01：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)重點(diǎn)考向02：同底數(shù)冪的乘法重點(diǎn)考向03：冪的乘方與積的乘方重點(diǎn)考向04：同底數(shù)冪的除法重點(diǎn)考向05：完全平方公式重點(diǎn)考向06：完全平方公式的幾何背景重點(diǎn)考向07：完全平方式重點(diǎn)考向08：平方差公式重點(diǎn)考向09：平方差公式的幾何背景重點(diǎn)考向10：整式的混合運(yùn)算—化簡求值重點(diǎn)考向11：因式分解-提公因式法重點(diǎn)考向12：因式分解-運(yùn)用公式法重點(diǎn)考向13：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用重點(diǎn)考向14：因式分解-分組分解法重點(diǎn)考向15：因式分解-十字相乘法等重點(diǎn)考向16：實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式重點(diǎn)考向17：因式分解的應(yīng)用重點(diǎn)考向18：零指數(shù)冪重點(diǎn)考向19：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪重點(diǎn)考向01：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)【典例精講】（2023秋?咸安區(qū)期末）嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品安全著陸，標(biāo)志著中國航天業(yè)向前又邁出了一大步．嫦娥五號(hào)返回器在接近大氣層時(shí)，飛行1m大約需要0.0000893s．?dāng)?shù)據(jù)0.0000893用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7【思路點(diǎn)撥】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【規(guī)范解答】解：0.0000893＝8.93×10﹣5，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查科學(xué)記數(shù)法，會(huì)確定n的值是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-1】（2023秋?隴縣期末）石墨烯是目前世界上最薄卻是最堅(jiān)硬的納米材料，同時(shí)也是導(dǎo)電性最好的材料，其理論厚度僅0.00000034毫米，將0.00000034用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為3.4×10﹣7．【思路點(diǎn)撥】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【規(guī)范解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7．故答案為：3.4×10﹣7．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【變式訓(xùn)練1-2】．（2023春?和平區(qū)校級(jí)月考）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一種病毒的直徑為0.000104毫米，用科學(xué)記數(shù)法表示為1.04×10﹣4毫米．【思路點(diǎn)撥】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【規(guī)范解答】解：0.000104＝1.04×10﹣4，故答案為：1.04×10﹣4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．重點(diǎn)考向02：同底數(shù)冪的乘法【典例精講】（2024?金水區(qū)校級(jí)開學(xué)）下列四個(gè)算式：①a6?a6＝2a6；②m3+m2＝m5；③x2?x?x8＝x10；④y2+y2＝y(tǒng)4．其中計(jì)算正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，可得答案．【規(guī)范解答】解：①a6?a6＝2a6，底數(shù)不變指數(shù)相加，故①錯(cuò)誤；②m3+m2＝m5，不是同底數(shù)冪的乘法指數(shù)不能相加，故②錯(cuò)誤；③x2?x?x8＝x11，底數(shù)不變指數(shù)相加，故③正確；④y2+y2＝y(tǒng)4，同類項(xiàng)相加，y2+y2＝2y2，故④錯(cuò)誤；所以計(jì)算正確的有：1個(gè)．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加．【變式訓(xùn)練2-1】（2023秋?道縣期末）已知3m＝8，3n＝2，則3m+n＝16．【思路點(diǎn)撥】逆運(yùn)用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算即可得解．【規(guī)范解答】解：∵3m＝8，3n＝2，∴3m+n＝3m?3n＝8×2＝16．故答案為：16．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟記同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-2】（2023春?茂名期末）閱讀下列材料：若a，b兩數(shù)滿足ax＝b，則稱x為b的“對(duì)數(shù)”，記作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2．請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)定，回答下列問題：（1）根據(jù)上述規(guī)定要求，請(qǐng)完成填空：（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，（﹣，﹣）＝3．（2）計(jì)算（3，2）+（3，4）＝（3，8），并寫出計(jì)算過程；（3）直接寫出結(jié)果：①（5，10）﹣（5，2）＝1；②（10，4）×（2，10）＝2．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題目定義，運(yùn)用乘方運(yùn)算求解；（2）運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算求解；（3）運(yùn)用同底數(shù)冪的除法，冪的乘方運(yùn)算求解．【規(guī)范解答】解：（1）∵33＝27，（﹣2）4＝16，，∴（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，．故答案為：3，4，．（2）設(shè)（3，2）＝m，（3，4）＝n，則3m＝2，3n＝4，∴3m×3n＝3m+n＝2×4＝8，∴m+n＝（3，8），∴（3，2）+（3，4）＝（3，8）．故答案為：3，8．（3）①設(shè)（5，10）＝p，（5，2）＝q，則5p＝10，5q＝2，∴，∴p﹣q＝1，∴（5，10）﹣（5，2）＝1；故答案為：1．②設(shè)（10，4）＝h，（2，10）＝k，則10h＝4，2k＝10，∴（2k）h＝4，∴2kh＝4，∴kh＝2，∴（10，4）×（2，10）＝2．故答案為：2．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查同底數(shù)冪的乘法，除法，冪的乘方運(yùn)算法則，掌握相關(guān)法則是解題的關(guān)鍵．重點(diǎn)考向03：冪的乘方與積的乘方【典例精講】（2024?雁塔區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知a＝167，b＝89，c＝413，則a，b，c的大小關(guān)系是a＞b＞c．【思路點(diǎn)撥】先利用冪的乘方法則，把已知條件中的三個(gè)冪全部化成底數(shù)為2的冪，然后比較指數(shù)的大小可得答案．【規(guī)范解答】解：167＝（24）7＝228，89＝（23）9＝227，413＝（22）13＝226，∵28＞27＞26，∴228＞227＞226，即167＞89＞413，∵a＝167，b＝89，c＝413，∴a＞b＞c，∴a，b，c的大小關(guān)系是：a＞b＞c，故答案為：a＞b＞c．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵是熟練掌握逆用冪的乘方法則．【變式訓(xùn)練3-1】（2023春?江都區(qū)期中）求值：（1）已知2x+5y+3＝0，求4x?32y的值；（2）已知3x+1﹣3x＝54，求x的值．【思路點(diǎn)撥】（1）先求出2x+5y＝﹣3，再根據(jù)4x?32y＝22x+5y進(jìn)行求解即可；（2）由3x+1﹣3x＝54可得3?3x﹣3x＝54，進(jìn)而得到3x＝27＝33，則x＝3．【規(guī)范解答】解：（1）∵2x+5y+3＝0，∴2x+5y＝﹣3，∴4x?32y＝（22）x?（25）y＝22x?25y＝22x+5y＝2﹣3＝；（2）∵3x+1﹣3x＝54，∴3?3x﹣3x＝54，∴2?3x＝54，∴3x＝27，∴x＝3．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法和同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-2】（2023秋?二道區(qū)校級(jí)月考）比較下列各題中冪的大?。海?）比較255，344，533，622這4個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；（2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比較a、b、c的大小關(guān)系；（3）已知，，比較P，Q的大小關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)冪的乘方的逆用進(jìn)行轉(zhuǎn)換得255＝3211、344＝8111、533＝12511，622＝3611，比較即可；（2）根據(jù)冪的乘方的逆用進(jìn)行轉(zhuǎn)換得a＝3124、b＝3123、c＝3122，比較即可；（3）依據(jù)積的乘方公式及同底數(shù)的冪的除法化簡可得即可得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611，∵3211＜3611＜8111＜12511，∴255＜622＜344＜533；（2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122，∵3122＜3123＜3124，∴961＜2741＜8131，∴c＜b＜a；（3）∵，∴P＝Q．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了冪的乘方的逆用，積的乘方以及同底數(shù)冪的除法；解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)公式將底數(shù)或指數(shù)統(tǒng)一．重點(diǎn)考向04：同底數(shù)冪的除法【典例精講】（2023春?欒城區(qū)期中）若3m＝5，3n＝4，則32m﹣n等于（）A． B．6 C．21 D．20【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的性質(zhì)的逆用，把23m﹣2n轉(zhuǎn)化為用已知條件表示，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵3m＝5，3n＝4，∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝25÷4＝．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的性質(zhì)的逆用，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-1】（2023?寧波模擬）下列計(jì)算正確的是（）A．x2+x2＝2x4 B．x8÷x2＝x4 C．（x3）2＝x5 D．x3?x2＝x5【思路點(diǎn)撥】結(jié)合選項(xiàng)分別進(jìn)行同底數(shù)冪的乘除法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算，然后選擇正確選項(xiàng)．【規(guī)范解答】解：A、x2和x2是同類項(xiàng)，能合并x2+x2＝2x2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、x8÷x2＝x6，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（x3）2＝x6，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x3?x2＝x5，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方和積的乘方等知識(shí)，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-2】（2023春?沈河區(qū)校級(jí)月考）直接寫出計(jì)算結(jié)果：（ax﹣1）2?ax+1÷a2x﹣1＝ax．【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用冪的乘方法則，同底數(shù)冪的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：（ax﹣1）2?ax+1÷a2x﹣1＝a2x﹣2?ax+1÷a2x﹣1＝a2x﹣2+x+1﹣（2x﹣1）＝ax．故答案為：ax．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．?重點(diǎn)考向05：完全平方公式【典例精講】（2023秋?應(yīng)城市期末）若x﹣y＝3，xy＝1，則x2+y2＝11．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，分別代入解答即可．【規(guī)范解答】解：因?yàn)閤﹣y＝3，xy＝1，則x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2＝11，故答案為：11【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查完全平方公式問題，關(guān)鍵是根據(jù)x2+y2＝（x﹣y）2+2xy代入解答．【變式訓(xùn)練5-1】（2023秋?浦東新區(qū)期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，則x2+y2＝10．【思路點(diǎn)撥】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x+y與xy的值，利用完全平方公式變形即可求出所求式子的值．【規(guī)范解答】解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3，則x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案為：10．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了完全平方公式，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-2】（2023秋?安順期末）閱讀下列材料若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊作正方形．①M(fèi)F＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根據(jù)已知等式確定出所求即可；（2）①由正方形ABCD邊長為x，即可表示出MF與DF；②根據(jù)矩形的面積公式以及正方形的面積公式以及完全平方公式求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）①M(fèi)F＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案為：x﹣1；x﹣3；②（x﹣1）（x﹣3）＝48，陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設(shè)x﹣1＝a，x﹣3＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，∴a+b＝±14，又∵a+b＞0，∴a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即陰影部分的面積是28．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應(yīng)從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．重點(diǎn)考向06：完全平方公式的幾何背景【典例精講】（2023秋?東城區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為x，其中AI＝5，JC＝3，兩個(gè)陰影部分都是正方形且面積和為60，則重疊部分FJDI的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31【思路點(diǎn)撥】利用正方形和長方形的性質(zhì)，將ID與DJ的關(guān)系表示出來，再利用陰影部分面積和為60即可求出ID與DJ，從而得到長方形FJDI的長和寬，即可求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)ID＝y(tǒng)，DJ＝z，∵兩個(gè)陰影部分都是正方形，∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y(tǒng)，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，∴AI+ID＝CJ+DJ，∵AI＝5，CJ＝3，∴5+y＝3+z，∴y＝z﹣2，：∵陰影部分面積和為60，∴y2+z2＝60，方法1：將y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：（z﹣2）2+z2＝60，解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），∴y＝z﹣2＝﹣1，∴ID＝﹣1，DJ＝1+，∴S長方形FJDI＝ID?DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；方法2：∵z﹣y＝2，所以（z﹣y）2＝4，∴y2+z2﹣2yz＝4，∴60﹣2yz＝4，yz＝28，∴S長方形FJDI＝ID?DJ＝28．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是利用圖形面積之間的關(guān)系求解，熟練進(jìn)行公式之間的轉(zhuǎn)化變形．【變式訓(xùn)練6-1】（2023秋?光山縣期末）如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別為a，b，若a+b＝10，ab＝20，則四邊形ABCD的面積為20．【思路點(diǎn)撥】分析圖形可得，四邊形ABCD的面積為兩個(gè)正方形面積和減去兩個(gè)三角形的面積，據(jù)此計(jì)算可得關(guān)系式；代入a+b＝10，ab＝20，計(jì)算可得答案．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意可得，四邊形ABCD的面積＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四邊形ABCD的面積＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案為：20．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是利用面積的和差關(guān)系求出四邊形的面積，但在計(jì)算時(shí)要把未知的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成已知，代入求值．【變式訓(xùn)練6-2】（2023秋?青銅峽市期末）動(dòng)手操作：如圖①是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中的虛線剪開分成四個(gè)大小相等的長方形，然后按照?qǐng)D②所示拼成一個(gè)正方形．提出問題：（1）觀察圖②，請(qǐng)用兩種不同的方法表示陰影部分的面積：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；（2）請(qǐng)寫出三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)等量關(guān)系：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；問題解決：根據(jù)上述（2）中得到的等量關(guān)系，解決下列問題：已知x+y＝8，xy＝7，求x﹣y的值．【思路點(diǎn)撥】（1）第一種方法為：大正方形面積﹣4個(gè)小長方形面積，第二種表示方法為：陰影部分正方形的面積；（2）可得等量關(guān)系為：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；利用（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2可求解．【規(guī)范解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2問題解決：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy∵x+y＝8，xy＝7．∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36．∴x﹣y＝±6故答案為：（1）（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了完全平方公式的幾何背景．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．本題更需注意要根據(jù)所找到的規(guī)律做題．重點(diǎn)考向07：完全平方式【典例精講】（2023秋?江北區(qū)期末）若4x2+20x+a2是一個(gè)完全平方式，則a的值是±5．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是2x和5，再根據(jù)完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出a的值即可．【規(guī)范解答】解：∵20x＝2×5×2x，∴這兩個(gè)數(shù)是2x、5，∴a2＝25，即a＝±5．故答案為：±5．【考點(diǎn)評(píng)析】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是利用乘積項(xiàng)來確定這兩個(gè)數(shù)．【變式訓(xùn)練7-1】（2023秋?衡山縣期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進(jìn)行推理，獲得結(jié)論．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)恒等式，很多都可以借助幾何圖形進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．請(qǐng)結(jié)合相關(guān)知識(shí)，解答下列問題：（1）如圖1是由4個(gè)大小相同，長為a、寬為b的長方形圍成的邊長為（a+b）的正方形，用含字母a，b的代數(shù)式表示出陰影部分的面積．①通過計(jì)算陰影部分正方形的邊長，求陰影部分的面積，可列代數(shù)式：（a﹣b2）；②通過用較大正方形的面積減去4個(gè)小長方形的面積，求陰影部分的面積，可列代數(shù)式：a2﹣2ab+b2；（2）根據(jù)圖1中的陰影部分的面積關(guān)系寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（3）若a+b＝6，ab＝8，求圖2中陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)陰影部分正方形的邊長＝長方形的長﹣長方形的寬，求出陰影部分正方形的邊長，進(jìn)而求出面積；②根據(jù)較大正方形的邊長為a+b，陰影部分正方形面積＝較大正方形的面積減去4個(gè)小長方形的面積，求出答案；（2）由①②的計(jì)算結(jié)果可得答案；（3）根據(jù)圖2中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣正方形周圍3個(gè)直角三角形的面積，算出陰影部分的面積，再把已知條件整體代入即可．【規(guī)范解答】解：（1）①由圖形可知：陰影部分正方形的邊長＝長方形的長﹣長方形的寬＝a﹣b，∴面積為（a﹣b）2，故答案為：（a﹣b）2；②∵較大正方形的邊長為a+b，陰影部分正方形面積＝較大正方形的面積減去4個(gè)小長方形的面積，∴陰影部分正方形面積＝（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2；故答案為：a2﹣2ab+b2；（2）根據(jù)圖1中的陰影部分的面積關(guān)系可以寫出一個(gè)代數(shù)恒等式為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（3）∵圖2中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣正方形周圍3個(gè)直角三角形的面積，∴圖2中陰影部分的面積＝＝＝＝＝18﹣4＝14．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握應(yīng)用乘法公式．【變式訓(xùn)練7-2】（2023秋?鯉城區(qū)校級(jí)期中）乘法公式的探究及應(yīng)用：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積．方法1（a+b）2；方法2a2+b2+2ab．（2）觀察圖2，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的數(shù)量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，a2+b2＝21，求ab的值；②已知：（2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，求（2023﹣a）（a﹣2020）的值．【思路點(diǎn)撥】（1）方法1，根據(jù)邊長為（a+b），求正方形面積，方法2，根據(jù)大正方形等于2個(gè)小正方形的面積加上2個(gè)長方形的面積；（2）由（1）可知，2種方法所求的面積相等，即可求解；（3）①由（2）的結(jié)論，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解；②設(shè)2023﹣a＝x，a﹣2020＝y(tǒng)，則x+y＝3，通過換元，利用（2）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可求解．【規(guī)范解答】解：（1）方法1：大正方形的面積S＝（a+b）2；方法2：大正方形的面積S＝a2+b2+2ab，故答案為：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由（1）可知（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝21，∴ab＝2．②設(shè)2023﹣a＝x，a﹣2020＝y(tǒng)，則x+y＝3，∵（2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，∴x2+y2＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴，即．故答案為：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了完全平方公式與圖形面積，根據(jù)完全平方公式變形計(jì)算，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．重點(diǎn)考向08：平方差公式【典例精講】（2023春?婁星區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），結(jié)果是（）A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣1【思路點(diǎn)撥】添一個(gè)（2﹣1），從而和（2+1）湊成平方差，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（28﹣1）（28+1）???（264+1）＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，添項(xiàng)是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-1】（2024?雁塔區(qū)校級(jí)開學(xué)）計(jì)算：（1）；（2）2042﹣198×202．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)整數(shù)冪的性質(zhì)和逆用積的乘方法則先算乘方，再算乘法，最后算加減即可；（2）先把204寫成200+4，198寫成200﹣2，202寫成200+2的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝＝＝＝＝＝；（2）原式＝（200+4）2﹣（200﹣2）（200+2）＝2002+2×4×200+16﹣2002+4＝2002﹣2002+1600+16+4＝1620．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)整數(shù)冪的性質(zhì)、積的乘方法則和完全平方公式與平方差公式．【變式訓(xùn)練8-2】（2023秋?德惠市校級(jí)期末）問題1閱讀例題的解答過程，并解答（1）（2）例：用簡便方法計(jì)算195×205．解：195×205＝（200﹣5）（200+5）①＝2002﹣52②＝39975（1）例題求解過程中，第②步變形依據(jù)是平方差公式；（2）用簡便方法計(jì)算：9×11×101．【思路點(diǎn)撥】（1）平方差公式；（2）轉(zhuǎn)化成（100+1）×（100﹣1），根據(jù)平方差公式展開，即可求出答案．【規(guī)范解答】解：（1）第②步變形依據(jù)是平方差公式；故答案為：平方差公式；（2）9×11×101＝（10﹣1）（10+1）×101＝99×101＝（100﹣1）（100+1）＝10000﹣1＝9999．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是把原式轉(zhuǎn)化成1002﹣1．重點(diǎn)考向09：平方差公式的幾何背景【典例精講】（2023秋?清原縣期末）已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和EFHD為陰影部分，將圖1中的長方形ABGE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長方形，比較圖2與圖1的陰影部分的面積，可得等式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab【思路點(diǎn)撥】圖1陰影部分的面積等于正方形ABCD的面積減去正方形FGCH的面積，圖2陰影部分的面積等于AH乘以AE，根據(jù)圖1圖2陰影部分的面積相等列等式．【規(guī)范解答】解：由圖1得：正方形ABCD的面積是a2，正方形FGCH的面積是b2，∴陰影部分的面積是a2﹣b2，由圖2得：AH＝AB+FH＝a+b，AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴長方形AHDE的面積即陰影部分的面積是（a+b）（a?b），∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了平方差公式與幾何圖形，平方差公式的推導(dǎo)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合用代數(shù)式分別表示出圖1和圖2中陰影部分面積．【變式訓(xùn)練9-1】（2023秋?鳳山縣期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是a2﹣b2；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個(gè)長方形，則它的長為a+b；寬為a﹣b；面積為（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可以得到一個(gè)公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）利用你得到的公式計(jì)算：20222﹣2024×2020．【思路點(diǎn)撥】（1）利用正方形的面積公式，圖1陰影部分的面積為大正方形的面積﹣小正方形的面積，圖2長方形的長為a+b，寬為a﹣b，利用長方形的面積公式可得結(jié)論；（2）由（1）建立等量關(guān)系即可；（3）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意可得：圖1陰影部分的面積＝，圖2長方形的長為：a+b，圖2長方形的寬為：a﹣b，∴面積為：（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2024×2020＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查平方差公式的推導(dǎo)，利用面積建立等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9-2】（2022秋?仁化縣期末）實(shí)踐與探究，如圖1，邊長為a的大正方形有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的公式是B（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．A．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）B．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）C．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）請(qǐng)應(yīng)用上面的公式完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝4；②計(jì)算：82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1；③計(jì)算：（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+?+42﹣32+22﹣1（n≥1）．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)陰影部分寫出兩個(gè)圖形中陰影部分面積的代數(shù)式，再得出二者相等的結(jié)論；（2）使用（1）得出的公式對(duì)本題中的平方差進(jìn)行因式分解即可求得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：（1）圖一中的陰影部分面積為：a2﹣b2，圖二中陰影部分面積為：（a+b）（a﹣b），而這兩者面積相等，所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．（2）①4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝24，又2a+b＝6，∴2a﹣b＝4．②82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1＝（8+7）（8﹣7）+（6+5）（6﹣5）+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝8+7+6+5+4+3+2+1＝4×9＝36．③（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+?+42﹣32+22﹣1（n≥1）＝（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1）+（2n﹣2+2n﹣3）（2n﹣2+2n+3）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝2n+2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+?+4+3+2+1＝＝2n2+n．故答案為：B，4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查平方差公式的證明與使用，考查求和公式，掌握這些是本題關(guān)鍵．重點(diǎn)考向10：整式的混合運(yùn)算—化簡求值【典例精講】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x的三次三項(xiàng)式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（（其中a，b，c，d均為常數(shù)）關(guān)于x的二次三項(xiàng)式B＝x2+ex+f（e，f均為非零常數(shù)），下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）①當(dāng)A+B為關(guān)于x的三次三項(xiàng)式時(shí)，則f＝﹣10；②當(dāng)多項(xiàng)式A與B的乘積中不含x?項(xiàng)時(shí)，則e＝6；③a+b+c＝9；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)整式的加減求出A+B的值，再根據(jù)A+B為關(guān)于x的三次三項(xiàng)式即可判斷①；先根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則求出A?B的值，再根據(jù)乘積中不含x?項(xiàng)即可判斷②；分別求出當(dāng)x＝1和x＝2時(shí)，求出A的值，由此即可判斷③．【規(guī)范解答】解：∵A＝5x3﹣6x2+10，B＝x2+ex+f，∴A+B＝5x3﹣6x2+10+x2+ex+f＝5x3﹣5x2+ex+f+10，∵A+B為關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，且e為非零常數(shù)，∴f+10＝0，解得：f＝﹣10，說法①正確；A?B＝（5x3﹣6x2+10）（x2+ex+f）＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f，∵多項(xiàng)式A與B的乘積中不含x?項(xiàng)，∴5e﹣6＝0，解得e＝1.2，說法②錯(cuò)誤；A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，當(dāng)x＝1時(shí)，d＝5﹣6+10＝9，當(dāng)x＝2時(shí)，a+b+c+d＝5×23﹣6×22+10＝26，則a+b+c＝17，說法③錯(cuò)誤．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式運(yùn)算相關(guān)法則．【變式訓(xùn)練10-1】（2023秋?海口期末）計(jì)算：（1）（3x﹣1）（2x+3）﹣（﹣3x）2；（2）（a﹣2b）（﹣2b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（3）先化簡，再求值：[2（x﹣y）]2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷（2xy）2，其中，y＝﹣3．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和積的乘方計(jì)算可以解答本題；（2）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和完全平方公式可以解答本題；（3）先據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和完全平方公式化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入即可解答本題．【規(guī)范解答】解：（1）（3x﹣1）（2x+3）﹣（﹣3x）2＝6x2﹣2x+9x﹣3﹣9x2＝﹣3x2+7x﹣3；（2）（a﹣2b）（﹣2b﹣a）﹣（a﹣2b）2＝﹣（a2﹣4b2）﹣（a2﹣4ab+4b2）＝﹣a2+4b2﹣a2+4ab﹣4b2＝4ab﹣2a2；（3）[2（x﹣y）]2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷（2xy）2＝4（x﹣y）2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷4x2y2＝4x2﹣8xy+4y2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷4x2y2＝4x2﹣8xy+4y2﹣（4y2﹣3xy）＝4x2﹣8xy+4y2﹣4y2+3xy＝4x2﹣5xy，當(dāng)，y＝﹣3時(shí)，原式＝4×（﹣）2﹣5×（﹣）×（﹣3）＝1﹣＝﹣．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了整式的混合運(yùn)算和化簡求值，掌握整式的混合運(yùn)算和化簡求值的方法是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練10-2】（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）先化簡，再求值：，其中．【思路點(diǎn)撥】先算括號(hào)內(nèi)的乘法，再合并同類項(xiàng)，最后求出x、y的值代入即可．【規(guī)范解答】解：原式＝2x2﹣（x2+2xy﹣2y2）+2xy＝2x2﹣x2﹣2xy+2y2+2xy＝x2+2y2，∵，∴x＝，y＝﹣1，原式＝．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值、絕對(duì)值、算術(shù)平方根的非負(fù)性等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．重點(diǎn)考向11：因式分解-提公因式法【典例精講】（2023春?新化縣期末）計(jì)算：20232﹣2023×2022＝2023．【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用提公因式法進(jìn)行簡便運(yùn)算．【規(guī)范解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）＝2023×1＝2023．故答案為：2023．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查提公因式法簡便運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練11-1】（2023春?天元區(qū)校級(jí)期末）因式分解：6a2﹣2a＝2a（3a﹣1）．【思路點(diǎn)撥】利用提公因式法分解因式即可．【規(guī)范解答】解：6a2﹣2a＝2a（3a﹣1），故答案為：2a（3a﹣1）．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練11-2】（2023春?昌黎縣期末）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（m2﹣4m）（m2﹣4m+8）+16進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)m2﹣4m＝n，原式＝n（n+8）+16（第一步），＝n2+8n+16（第二步），＝（n+4）2（第三步），＝（m2﹣4m+4）2（第四步），（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解．（2）該同學(xué)是否完成了將該多項(xiàng)式因式分解？若沒有完成，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果．（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣2x+4）（x2﹣2x﹣2）+9進(jìn)行因式分解．【思路點(diǎn)撥】（1）從第三步的結(jié)果得出結(jié)論；（2）觀察最后結(jié)果中的x2﹣4x+4是否還能因式分解，得出結(jié)論；（3）設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，然后因式分解，化簡后再代入，再因式分解．【規(guī)范解答】解：（1）由n2+8n+16＝（n+4）2得出運(yùn)用了兩數(shù)和的完全平方公式，故答案為：完全平方公式．（2）該同學(xué)沒有完成因式分解，（m2﹣4m+4）2＝[（m﹣2）2]2＝（m﹣2）4，（3）設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，則原式＝（y+4）（y﹣2）+9＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了因式分解，主要是考查學(xué)生對(duì)于完全平方公式和換元法進(jìn)行因式分解的掌握情況，要求學(xué)生在換元分解，回代之后還要再觀察是否能夠繼續(xù)進(jìn)行因式分解，很多學(xué)生會(huì)忘記繼續(xù)分解，是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．重點(diǎn)考向12：因式分解-運(yùn)用公式法【典例精講】（2023春?曲陽縣期末）小明在抄分解因式的題目時(shí)，不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作業(yè)本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指數(shù)），則這個(gè)指數(shù)可能的結(jié)果共有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【思路點(diǎn)撥】能利用平方差公式分解因式，說明漏掉的是平方項(xiàng)的指數(shù)，只能是偶數(shù)，又只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，則該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù)．【規(guī)范解答】解：該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù)．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】能熟練掌握平方差公式的特點(diǎn)，是解答這道題的關(guān)鍵，還要知道不大于就是小于或等于．【變式訓(xùn)練12-1】（2023春?東城區(qū)校級(jí)期末）分解因式：（1）4b2+4b+1；（2）﹣x2+2xy﹣y2．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)完全平方公式即可進(jìn)行因式分解；（2）先提取公因式﹣1，再根據(jù)完全平方公式即可進(jìn)行因式分解．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝（2b）2+2×2b×1+12＝（2b+1）2；（2）原式＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．【變式訓(xùn)練12-2】（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）觀察下列等式的規(guī)律，解答下列問題：第1個(gè)等式：a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；第2個(gè)等式：a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1）；第3個(gè)等式：a4﹣1＝（a﹣1）（a3+a2+a2+a+1）；第4個(gè)等式：a5+1＝（a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）；…（1）請(qǐng)直接寫出第5個(gè)等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）；第6個(gè)等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；（2）計(jì)算；①（3﹣1）（35+33+34+32+3+1）＝728；②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝547；（3）計(jì)算：（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)所給的等式的形式，即可寫出答案；（2）利用所給的等式的規(guī)律進(jìn)行求解即可；（3）利用所給的等式的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律得：第5個(gè)等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），第6個(gè)等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；故答案為：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；（2）根據(jù)規(guī)律得：①（3﹣1）×（35+33+34+32+3+1）＝36﹣1＝728；②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝×（3+1）×（36﹣35+34﹣33+32﹣3+1）＝×（37+1）＝547；故答案為：①728，547；（3）（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4＝410+210+49﹣29+48+28+47﹣27+…+42+22+4＝（410+49+48+47+…+42+4+1）+（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1）＝×（4﹣1）×（410+49+48+47+…+42+4+1）+×（2+1）×（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1）＝×（411﹣1）+×（211+1）＝×411+×211．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．重點(diǎn)考向13：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用【典例精講】（2023秋?大同期末）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2y﹣y3＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)提公因式法、公式法逐項(xiàng)進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此選項(xiàng)A不符合題意；B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此選項(xiàng)B不符合題意；C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此選項(xiàng)C不符合題意；D．x2y﹣y3＝y(tǒng)（x2﹣y2）＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y），因此選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2是正確應(yīng)用的前提．【變式訓(xùn)練13-1】（2023?威遠(yuǎn)縣校級(jí)二模）因式分解：3a2﹣27＝3（a+3）（a﹣3）．【思路點(diǎn)撥】直接提取公因式3，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可．【規(guī)范解答】解：3a2﹣27＝3（a2﹣9）＝3（a+3）（a﹣3）．故答案為：3（a+3）（a﹣3）．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確掌握公式法分解因式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練13-2】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【思路點(diǎn)撥】（1）先提取公因式2m，再利用完全平方公式繼續(xù)進(jìn)行分解即可得到答案；（2）將式子化為兩個(gè)數(shù)的平方差，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解即可得到答案．【規(guī)范解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m＝2m（x2﹣2x+1）＝2m（x﹣1）2；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了綜合提公因式和完全平方公式進(jìn)行因式分解，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵，注意分解要徹底．重點(diǎn)考向14：因式分解-分組分解法【典例精講】（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）分解因式：7x2﹣3y+xy﹣21x．【思路點(diǎn)撥】將多項(xiàng)式分解為7x2﹣3y+xy﹣21x＝（7x2﹣21x）+（xy﹣3y），進(jìn)而得出答案即可．【規(guī)范解答】解：7x2﹣3y+xy﹣21x＝7x2﹣21x+xy﹣3y＝7x（x﹣3）+y（x﹣3）＝（7x+y）（x﹣3）．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了分組分解法因式分解，正確將多項(xiàng)式分組是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練14-1】．（2022春?桂平市期中）觀察下列因式分解的過程：（1）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成兩組）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）（2）a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成兩組）＝a2﹣（b﹣c）2（直接運(yùn)用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（1）請(qǐng)仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad﹣ac﹣bd+bc②x2﹣y2﹣6x+9（2）請(qǐng)運(yùn)用上述分解因式的方法，把多項(xiàng)式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．【思路點(diǎn)撥】（1）①利用分組后直接提公因式分解；②利用分組后直接運(yùn)用公式分解；（2）把1+x添加括號(hào)，利用分組后直接提取公因式（1+x），反復(fù)運(yùn)算得結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）＝（d﹣c）（a﹣b）②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2＝（x﹣3）2﹣y2＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）（1+x）n＝（1+x）n+1【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了多項(xiàng)式因式分解的分組分解法．掌握分組后直接提起公因式和分組后直接運(yùn)用公式，是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練14-2】（2019秋?西崗區(qū)期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了．過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．【思路點(diǎn)撥】（1）首先將前三項(xiàng)組合，利用完全平方公式分解因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先將前兩項(xiàng)以及后兩項(xiàng)組合，進(jìn)而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關(guān)系，判斷三角形形狀即可．【規(guī)范解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形狀是等腰三角形．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解得出是解題關(guān)鍵．重點(diǎn)考向15：因式分解-十字相乘法等【典例精講】（2023秋?陽信縣期末）下列因式分解錯(cuò)誤的是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x2+xy＝x（x+y） C．x3+6x2+9x＝x（x+3）2 D．x2﹣7x+12＝x（x﹣7）+12【思路點(diǎn)撥】利用提公因式法、公式法逐個(gè)分解每個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)分解結(jié)果得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合題意；B、原式＝x（x+y），不符合題意；C、原式＝x（x+3）2，不符合題意；D、原式＝（x﹣3）（x﹣4），符合題意．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了因式分解﹣十字相乘法等以及提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練15-1】（2023春?句容市期末）若x2﹣mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），則m+n＝8．【思路點(diǎn)撥】已知等式右邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，利用多項(xiàng)式相等的條件求出m與n的值，即可確定出m+n的值．【規(guī)范解答】解：∵x2﹣mx+6＝（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（n+2）x+2n，∴n+2＝m，6＝2n，解得：m＝5，n＝3，則m+n＝8．故答案為：8．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練15-2】（2023春?岳陽期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如圖）．第一步：二次項(xiàng)2x2＝x?2x；第二步：常數(shù)項(xiàng)﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：（1）將多項(xiàng)式x2﹣x﹣2進(jìn)行因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）；（2）若3x2+px+5可分解為兩個(gè)一次因式的積，請(qǐng)畫好“十字圖”，并求整數(shù)p的所有可能值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)材料來把二次項(xiàng)寫成相乘形式，常數(shù)項(xiàng)也寫成相乘的形式，再交叉相乘之和得到一次項(xiàng)，最后進(jìn)行因式分解．【規(guī)范解答】解：（1）將多項(xiàng)式因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）（2）根據(jù)畫好的“十字圖”，求出p的所有可能值：16，8，﹣8，﹣16.【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了用十字相相乘法對(duì)一元二次方程進(jìn)行因式分解．重點(diǎn)考向16：實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式【典例精講】（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）若x2+k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可以因式分解，則k的值可以為﹣1．（只填一個(gè)）．【思路點(diǎn)撥】利用平方差公式先確定k的范圍，再給出一個(gè)k的值即可．【規(guī)范解答】解：當(dāng)k＜0時(shí)，x2+k可利用平方差公式因式分解．例如k＝﹣1時(shí)，x2+k＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故答案為：﹣1【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練16-1】（2021春?宿豫區(qū)校級(jí)期中）閱讀理解：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）填空：i3＝﹣i；i4＝1；i5＝i；i+i2+i3+…+i2021＝i．（2）計(jì)算：①（1+i）×（3﹣4i）；②（2+i）2；（3）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：①a2+4＝（a+2i）（a﹣2i）；②a4﹣625＝（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i）．．【思路點(diǎn)撥】（1）把i2＝﹣1代入計(jì)算即可求出i3，i4，i5的值，設(shè)S＝i+i2+i3+…+i2021，則iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，即可求出S＝；（2）①根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開，把i2＝﹣1代入計(jì)算，即可得出結(jié)果；②根據(jù)完全平方公式展開，把i2＝﹣1代入計(jì)算，即可得出結(jié)果；（3）①把a(bǔ)2+4寫成a2﹣4i2，利用平方差公式進(jìn)行分解即可；②利用平方差公式逐步分解即可．【規(guī)范解答】解：（1）i3＝i2?i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2?i2＝﹣1×（﹣1）＝1，i5＝i2?i2?i＝﹣1×（﹣1）×i＝i，設(shè)S＝i+i2+i3+…+i2021，則iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，∴（1﹣i）S＝i+i2+i3+…+i2021﹣i2﹣i3﹣…﹣i2021﹣i2022＝i﹣i2022，∴S＝＝＝＝i，故答案為：﹣i，1，i，i；（2）①（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i﹣4i2＝3﹣i+4＝7﹣i；②（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i+（﹣1）＝3+4i；（3）①a2+4＝a2﹣4i2＝（a+2i）（a﹣2i），故答案為：（a+2i）（a﹣2i）；②a4﹣625＝（a2﹣25）（a2+25）＝（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i），故答案為：（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i）．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算及在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，掌握復(fù)數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練16-2】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）（2）x4﹣81（3）（4）x7y7﹣16x4y4+64xy【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)提取公因式的方法分解即可；（2）根據(jù)平方差公式分解因式即可；（3）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可；（4）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可．【規(guī)范解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝（a﹣b）（2m+3n）；（2）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）；（3）＝[（3m﹣n）2﹣4（m+3n）2]＝[（3m﹣n）+2（m+3n）][（3m﹣n）﹣2（m+3n）]＝（m+n）（m﹣7n）；（4）x7y7﹣16x4y4+64xy＝xy（x6y6﹣16x3y3+64）＝xy（x3y3﹣8）2＝xy（xy﹣2）2（x2y2+2xy+4）2．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解．重點(diǎn)考向17：因式分解的應(yīng)用【典例精講】（2023?漣源市一模）已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc＝b2+ac，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【思路點(diǎn)撥】將等式移項(xiàng)整理后，將左邊分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0得到a＝b，即可確定出三角形形狀．【規(guī)范解答】解：已知等式變形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，則△ABC為等腰三角形．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練17-1】（2023秋?淮陽區(qū)期末）我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請(qǐng)回答下列問題：（1）寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜測（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊長，請(qǐng)判斷該三角形的形狀，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積＝各個(gè)矩形的面積之和求解即可；（2）根據(jù)（1）中等式，猜想得出；（3）將a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算；（4）根據(jù)（2）得到等式，再對(duì)等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行因式分解，最后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到三邊的關(guān)系．【規(guī)范解答】解：（1）（a+b+