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1大家好2班級(jí):
星期:節(jié)年月日第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性3友情提示本次課講第四章第一二節(jié):向量組的線性表示與線性相關(guān)性;下一次課講第四章第二節(jié)(續(xù))與第三節(jié):相關(guān)性與向量組的秩;下次上課時(shí)交作業(yè)P25-P264第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性5一、向量組及其相關(guān)概念1.向量:(1)向量的定義(2)向量與矩陣
n維向量可寫成一行—行向量;也稱行矩陣;也可寫成一列—列向量,也稱列矩陣因此規(guī)定:行向量和列向量都按矩陣的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算(3)向量的記法:
1)列向量用用字母表示;行向量用表示.第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性62.向量組的概念(1)向量組的定義:若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合:如矩陣:有n個(gè)m維列向量(2)所討論的向量在沒(méi)有指明是行向量還是列向量時(shí),都當(dāng)作列向量第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性7(2)矩陣與向量組:由m個(gè)n維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)
m×n矩陣因此,矩陣與它所對(duì)應(yīng)的行(列)向量組有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,向量組稱矩陣的向量組,矩陣稱向量組的矩陣矩陣A組成的向量組稱為矩陣
A
的列向量組;反之,由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.由m個(gè)n維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)n×m矩陣();,,,21maaaAL=第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性83.線性組合的概念:定義2給定向量組A:,對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)向量稱為向量組A
的一個(gè)線性組合,稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).4.線性表示的概念:給定向量組A:和向量,如果存在一組數(shù)使則向量是向量組A的線性組合,這時(shí)稱向量能由向量組A
線性表示。線性表示的關(guān)鍵是線性表示系數(shù)的存在與求解第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性9即向量能由向量組線性表示.例如:5.向量組由向量組線性表示概念定義3設(shè)有兩個(gè)向量組A:及B:,則稱向量組B
能由向量組A
線性表示。6.向量組的等價(jià):向量組A
與向量組B
能相互線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。這是第二次遇到等價(jià)概念:一個(gè)是矩陣間互相初等變換的等價(jià);這里是向量組間間互相線性表示的等價(jià)若B組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示,第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性107.向量組的線性相關(guān)概念(1)定義給定向量組A:,如果存在不全為零的數(shù)使則稱向量組A
是線性相關(guān)的,否則稱它線性無(wú)關(guān)“否則”只有當(dāng)時(shí),式才成立。或若向量組A:,線性無(wú)關(guān),且式成立,則必有第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性11二、用方程組判斷和求解向量組的線性表示的系數(shù)向量能由向量組A
線性表示,也就是方程組有解證:將方程組變形為:第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性12第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性13(1)秩的等式定理2:的秩等于矩陣向量組:能由向量組:
線性表示的充分必要條件是矩陣的秩.即:2.用方程組判定與求解向量組間的線性表示系數(shù).設(shè)向量組A
與向量組B所構(gòu)成的矩陣依次記作B組能由
A組線性表示,即對(duì)每個(gè)向量第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性14第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性15特別提示:定理所涉及的向量組均是列向量組,方程組的解也是列向量表示,“行變換、列向量”一定要記牢(2)兩個(gè)推論。由以上定理,不難推出以下結(jié)論分析:由定理2和向量組等價(jià)定義易推出結(jié)論成立第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性16(4)線性表示秩的解法的概括:例2:設(shè)向量組證明:能
由向量組線性表示,并求出表達(dá)式.第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性17證:~R(A)=R(B)=2,因能
由向量組線性表示.所以(其中C可取任意值)第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性18第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性19第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性例3(05,2,9分)20第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性21繼續(xù)往行階梯化下去:第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性22三、用方程組判定線性相關(guān)無(wú)關(guān)性第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性23(1)按照定義判定。思路:用定義,無(wú)關(guān)即向量的齊次線性方程組只有非零解,即系數(shù)行列式不等于零證:設(shè)有使即因線性無(wú)關(guān),故的系數(shù)只有零解4.線性相關(guān)性的判定:例4
已知向量組線性無(wú)關(guān),試證向量組線性無(wú)關(guān).第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性24此方程組的系數(shù)行列式為方程組只有零解所以向量組線性無(wú)關(guān).定理4(2)按照向量組的秩判定:向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩R(A)<m;向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是
R(A)=m.第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性25例5已知試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.解對(duì)矩陣施行初等行變換,則R向量組R=2,線性無(wú)關(guān).向量組線性相關(guān);第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性26(3)按照整體與部分的關(guān)系判定定理5(1)若向量組
A:線性相關(guān),則向量組
B:也相關(guān);反言之,若向量組
B
線性無(wú)關(guān),則向量組A
也線性無(wú)關(guān).(4)用向量的維數(shù)判定:
m個(gè)n
維向量組成的向量組,當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān).(5)線性表示與相關(guān)性的關(guān)系定理:第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性27證明:記由秩的定理,有R(A)≤R(B).因A
組線性無(wú)關(guān),有R(A)=m;因B
組線性相關(guān),有R(B)<m+1.所以m≤R(B)<m+1,
即有R(B)=m.由R(A)=R(B)=m,及線性方程組秩的解法定理,知方程組有唯一解,即b能由A組線性表示且表示唯一.第八講:向量組的線性表示與線性相關(guān)性28證:1)因線性無(wú)關(guān),由定理線性無(wú)關(guān),又線性相關(guān),由定理能由線性表示.所以2)設(shè)能由線性表示.由(1)能由線性表示.線性無(wú)關(guān)矛盾.與證明:1)能由線性表示.2)不能由線性表示.分析:1.部分無(wú)關(guān)、整體相關(guān)則增加部分可由無(wú)關(guān)組線性表示,2.否
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