數(shù)學(xué) 2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測數(shù)學(xué)熱點(diǎn)1　三角函數(shù)與解三角形含答案

數(shù)學(xué)2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測數(shù)學(xué)熱點(diǎn)1三角函數(shù)與解三角形含答案二大題沖刺篇·9個(gè)高考重點(diǎn)務(wù)必要破解！熱點(diǎn)1三角函數(shù)與解三角形年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷求三角形的角與代數(shù)式的最值18求三角形的角的正弦值與高17求三角形的角與邊15新高考Ⅱ卷求三角形的邊與面積18求三角形的角的正切值與邊17求三角形的角與周長15【典例1】(13分)(規(guī)范解答)(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面積為3+3,求c.【審題思維】(1)利用余弦定理結(jié)合a2+b2-c2=2ab,求得C,再由sinC=2cosB算出cosB,結(jié)合B∈(0,π),可得角B的大小;(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由△ABC的面積為3+3,建立關(guān)于R的方程,解出R的值,進(jìn)而利用正弦定理算出邊c的值.【解析】(1)因?yàn)閍2+b2-c2=2ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=2ab2ab因?yàn)閟inC=2cosB=22,所以cosB=12,結(jié)合B∈(0,π),得B=π3;(2)由(1)可知A=π-B-C=5π12,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理得b=2RsinB=3R,c=2RsinC=2R, …………由S△ABC=12bcsinA=3+3,得12·3R·2R·sin5π12=3+3,即6R22·6+24=3+3,解得R2=4,所以R=2(舍負(fù)),可得c=2R【題后反思】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式及其應(yīng)用.(1)若條件式中含有角的余弦或邊的二次式,常選擇使用余弦定理,若條件式中含有角的正弦或邊的一次式,常選擇使用正弦定理.(2)要根據(jù)已知條件靈活選用三角形的面積公式.【典例2】(2024·鹽城模擬)在△ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asin2B2+bsin2A2=(1)求角C的大小;(2)若△ABC為銳角三角形,求a+b【審題思維】(1)由二倍角的正弦和余弦公式,結(jié)合余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊,可將式子變形為a2+b2-c2=ab,再利用余弦定理求解;(2)利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角,再結(jié)合三角恒等變換可得a+bc=2sin(A+π6【解析】(1)在△ABC中,asin2B2+bsin2A2=a(1-cos=a+b2-12(acosB+bcosA)=a+b2-12(a×因?yàn)閍sin2B2+bsin2A2=3ab2(化簡得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=a2+b又C∈(0,π),所以C=π3(2)由正弦定理知a+bc=sinA+sinBsinC=sinA+sin(2π3-=23(32sinA+32=2(32sinA+12cosA)=2sin(A+由△ABC為銳角三角形可知0<A<π20<所以0<A得π6<A<π2,所以π3<A+π所以32<sin(A+π即3<2sin(A+π6則a+bc【題后反思】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換公式及其應(yīng)用.(1)三角函數(shù)變形的三個(gè)統(tǒng)一原則:統(tǒng)一角的大小,統(tǒng)一函數(shù)名稱,統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.(2)解三角形中的最值或范圍問題常用的方法:基本不等式法與三角函數(shù)性質(zhì)法.1.★★★☆☆(2024·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知:sinA+3cosA=2.(1)求A;(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周長.【解析】(1)2(12sinA+32cosA)=2,sin(A+π所以A+π3=π2,所以A=(2)因?yàn)?sinBsinC=sinCsin2B,所以2=2cosB,所以cosB=22所以B=π4,C=7π由asinA=bsinB=csinC得所以b=22,c=6+2,△ABC的周長為2+6+32.2.★★★☆☆(2024·蕪湖三模)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且bcosA+3bsinA=a+c.(1)求B;(2)若b=2,△ABC的面積為3,D為AC邊上一點(diǎn),滿足CD=2AD,求BD的長.【解析】(1)由正弦定理有sinBcosA+3sinBsinA=sinA+sinC,因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinBcosA+3sinBsinA=sinA+sinAcosB+cosAsinB,化簡得3sinBsinA=sinA+sinAcosB,由A∈(0,π),sinA≠0有3sinB=1+cosB,可得sin(B-π6)=1因?yàn)锽∈(0,π),B-π6∈(-π6,5π所以B-π6=π6,則B=(2)由B=π3,S=12acsinB=3有ac=4,又b2=a2+c2-2accosB可得a2+c聯(lián)立a2+c2=8ac=4,解得a=c=2,所以△ABC為正三角形,所以AD=23,A=π3,在△ABD中,由余弦定理得BD2=22+(2故BD的長為273.★★★☆☆(2024·北京高考)在△ABC中,a=7,A為鈍角,sin2B=37bcos(1)求A;(2)從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求△ABC的面積.①b=7;②cosB=1314③csinA=52注:如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(1)因?yàn)閟in2B=37bcosB=2sinBcosB,cosB所以sinB=314b在△ABC中,由正弦定理得asinA=因?yàn)閍=7,所以sinA=32因?yàn)锳為鈍角,所以A=2π3(2)若選條件①,因?yàn)閎=7,a=7,所以B=A=2π3與A+B+C若選條件②,因?yàn)閏osB=1314,所以sinB=1-cos2B=3314所以b=asinA·sinB=7sin2π3×3314=3,又sinC=sin(A+B=32×1314+(-12)×3所以△ABC的面積S=12absinC=12×7×3×53若選條件③,由(1)知A=2π3因?yàn)閏sinA=523,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即72=b2+52-2b×5×cos2π3,解得b所以S△ABC=12bcsinA=12×3×5×sin2π34.★★★☆☆(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosA1+sinA(1)若C=2π3,求B(2)求a2+【解析】(1)因?yàn)閏osA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB,即sinB=cos而0<B<π2,所以B=π(2)由(1)知,sinB=-cosC>0,所以π2<C<π,0<B<π而sinB=-cosC=sin(C-π2所以C=π2+B,即有A=π2所以a2+b2=(2cos2B-1)2+1-co當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=22時(shí)取等號,所以a2+b2年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式與裂項(xiàng)相消法求和17求數(shù)列的通項(xiàng)公式與公差20數(shù)列的新定義問題19新高考Ⅱ卷等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用17數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用18數(shù)列的應(yīng)用19【典例1】(13分)(規(guī)范解答)(2024·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(-1)n-1nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【審題思維】(1)由已知遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解;(2)先求出bn,然后結(jié)合錯(cuò)位相減法求解.【解析】(1)因?yàn)?Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,兩式相減可得4an+1=3an+1-3an, ……3分即an+1=-3an,又因?yàn)?S1=3a1+4,所以a1=4,故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4,公比為-3的等比數(shù)列,所以an=4·(-3)n-1; …6分(2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1, ……8分所以Tn=4(1·30+2·31+3·32+…+n·3n-1),3Tn=4(1·31+2·32+3·33+…+n·3n), ……10分兩式相減可得:-2Tn=4(1+31+32+…+3n-1-n·3n)=4(1-3n-2-n·3n所以Tn=(2n-1)3n+1. ……13分【題后反思】本題考查由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法的應(yīng)用,解題時(shí)謹(jǐn)防兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn):(1)由Sn求an,注意對n=1時(shí)對應(yīng)的首項(xiàng)的檢驗(yàn);(2)利用錯(cuò)位相減法求解時(shí),不要弄錯(cuò)項(xiàng)數(shù).【典例2】(2024·泉州二模)已知數(shù)列{an}和{bn}的各項(xiàng)均為正,且a3=18b1,{bn}是公比為3的等比數(shù)列.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn=an2+2a(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=bn+3(bn+3-3)(bn+3-1【審題思維】(1)利用遞推公式可證得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;利用等比數(shù)列的性質(zhì),可求出{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求出cn,根據(jù)裂項(xiàng)相消法和分組求和法求Tn.【解析】(1)由題設(shè),當(dāng)n=1時(shí),4S1=a12+2a1,所以a1=2或a由4Sn=an2+2an,知4Sn-1=an-12+2an-1,兩式相減得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,所以an+an-1=0(舍)或an-an-1-2=0,即a所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2n.又a3=18b1=6,所以b1=13,所以bn=3n-2(2)cn=bn+3(bn+3-3)(bn+3-1)+a=12(13n-1-1則Tn=12[(13-1-132-1)+(132當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=12(12-13當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=12(12-13n+1-1)-(n所以Tn=12【題后反思】本題考查等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及裂項(xiàng)相消法、分組求和法,解題時(shí)需要注意:(1)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要保證相消前后等號成立;(2)當(dāng)通項(xiàng)公式中出現(xiàn)(-1)n,(-1)n+1,求和時(shí)常按奇偶討論.1.★★★☆☆(2024·成都模擬)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知2Sn=n2+an+a1-1.(1)若a1≠1,證明:{an-n}是等比數(shù)列;(2)若a2是a1和a3的等差中項(xiàng),設(shè)bn=1anan+2,求數(shù)列{bn}的前【解析】(1)對2Sn=n2+an+a1-1①,當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=(n-1)2+an-1+a1-1②,①-②:2(Sn-Sn-1)=2n-1+an-an-1,即2an=2n-1+an-an-1,經(jīng)整理,可得an-n=(-1)[an-1-(n-1)],a1≠1,故{an-n}是以a1-1為首項(xiàng)、-1為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知an-n=(-1)n-1(a1-1),有a2=3-a1,a3=a1+2,由題設(shè)知2a2=a1+a3,即2(3-a1)=a1+(a1+2),則a1=1,故an=n.而bn=1anan+2=1n(Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=12(11-13+12-14+…+1n-1-1n+1+1n-1故Tn=34-12(1n+12.★★★☆☆(2024·紹興三模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,Sn=nn+2an+1,設(shè)bn=(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)Sn=nn+2an+1=nn+2(Sn+1-Sn),即(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=(2n+2)Sn,則nSn+1即bn+1=2bn,又b1=S11=a故數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列;(2)由(1)得bn=2n,即Snn=2n,則Sn=n·2則Tn=1·21+2·22+…+n·2n,有2Tn=1·22+2·23+…+n·2n+1,則Tn-2Tn=-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2(1-2n)1-2-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,故3.★★★☆☆(2024·安康模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=(-1)nan+(-1)n+12n,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和【解析】(1)由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n,可得nSn+1-(n+1)Sn=n(n+1),所以Sn+1n+1-Snn=1,又由a1=1,所以所以Snn=1+(n-1)×1=n,則Sn=n當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)2,所以Sn-Sn-1=an=n2-(n-1)2=2n-1,又當(dāng)n=1時(shí),a1=1滿足上式,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.(2)由(1)可知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=-an=1-2n;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=an+2×2n=2n-1+2n+1,所以T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n=(b1+b3+b5