2024-2025學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題專項(xiàng)復(fù)習(xí)（考試范圍：第1~3章）含答案

期中易錯(cuò)題壓軸題專項(xiàng)復(fù)習(xí)【26大題型】

（考試范圍：第1?3章）

【北師大版2024】

＞題型梳理

【易錯(cuò)篇】

【考點(diǎn)1幕的運(yùn)算】

【考點(diǎn)2單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】

【考點(diǎn)3單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】

【考點(diǎn)4多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】

【考點(diǎn)5完全平方公式】

【考點(diǎn)6平方差公式】

【考點(diǎn)7對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、三線八角】

【考點(diǎn)8兩條直線垂直】

【考點(diǎn)9平行線的判定與性質(zhì)】

【考點(diǎn)10平行線之間的距離】

【考點(diǎn)11可能性的大小】

【考點(diǎn)12利用頻率估計(jì)概率】

【考點(diǎn)13等可能事件的概率】

【壓軸篇】

【考點(diǎn)14幕的運(yùn)算的逆用】

【考點(diǎn)15多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】

【考點(diǎn)16多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積】

【考點(diǎn)17整式乘法中的規(guī)律性問題】

【考點(diǎn)18整式乘法中的恒成立問題】

【考點(diǎn)19相交線中的角度計(jì)算】

【考點(diǎn)20平行線中的折疊問題】

【考點(diǎn)21平行線中的拐點(diǎn)問題】

【考點(diǎn)22探究角度之間的關(guān)系】

試卷第1頁，共38頁

【考點(diǎn)23平行線中的旋轉(zhuǎn)問題】

【考點(diǎn)24平行線中的多結(jié)論問題］

【考點(diǎn)25新定義問題】

【考點(diǎn)26閱讀理解類問題】

---------------

【易錯(cuò)篇】

【考點(diǎn)1哥的運(yùn)算】

【例1】

（24-25七年級(jí)?四川資陽?期末）

/.\2024

1.計(jì)算弓X(1.25)2023x5的值等于()

A.4B.-4C.5D.-5

【變式1】

（24-25七年級(jí)?吉林白城?階段練習(xí)）

2.下列計(jì)算正確的是（）

A.a5-a5=a25B.(—5^5)2=_25/。引°

C.x2+x6=xsD.-m1+(-加『=-m5

【變式2】

（24-25七年級(jí)?四川成都?期末）

3.已知4a—36+1=0,貝!13?xB”"+27、的值為—

【變式3】

（24-25七年級(jí)?重慶渝北?期末）

4.若4"=6,8"=16,a,6為整數(shù)，貝1124"-"=

【考點(diǎn)2單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】

【例2】

（24-25七年級(jí)?四川遂寧?期末）

5.設(shè)①一。"+2）.儼1y）=/￡,則［一gm］的值為（）

試卷第2頁，共38頁

11

A.B.C.1D.

822

【變式1】

（24-25七年級(jí)?四川成都?期末）

6.先化簡，再求值：（-2。%）（-濡2）-4b,其中a=2,6=1.

【變式2】

（24-25七年級(jí)?山東聊城?期末）

7.若（。叫/^卜卜/一斤比卜4/,則機(jī)+〃的值為

【變式3】

（24-25七年級(jí)?浙江金華?期中）

8.如圖，在正方形內(nèi)，將2張①號(hào)長方形紙片和3張②號(hào)長方形紙片按圖1和圖2兩種方

式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等.

（1）若①號(hào)長方形紙片的寬為2厘米，則②號(hào)長方形紙片的寬為厘米；

（2）若①號(hào)長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號(hào)長方形紙片的面積是平方

厘米.

【考點(diǎn)3單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】

【例3】

（24-25七年級(jí)?四川成都?期末）

9.如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形48CD內(nèi)，未被

覆蓋的部分用陰影表示.如果當(dāng)2c的長變化時(shí)，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保

持不變，那么6：。的值為.

試卷第3頁，共38頁

圖1圖2

【變式1】

（24-25七年級(jí)?廣東深圳?期中）

10.若x(x+a)+3x-26=x~+5x+4恒成立，貝(］。+6=

【變式2】

（24-25七年級(jí)?湖南邵陽?期末）

11.數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得

的積相加，小麗在練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一道題：“l(fā)x?（3x-■+!）=-6/+4X2?-2/”那

么中的一項(xiàng)是.

【變式3】

（24-25七年級(jí)?湖南常德?期末）

12.如圖，某校園的學(xué)子餐廳Wi-Fi密碼做成了數(shù)學(xué)題，小亮在餐廳就餐時(shí)，思索了會(huì)，

輸入密碼，順利的連接到了學(xué)子餐廳的網(wǎng)絡(luò).若他輸入的密碼是2842?，最后兩被隱藏了,

那么被隱藏的兩位數(shù)是.

賬號(hào)：XueZiCanTing

5十3十2=151025

9十2十4=183654

8十6十3=482472

學(xué)子餐廳歡迎你！7十2十5=143549

【考點(diǎn)4多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】

【例4】

（24-25七年級(jí)?山西臨汾?期末）

13.有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個(gè)長為2a+6、寬為。+2b的長

方形，需要3類卡片（）

試卷第4頁，共38頁

a

a

4類

bB類

A.2張B.3張D.5張

【變式1】

(24-25七年級(jí)?河南省直轄縣級(jí)單位?期末)

14.有一塊長為(加+6)米為正數(shù))，寬為(m+3)米的長方形土地，若把這塊地的長增加

1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積()

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

【變式2】

(24-25七年級(jí)?四川成都?期末)

15.先化簡，再求值：；“2a-4b)-(2a+6)g-b)-2.6+1),且單項(xiàng)式為小y與一3孫〃是同

類項(xiàng).

【變式3】

(24-25七年級(jí)?福建福州?期末)

16.發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

我們發(fā)現(xiàn)，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+w.這個(gè)規(guī)律可以利用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)得

出：(x+p)(^x+q^=x2+px+qx+pq=x2+(^p+q)x+pq.

運(yùn)用規(guī)律

(1)如果(X+3)(X-5)=X2+M+〃，那么切的值是，"的值是

⑵如果(x+a)(x+6)=x2+3x-2.

①求(0-3)伍-3)的值；

②求與+&的值.

ab

【考點(diǎn)5完全平方公式】

【例5】

(24-25七年級(jí)?甘肅蘭州?期中)

試卷第5頁，共38頁

17.已知=2a-4b+6c-14,則(。6丫的值是()

A.4B.-4C.8D.-8

【變式1】

(24-25七年級(jí)?上海閔行?期中)

18.如果關(guān)于x的整式9/一(2優(yōu)-l)x+；是某個(gè)整式的平方，那么加的值是.

【變式2】

(24-25七年級(jí)?福建漳州?期中)

19.若x,y是自然數(shù)，且滿足Y+/=4x+2尸4,則x+y=.

【變式3】

(24-25七年級(jí)?湖南婁底?期中)

20.已知(x-2023)2+(x-2025)2=24,則(x-2024>的值是()

A.12B.11C.13D.10

【考點(diǎn)6平方差公式】

【例6】

(24-25七年級(jí)?河南新鄉(xiāng)?期中)

21.某同學(xué)在計(jì)算3(4+1)(4z+1)時(shí)，把3寫成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)

差公式計(jì)算：3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255,請(qǐng)借鑒該同

學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：-具1+()+/=一?

【變式1】

(24-25七年級(jí)?甘肅蘭州?期中)

22.下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(x+y)(x+y)2B.(x+y)(y-x)

C.(x+y)(-x-y)D.^-x+y\y-x)

【變式2】

(24-25七年級(jí)?福建泉州?期中)

23.為了美化校園，學(xué)校把一個(gè)邊長為”m(a>4)的正方形跳遠(yuǎn)沙池的一組對(duì)邊各增加值,

試卷第6頁，共38頁

另一組對(duì)邊各減少1m,改造成長方形的跳遠(yuǎn)沙池.如果這樣，你覺得沙池的面積會(huì)（）

A.變小B.變大C.沒有變化D.無法確定

【變式3】

（24-25七年級(jí)?山西臨汾?期中）

24.霍州鼓樓位于山西霍州市城內(nèi)中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣.其結(jié)

構(gòu)外表是明二假三層，它的間架結(jié)構(gòu)復(fù)雜新穎、巧妙結(jié)合，采用了我國古建筑中的一種凹凸

結(jié)合的連接方式一柳卯（sunmao）結(jié)構(gòu)，精密謹(jǐn)嚴(yán)天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精

湛超群絕倫.如圖①是一個(gè)梯卯結(jié)構(gòu)的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個(gè)長為

（2a+b）cm,寬為（2a-6）cm的長方形，中間鑿掉一個(gè)邊長為acm的正方形，且該零件的高

為acm.求這個(gè)零部件體積.

2“h

2u+6

圖⑴圖②2

【考點(diǎn)7對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、三線八角】

【例7】

（24-25七年級(jí)?河北秦皇島?期末）

25.光線從空氣射入玻璃時(shí)，光的傳播方向發(fā)生了改變，一部分光線通過玻璃表面反射形成

反射光線，一部分光線穿過玻璃發(fā)生了折射，如圖所示，由科學(xué)實(shí)驗(yàn)知道，Z1=Z2,

Z4<Z3,下列結(jié)論正確的是（）

A./I與N2是對(duì)頂角B./4與N3是對(duì)頂角

C.Z3=Z5D.Z4=Z5

試卷第7頁，共38頁

【變式1]

（24-25七年級(jí)?廣東河源?階段練習(xí)）

26.如圖，下列判斷：①/4與/I是同位角；②/N與是同旁內(nèi)角；③N4與2I是內(nèi)

錯(cuò)角；④N1與N3是同位角.其中正確的是（）

A.①②B.①②④

C.②③④D.①②③④

【變式2】

（24-25七年級(jí)?河南南陽?期末）

27.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)。，OEA.AB,垂足為。，OF平分NBOD,若

ZAOC+ZDOF=39°,則斤的度數(shù)為.

【變式3】

（24-25七年級(jí)?黑龍江大慶?階段練習(xí)）

28.如圖，已知直線與CD相交于點(diǎn)。，OE、。尸分別是/夙妝乙40。的平分線.

的補(bǔ)角是「

（2）若N8OO=62。，求和/。O尸的度數(shù).

【考點(diǎn)8兩條直線垂直】

[例8]

試卷第8頁，共38頁

（24-25七年級(jí)?甘肅蘭州?期中）

29.如圖，點(diǎn)P是直線。外的一點(diǎn)，點(diǎn)/、B、C在直線。上，且尸8，。，垂足是2,

PALPC,則下列不正確的語句是（）

A.線段尸C的長是點(diǎn)C到直線PA的距離

B.線段/C的長是點(diǎn)A到直線PC的距離

C.PA、PB、PC三條線段中，PB最短

D.線段尸8的長是點(diǎn)尸到直線。的距離

【變式11

（24-25七年級(jí)?河南南陽?期末）

30.數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活.下列各選項(xiàng)中能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是

彎曲河道改直木板上彈墨線

起

跳

C線

D.

兩釘子固定木條

測量跳遠(yuǎn)成績

【變式2】

（24-25七年級(jí)?湖北宜昌?期末）

31.如圖，點(diǎn)B,C是直線/上的三點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線/外，PAVI,垂足為力,

PA=4cm,PB-6cm,PC=5cm,則點(diǎn)尸到直線/的距離是_cm

試卷第9頁，共38頁

（24-25七年級(jí)?河南鄭州?期中）

32.如圖，直線CZ?相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作若NDOB=43°,則/COE的

度數(shù)是（）

A.43°B.137°C.57°D.47°

【考點(diǎn)9平行線的判定與性質(zhì)】

【例9】

（24-25七年級(jí)?江蘇泰州?期末）

33.一塊木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下（0G，/。）,

支持力N的方向與斜面垂直（ONLAB）,摩擦力/的方向與斜面平行（0C〃48）.若摩

擦力/與重力G方向的夾角Nl=120。，則斜面的坡角N2的度數(shù)是（）

【變式1】

（24-25七年級(jí)?河南南陽?期末）

34.已知N1=N2,下列圖形中，能確定“為I。。的是（）

試卷第10頁，共38頁

【變式2】

（24-25七年級(jí)?山西晉中?期末）

35.已知：如圖，Zl=ZC,EFJ.BC,Z2+Z3=180°

（2）試求出—4DC的度數(shù).

請(qǐng)根據(jù)解答過程，在橫線上填出數(shù)學(xué)式，在括號(hào)內(nèi)填寫相應(yīng)理由.

（1）證明：=（已知）

DP//AC,（①）

.-.Z2=Z4；（②）

（2）解：?.?￡FJ_3C,（已知）

:"EFC=90°,（③）

???Z2=Z4,Z2+Z3=180°,（已證）

Z3+Z4=180°,（④）

,⑤，（⑥）

；.NADC的度數(shù)為⑧.

【變式3】

（24-25七年級(jí)?遼寧沈陽?期末）

36.如圖，在ZUBC中，CD平分NACB,CD交邊AB于點(diǎn)、E,在邊/￡上取點(diǎn)尸，連結(jié)

DF,使//=〃.

⑴求證：DF//BC-

試卷第11頁，共38頁

⑵當(dāng)44=40。，NDEE=36。時(shí)，求N2的度數(shù).

【考點(diǎn)10平行線之間的距離】

【例10］（24-25七年級(jí)?湖北武漢?階段練習(xí)）

37.如圖是小明家電腦主機(jī)里的三根線，其中有一根線。由于時(shí)間太長老化了，小明發(fā)現(xiàn)家

里的另一臺(tái)廢舊機(jī)器的線正好可以替換線c,并把線分別插入對(duì)應(yīng)插口，已知三根線之間的

距離相等，則關(guān)于這三根線的長度，下列說法正確的是（）

A.。最長B.6最長C.c最長D.一樣長

【變式10-1］（24-25七年級(jí)?上海松江?期末）

38.如圖，直線?！?,點(diǎn)A,8位于直線。上，點(diǎn)C,。位于直線6上，且4B：CD=1:2,

如果△NBC的面積為10,那么△8CO的面積為.

【變式10-2］（24-25七年級(jí)?遼寧本溪?期末）

39.如圖，已知直線。〃6,點(diǎn)A、B、C在直線。上，點(diǎn)。、E、尸在直線b上,

AB=EF=2,若尸的面積為5,則△48。的面積為（）

【變式10-3］（24-25七年級(jí)?湖南株洲?期中）

40.如圖，已知梯形4BCL（中，AD//BC,8E和/尸相交于點(diǎn)G,CE和。尸相交于點(diǎn)

試卷第12頁，共38頁

S^ABG=1,S^DHC=1.5,則陰影部分的面積為

【考點(diǎn)11可能性的大小】

【例11]（24-25七年級(jí)?安徽安慶?階段練習(xí)）

41.如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被平均分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別標(biāo)注數(shù)1,2,3,

4,5,6,7,8.任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于下列事件，發(fā)生可能性最大

A.指針落在標(biāo)有5的區(qū)域B.指針落在標(biāo)有10的區(qū)域

C.指針落在標(biāo)有奇數(shù)的區(qū)域D.指針落在標(biāo)有能被3整除的數(shù)的區(qū)域

【變式11-1]（24-25七年級(jí)?河北邯鄲?期末）

42.把正面分別寫有7,4,5,7,5,5的6張卡片反面向上放在桌子上，從中任意摸一張,

摸到可能性最大的數(shù)字是.

【變式11-2]（24-25七年級(jí)?四川廣安?期末）

43.一個(gè)不透明袋子中裝有8個(gè)紅球、機(jī)個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外無其他差

別.從中任意摸出一個(gè)球，若摸到紅球的可能性最大，則小的值不可能為（）

A.10B.5C.3D.2

【變式11-31（24-25七年級(jí)?浙江嘉興?期中）

44.一個(gè)盒子中有a個(gè)紅球和b個(gè)黃球，每個(gè)球除了顏色外都相同.若從盒子中摸到紅

球的可能性小于摸到黃球的可能性，則a與b的大小關(guān)系是.

【考點(diǎn)12利用頻率估計(jì)概率】

【例12]（24-25七年級(jí)?陜西西安?期末）

45.一個(gè)不透明的箱子里裝有僅顏色不同的紅色卡片和藍(lán)色卡片共20張，隨機(jī)從箱子里摸

試卷第13頁，共38頁

出1張卡片，記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.4

附近，由此估計(jì)箱子中藍(lán)色卡片有張.

【變式12-1]（24-25七年級(jí)?浙江寧波?期末）

46.數(shù)學(xué)家皮爾遜為了研究概率問題，進(jìn)行了大量重復(fù)拋硬幣試驗(yàn)，并用頻率來估計(jì)概

率.當(dāng)他把一枚硬幣拋擲24000次時(shí)，則下列正面朝上的次數(shù)與該實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較符合的是

（）

A.11011B.12012C.13013D.14014

【變式12-2]（24-25七年級(jí)?福建泉州?期末）

47.數(shù)學(xué)課上，李老師與學(xué)生們做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)：不透明袋子中有4個(gè)黑球、3

個(gè)白球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)紅球，這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)球，某

一顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該種球的顏色最有可能是（）

01234567次數(shù)（百次）

A.黑球B.白球C.藍(lán)球D.紅球

【變式12-3]（24-25七年級(jí)?遼寧大連?期末）

48.做隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的紀(jì)念幣的試驗(yàn)，得到的結(jié)果如下表所示:

拋擲次數(shù)m5001000150020002500300040005000

“正面向上”的次數(shù)〃26551279310341306155820832598

Y!

“正面向上”的頻率一（精確到

m

0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.521

0.001）

下面有4個(gè)推斷：①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時(shí)，“正面向上”的頻率是0.512,所以“正面向上”的

概率是0.512；②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動(dòng)，顯示出一

定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面向上”的概率是0.520；③若再次做隨機(jī)拋擲該紀(jì)念幣的試驗(yàn),

所以當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時(shí)，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)不一定是1558次；④表格空白處的數(shù)

值是0.520.其中合理推斷的序號(hào)是（）

試卷第14頁，共38頁

A.②④B.①③④C.②③④D.①②③④

【考點(diǎn)13等可能事件的概率】

【例13］（24-25七年級(jí)?遼寧鞍山?期末）

49.任意擲一枚均勻的正方體骰子，“偶數(shù)點(diǎn)朝上”發(fā)生的概率為—.

【變式13-11（24-25七年級(jí)?浙江杭州?期末）

50.一個(gè)箱子里有7個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，它們除顏色外其余均相同.從箱子里任

意摸出一個(gè)球是紅球的概率為（）

,71一12

A.—B.—C.—D.一

105109

【變式13-21（24-25七年級(jí)?陜西安康?期末）

51.校長陪餐制度深受學(xué)生家長的認(rèn)可，一天午餐時(shí)，張校長已經(jīng)坐在了④號(hào)座位，學(xué)生

甲在①?③號(hào)座位中隨機(jī)選擇一個(gè)座位就坐，則學(xué)生甲恰好坐在張校長正對(duì)面的概率為

（）

13

A.B.一D.

23C74

【變式13-3］（24-25七年級(jí)?安徽安慶?專題練習(xí)）

52.初三學(xué)生小明為表達(dá)對(duì)母校的感情，用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律排

放了一組圖案（如圖所示），每個(gè)圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字，寓意“不忘初

心”.其中第（1）個(gè)圖案中有1個(gè)正方體，第（2）個(gè)圖案中有3個(gè)正方體，第（3）個(gè)圖案

中有6個(gè)正方體，….按照此規(guī)律，從第（70）個(gè)圖案所需正方體中隨機(jī)抽取一個(gè)正方體,

抽到帶“心”字正方體的概率是

【壓軸篇】

【考點(diǎn)14幕的運(yùn)算的逆用】

試卷第15頁，共38頁

【例14]（24-25七年級(jí)?湖北武漢?階段練習(xí)）

53.右。相=20,加=20,ab=20,貝!J----=.

mn

【變式14-1]（24-25七年級(jí)?四川巴中?期中）

54.已知2*+2.3*+2=36—,則》=.

【變式14-21（24-25七年級(jí)?安徽滁州?期中）

55.已知x=2'+2u.

（1）若X=77?,則自然數(shù)加=；

（2）若x+2"是一個(gè)完全平方數(shù)，則自然數(shù)"=.

【變式14-3]（24-25七年級(jí)?浙江溫州?期中）

56.已知整數(shù)。、b、c、d滿足a<b<c<"且2"3"4°5"=10000,貝!|4a+36+2c+d的值為.

【考點(diǎn)15多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】

【例15]（24-25七年級(jí)?湖北武漢?期中）

57.如圖，一個(gè)長方形被分成四塊：兩個(gè)小長方形，面積分別為SltS2,兩個(gè)小正方形，

面積分別為邑，S4,若2S1—S2的值與AB的長度無關(guān)，則S3與S4之間的關(guān)系是.

【變式15-1]（24-25七年級(jí)?福建泉州?期末）

58.對(duì)于多項(xiàng)式x-a,x-b,x-c,x-d（a,b,c,d是常數(shù)）,若x-a與x-6的積減

去x-c與的積，其差為常數(shù)，則0,b,c,4應(yīng)滿足的關(guān)系是（）

A.a+b=-c—dB.a—b=c—d

C.a+6=c+"D.而=cd

【變式15-2]（24-25七年級(jí)?四川巴中?期中）

59.若（犬+如+3），-3x+M的展開式中不含f和丁項(xiàng)，則機(jī)+"=

【變式15-3]（24-25七年級(jí)?安徽淮北?期中）

60.[知識(shí)回顧]

有這樣一類題：

代數(shù)式ax-y+6+3x-5y-l的值與x的取值無關(guān)，求a的值；

試卷第16頁，共38頁

通常的解題方法；

把無，y看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與X的取值無關(guān)，所以含無項(xiàng)的

系數(shù)為0，即原式=(。+3)尤—6y+5,所以。+3=。，即a=—3.

A

b

a

—D

圖1

[理解應(yīng)用]

(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2俏-3)尤+2蘇-3加的值與x的取值無關(guān)，求的值;

(2)已知3[(2x+l)(x-l)-x(l-3刈+6(--+到-1)的值與x無關(guān)，求》的值;

(3)(能力提升)如圖1,小長方形紙片的長為.、寬為6,有7張圖1中的紙片按照?qǐng)D2方

式不重疊地放在大長方形/BCD內(nèi)，大長方形中有兩個(gè)部分(圖中陰影部分)未被覆蓋，

設(shè)右上角的面積為H，左下角的面積為$2,當(dāng)?shù)拈L變化時(shí)，S「邑的值始終保持不變,

求。與6的等量關(guān)系.

【考點(diǎn)16多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積】

【例16](24-25七年級(jí)?云南迪慶?期中)

61.【知識(shí)生成】用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式.

(1)【知識(shí)探究】如圖1,是用長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線均分成四個(gè)小長方形,

然后按照?qǐng)D2拼成一個(gè)正方形，可以得到(。-bp、(a+6)2、湖三者之間的等量關(guān)系式:

(2)【知識(shí)遷移】類似的，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)等

式，如圖3,觀察大正方體分割，寫出可以得到的等式；若。+6=6,

試卷第17頁，共38頁

ab=l,求/+/的值；

（3）【拓展探究】如圖4,兩個(gè)正方形/28、CKFG的邊長分別為x,y（x>y）若這兩個(gè)正

方形的面積之和為34,且3￡=8,求圖中陰影部分的面積.

【變式16-1]（24-25七年級(jí)?北京?期中）

62.長方形窗戶ABCD（如圖1）,是由上下兩個(gè)長方形（長方形NEED和長方形￡23）

的小窗戶組成，在這兩個(gè)小窗戶上各安裝了一個(gè)可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個(gè)遮陽

簾的高度分別是。和2b（即。尸=a,BE=2b）,其中a>6>0.當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時(shí)（如

圖1）,若窗框的面積不計(jì)，則窗戶的透光面積就是整個(gè)長方形窗戶（即長方形的

面積.如圖2,上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至GH.當(dāng)下面窗戶

的遮陽簾水平向左拉伸2b時(shí)，恰好與G"在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）.

￡A_-__-_-__-__-_D人■A.〃Gp‘A甘尸（1D

fiCB

圖l圖2圖3

⑴求長方形窗戶/BCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）

22

（2）如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至4G=下面窗戶的遮陽簾拉伸至=處時(shí)，窗

戶的透光面積恰好為長方形窗戶/BCD面積的一半，求？.

b

【變式16-2]（24-25七年級(jí)?福建福州?期中）

63.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合

百般好，隔離分家萬事休.”可見，數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)上發(fā)揮著

重要的作用.在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們?cè)谄磮D活動(dòng)中探尋整式的乘法的奧秘.

情境一如下圖，甲同學(xué)將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個(gè)圖形，請(qǐng)你用含。、b

的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；

情境一

試卷第18頁，共38頁

情境二乙同學(xué)用1塊A木片、4塊8木片和若干塊。木片拼成了一個(gè)正方形，請(qǐng)直接寫出所

拼正方形的邊長(用含b的式子表示)，并求所用C木片的數(shù)量;

情境二

h

uhhh

b

情境三丙同學(xué)聲稱自己用以上的A,B,C三種木片拼出了一個(gè)面積為21+706+462的長

方形；丁同學(xué)認(rèn)為丙同學(xué)的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長方形.

你贊同哪位同學(xué)的說法，請(qǐng)求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應(yīng)的圖形.(要求:

所畫圖形的長、寬與圖樣一致，并標(biāo)注每一小塊的長與寬).

【變式16-3](24-25七年級(jí)?黑龍江哈爾濱?期中)

64.八年級(jí)數(shù)學(xué)老師在集體備課中，發(fā)現(xiàn)利用“面積法”說明整式的乘法有助于學(xué)生的理解,

為此老師們用硬紙卡制作了如下的學(xué)具(axa的正方形的正方形2,的長方

形C),

(1)在一節(jié)課的探究中，小高老師利用1張/和1張C拼出如圖1所示的長方形，利用“面積

法”可以得出的整式乘法關(guān)系式為

(2)在隨后的探究中，小高老師在上課時(shí)則給同學(xué)們發(fā)了很多硬紙片“X。的正方形bxb

的正方形8,0x6的長方形C),并要求同學(xué)們用2張1張8和3張C拼成一個(gè)長方形,

請(qǐng)你在框1中畫出對(duì)應(yīng)的示意圖，并將利用面積法得出的整式乘法關(guān)系式補(bǔ)充完整;

框1

試卷第19頁，共38頁

()()=2a2+3ab+b2

(3)小朱老師在設(shè)計(jì)本單元的階梯作業(yè)時(shí)，給出如圖2所示的示意圖，請(qǐng)結(jié)合圖例，在橫線

上添加適當(dāng)?shù)氖阶?，使等式成立?/p>

+=2a2+2b2

⑷小威老師在培優(yōu)群中布置了一道思考題：已知g+6『+(a-6)2=40,求2a+6的最大值,

請(qǐng)認(rèn)真思考，并完成解答.

【考點(diǎn)17整式乘法中的規(guī)律性問題】

【例17](24-25七年級(jí)?四川眉山?期中)

65.觀察下列各式：

(x-l)(x+l)=X2-1;

(x-l)(x2+x+l)=x3-1;

(x—l)(x3+x2+x+l)=x4-1;

根據(jù)規(guī)律計(jì)算：223—22021+22儂一2沏9+……+2’一+2?-2的值是()

22023_2

A.-——-B.22023-1C.-22023

3

【變式17-1](24-25七年級(jí)?廣西南寧?期中)

66.閱讀：在計(jì)算(x-l乂…+x+l)的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的

情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方

法，數(shù)學(xué)中把這樣的過程叫做特殊到一般.如下所示：

⑴【觀察】①(x-l)(x+l)=；

(2)(x-l)^x2+x+l)=；

試卷第20頁，共38頁

(3)(X-1乂/+/+%+1)=；........

⑵【猜想】由此可得：(無一9(無"+—+龍-+…+》+1)=.

(3)【應(yīng)用】請(qǐng)運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問題：計(jì)算：52°24+52儂+52必+52必+…+5+1的

值.

【變式17-2](24-25七年級(jí)?廣東湛江?期末)

67.觀察并驗(yàn)證下列等式：

13+23=(1+2)2=9,

13+23+33=(1+2+3)2=36,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100,

(1)續(xù)寫等式：13+23+33+甲+53=；(寫出最后結(jié)果)

(2)我們已經(jīng)知道1+2+3+…+〃=；〃("+1),根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論：

13+23+33+---+(?-1)3+?3=；(結(jié)果用因式乘積表示)

(3)利用(2)中得到的結(jié)論計(jì)算：

33+63+93+---+573+603；

【變式17-3](24-25七年級(jí)?河南商丘?期末)

68.日歷與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，日歷中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)問題.如圖，在2025年1月份

的日歷中，兩個(gè)長方形中四個(gè)角上的數(shù)字交叉相乘，再相減，例如7x20-6x21=

11x16-9x18=,不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是.

2025年1月

日—>二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

(1)完成上面的填空.

(2)請(qǐng)你再選擇兩個(gè)類似的長方形框試一試，看看是否符合這個(gè)規(guī)律.

(3)若設(shè)每個(gè)方框的左上角數(shù)字設(shè)為"，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)以上的規(guī)律加以證明.

試卷第21頁，共38頁

【考點(diǎn)18整式乘法中的恒成立問題】

【例18］（24-25七年級(jí)?上海?期中）

69.m、〃為正整數(shù)，如果=_曖"成立，那么（）

A.加必為奇數(shù)B.〃必為奇數(shù)

C.m、"必同為奇數(shù)D.m、〃必同為偶數(shù)

【變式18-1］（24-25七年級(jí)?安徽安慶?階段練習(xí)）

70.等式x（2x+a）+4x-36=2x?+5x+6成立，貝|a=,b=.

【變式18-2］（24-25七年級(jí)?福建泉州?期中）

71.若規(guī)定人6兩數(shù)之間滿足一種運(yùn)算：記作即：若/=b,則（a,?=c.我們叫

這樣的數(shù)對(duì)稱為“一青一對(duì)”.例如:因?yàn)??=9,所以（3,9）=2.

（1）計(jì)算（4,2）+（4,3）=（）；

（2）在正整數(shù)指數(shù)幕的范圍內(nèi)，若（42i,5伏）2（4,5）恒成立，且x只有兩個(gè)正整數(shù)解，則左

的取值范圍是.

【變式18-3］（24-25七年級(jí)?浙江寧波?期末）

72.對(duì)龍/定義一種新運(yùn)算廠，規(guī)定：F（x,y）^（mx+ny）［3x-y）（其中私〃均為非零常

數(shù)）.例如：F（l,l）=2m+2n,F（-l,0）=3m.當(dāng)戶（1,—1）=一8,尸（1,2）=13,則

尸（x,y）=；當(dāng)///時(shí)，尸（%/）=尸（了,*）對(duì)任意有理數(shù)z/都成立，則加,“滿足

的關(guān)系式是.

【考點(diǎn)19相交線中的角度計(jì)算】

【例19】（24-25七年級(jí)?黑龍江哈爾濱?期中）

73.已知：如圖，直線與直線CD交點(diǎn)O,OEA.DC,OE平分NAOF.

試卷第22頁，共38頁

（1）如圖1,求證：OC平分/BOF；

⑵如圖2,OG,OP,0K,在直線N8的下方，若0K平濟(jì)NCOG,0P平分N8OG,

NK0P=25。,求乙4。尸的度數(shù).

【變式19-1］（24-25七年級(jí)?江蘇南京?期末）

74.已知與/8OC互為補(bǔ)角，OD平分NBOC.

（1）如圖①，若//。8=80。，貝!J/20C=°,ZAOD=°.

⑵如圖②，若4408=140。，求乙40。的度數(shù)；

⑶若//O8=〃。，直接寫出乙10。的度數(shù)（用含〃的代數(shù)式表示），及相應(yīng)的〃的取值范圍.

【變式19-21（24-25七年級(jí)?廣東廣州?期末）

75.如圖，點(diǎn)。為直線48上一點(diǎn)，乙8。。=40。，平分乙40C.

⑴求的度數(shù)；

2

（2）作射線?！?使乙B0E=f4COE,求NCOE的度數(shù)；

⑶在（2）的條件下，作乙“臼=90。，使射線。燈在乙B0E的內(nèi)部，且乙D0F=3乙B0H,直

接寫出乙4。〃的度數(shù).

【變式19-3］（24-25七年級(jí)?云南曲靖?期末）

76.直線/瓦。相交于點(diǎn)O,。尸，C。于點(diǎn)。，作射線OE,且OC在//0E的內(nèi)部.

試卷第23頁，共38頁

F,

EE

F

⑴①當(dāng)OE、。下在如圖1所示位置時(shí)，若NBOD=20。,NBOE=130。,求/ECE的度數(shù);

②當(dāng)。￡、。尸在如圖2所示位置時(shí)，若OF平分NBOE,證明：0c平分/40E；

（2）若ZAOF=2ZC0E,請(qǐng)直接寫出ZBOE與ZAOC之間的數(shù)量關(guān)系.

【考點(diǎn)20平行線中的折疊問題】

【例20]（24-25七年級(jí)?浙江臺(tái)州?期末）

77.如圖，有一張長方形紙條NBC。，AD//BC,在線段CF上分別取點(diǎn)G,H,將

四邊形C￡>GH沿直線G”折疊，點(diǎn)C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',D',將四邊形/8尸￡沿直線防折

疊，點(diǎn)/,2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H,B',設(shè)NEEB=a（0<a<90。）.

（1）若C'、。在直線4D的上方，當(dāng)&=50。且滿足^8〃8'尸時(shí)，求/CHG的度數(shù).

（2）在（1）的條件下，猜想直線跖和GH的位置關(guān)系，并證明

⑶在點(diǎn)G,〃運(yùn)動(dòng)的過程中，若C'H〃B'F,請(qǐng)直接用含有。的式子表示NC//G的度數(shù)

【變式20-11（24-25七年級(jí)?北京?期中）

78.學(xué)習(xí)了平行線后，小龍同學(xué)想出了“過已知直線加外一點(diǎn)尸畫這條直線的平行線的新方

法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的（如圖（1）?（4））.

請(qǐng)你觀察圖（1）?（4）,完成下面的填空題和選擇題.

試卷第24頁，共38頁

第一次折疊后（如圖（2）所示），得到的折痕43與直線加之間的位置關(guān)系是

；將正方形紙展開，再進(jìn)行第二次折疊（如圖（3）所示），得到的折痕CD與

第一次折痕之間的位置關(guān)系是;再將正方形紙展開（如圖（4）所示），可得第二次折

痕8所在的直線即為過點(diǎn)P的已知直線加的平行線.從圖中可知，小明畫平行線的依據(jù)有

()

①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等：

③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【變式20-2］（24-25七年級(jí)?山西晉中?期中）

79.綜合與實(shí)踐

折紙是一門古老而有趣的藝術(shù)，小明在課余時(shí)間進(jìn)行了關(guān)于折紙中角的問題的探索.

圖1圖2

初步探索

（1）如圖1,四邊形紙片中，AB//DC,BC//AD,ZC=100°,點(diǎn)E是線段DC上一點(diǎn)，

將紙片/8CD沿3E折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C',測得NEBC=20。，求Z1和/2的度數(shù)；

深入探究

（2）如圖2,小明將紙片換成一張長方形紙片/BCD（ZA=/B=NC=/D=90。），點(diǎn)、E,

產(chǎn)分別是線段8C上的一點(diǎn)，他先將紙片沿E尸折疊，點(diǎn)/,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)

4,夕，N的與線段交于點(diǎn)G,點(diǎn)打是線段。C上一點(diǎn)，再將紙片沿G8折疊，點(diǎn)。的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，使得點(diǎn)夕恰好在G。'上，測得NE/卻=62。，則

試卷第25頁，共38頁

【變式20-3］（24-25七年級(jí)?廣西南寧?期中）

80.綜合與實(shí)踐——折紙中的數(shù)學(xué)：我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》中探究了簡

單圖形折疊問題，并進(jìn)行了簡單的計(jì)算與推理.七年級(jí)下冊(cè)第五章學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判

定后，我們進(jìn)行了長方形紙條的折疊與平行線的探究，今天我們繼續(xù)探究——折紙與平行線.

如圖1,長方形紙條幺8跖V中，AB//MN,AN//BM.第一步，將長方形紙條折疊，使

折痕經(jīng)過點(diǎn)力,得到折痕/C,再將紙片展平；第二步，如圖2,將折痕/C折到/E處，點(diǎn)

8落在"處；第三步，如圖3,將/團(tuán)）對(duì)折，使點(diǎn)M落在處，點(diǎn)N落在N'處，EN'

與共線，得到折痕EF.

⑴如圖2：①若NC￡%=36。，貝=；

②若/CD4=a,貝夕EN=（用含a的式子表示）.

⑵如圖2,NC和。E有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,折痕/。和EF有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)21平行線中的拐點(diǎn)問題】

【例21】（24-25七年級(jí)?黑龍江哈爾濱?期中）

81.如圖，AB//CD,AEAF=2ZFAB,ZECF=2ZFCD,ZAFC=16°,則//EC的度

【變式21-1］（24-25七年級(jí)?四川南充?期中）

82.如圖，已知AB//CD,ZPAQ=2NBAQ,ZPCD=3NQCD,NAQC=98°,則ZP=

試卷第26頁，共38頁

AB

【變式21-2］（24-25七年級(jí)?湖北恩施?期中）

83.如圖，^ZBAP=9Q°-a,ZAPD=900+a,且NBAE=NCPF,Z￡1=1?+20o,

ZF=2a-10°,則1=.

【變式21-3］（24-25七年級(jí)?甘肅蘭州?期中）

84.［問題情境］

在綜合實(shí)踐課上，老師組織班上的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1,

已知直線4B〃CD,點(diǎn)、E、G分別為直線/￡上的點(diǎn)，點(diǎn)廠是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接

EF、GF.

［拓展探究］

（2）如圖2點(diǎn)P、。分別是直線CD上的點(diǎn)，且ZPFQ=ZEFG=90°,直線MN〃FG,

交尸。于點(diǎn)K,“智勝小組”探究/FKN與/尸性之間的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并

說明理由.

【考點(diǎn)22探究角度之間的關(guān)系】

【例22】（24-25七年級(jí)?湖南永州?期中）

85.已知，點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn).

試卷第27頁，共38頁

(1)如圖1,若NEAF=25。,ZEDG=45°,則//￡￡>=_.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在尸G延長線上時(shí)，此時(shí)CZ?與/E交于點(diǎn)“，則/NED、/EAF、ZEDG

之間滿足怎樣的關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在尸G延長線上時(shí)，DP平分NEDC,ZEAP:ZBAP=1;2,

NAED=32°,/尸=30。，求/瓦㈤的度數(shù)并說明理由.

【變式22-11(24-22七年級(jí)?福建福州?期中)

86.已知直線￡/〃MN,點(diǎn)A、8分別為斯，MV上的動(dòng)點(diǎn)，且BD平分NCBN交EF于

圖1