2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.（4分）（尤-1）5的展開式中，所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為（）

A.0B.25C.1D.26

2.（4分）已知函數(shù)/（%）=黑，則,（0）的值為（）

A.0B.1C.-1D.IT

3.（4分）若等比數(shù)列｛詞的前“項(xiàng)和&=2"—1,則公比4=（）

11

A.一B.-5C.2D.-2

22

4.（4分）下列函數(shù)中，在區(qū)間［-1,0］上的平均變化率最大的是（）

A.y=j?B.y=/c.y=(1)xD.y=2》

5.（4分）將分別寫有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行組成一個(gè)四位數(shù)（首位不為0）,則

組成的不同四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.12C.18D.24

6.（4分）小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，若投中一次的2分，沒(méi)投中得0

分，總得分為X,則（）

A.E(X)=2.4B.E(X)=4.8C.D(X)=0.48D.D(X)=0.96

7.（4分）已知一批產(chǎn)品中，A項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為80%,3項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為90%,A、2兩項(xiàng)指標(biāo)都

合格的比例為60%,從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品，若A項(xiàng)指標(biāo)合格，則該產(chǎn)品的B項(xiàng)指標(biāo)也合格

的概率是（）

3235

A.-B.-C.一D.—

7346

8.（4分）已知等差數(shù)列｛久｝的前"項(xiàng)和為S,公差為d,則“S"有最大值”是“d<0”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

9.（4分）設(shè)函數(shù)/（無(wú)）—In（1-尤）+asinr.若/（尤）W/（0）在（-1,1）上恒成立，貝！I（）

A.〃=0B.心1C.OV〃W1D.a=l

10.（4分）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將產(chǎn)品銷量為1件時(shí)的總收益稱為收益函數(shù)，記為R（x）,相應(yīng)地把R'（x）稱

為邊際收益函數(shù)，它可以幫助企業(yè)決定最優(yōu)的生產(chǎn)或銷售水平.假設(shè)一個(gè)企業(yè)的邊際收益函數(shù)R'（尤）

=1000-x（注：經(jīng)濟(jì)學(xué)中涉及的函數(shù)有時(shí)是離散型函數(shù)，但仍將其看成連續(xù)函數(shù)來(lái)分析）.給出下列三

個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)銷量為1000件時(shí)，總收益最大；

②若銷量為800件時(shí)，總收益為T,則當(dāng)銷量增加400件時(shí)，總收益仍為T；

③當(dāng)銷量從500件增加到501件時(shí)，總收益改變量的近似值為500.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。

11.（4分）（1-2x）4的二項(xiàng)展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字作答）

12.（4分）某學(xué)校組織趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，一共設(shè)置了3個(gè)項(xiàng)目（其中只包含1個(gè)球類項(xiàng)目），每位教師只能從

3個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇2個(gè)參加，設(shè)李老師選擇的2個(gè)項(xiàng)目中所含球類項(xiàng)目的數(shù)量為X,則X的所有可能

取值為，數(shù)學(xué)期望E（X）=.

13.（4分）已知數(shù)列｛劭+1｝是公比為2的等比數(shù)列，若ai=0,貝I]°1+42+-+而=.

14.（4分）甲乙兩人射擊一架進(jìn)入禁飛區(qū)的無(wú)人機(jī).已知甲乙兩人擊中無(wú)人機(jī)的概率分別為0.5,0.4,且

甲乙射擊互不影響，則無(wú)人機(jī)被擊中的概率為.若無(wú)人機(jī)恰好被一人擊中，則被擊落的概

率為02若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6,那么無(wú)人機(jī)被擊落的概率為.

15.（4分）已知數(shù)列｛a”｝的前w項(xiàng)和為曲，滿足ai=l,當(dāng)w22時(shí)，=A.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)入=0時(shí)，CZ3=-/；

②當(dāng)人=-3時(shí)，52024=2;

③當(dāng)入=4時(shí)，S>2恒成立；

④當(dāng)>>1時(shí)，｛板｝從第三項(xiàng)起為遞增數(shù)列.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題共6小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

16.（10分）已知函數(shù)/（無(wú)）=（x-1）

（I）判斷了（%）在（-8,0）上的單調(diào)性，并證明；

（II）求/（X）在（0,+8）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

17.（10分）某公司有甲乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，對(duì)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)

品進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，經(jīng)檢測(cè)得到了A、8的兩項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，記為“A,qB,定義產(chǎn)品的指標(biāo)偏差0=

\qA~\\+\qB-2|,數(shù)據(jù)如表:

甲生產(chǎn)線抽樣12345678910

產(chǎn)品編號(hào)

指標(biāo)

qA0.980.961.071.020.990.930.920.961.111.02

qB2.011.971.962.032.041.981.951.992.072.02

Q0.030.070.110.050.050.090.130.050.180.04

乙生產(chǎn)線抽樣12345678

產(chǎn)品編號(hào)

指標(biāo)

qA1.020.970.950.941.130.980.971.01

qB2.012.032.151.932.012.022.192.04

Q0.030.060.200.130.140.040.220.05

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每件產(chǎn)品的質(zhì)量相互獨(dú)立.

(I)從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計(jì)該產(chǎn)品滿足好>1且用>2的概率；

(II)從甲乙兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，設(shè)X表示這兩件產(chǎn)品中滿足qB>2的產(chǎn)品數(shù)，求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(III)已知Q的值越小則該產(chǎn)品質(zhì)量越好.如果甲乙兩條生產(chǎn)線各生產(chǎn)一件產(chǎn)品，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)判斷

哪條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品質(zhì)量更好？并說(shuō)明理由.

18.(10分)已知/■⑶叫

(I)當(dāng)a=-3,b=-1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程；

(II)已知/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,且滿足了(XI)+f(X2)=0,求匕的值；

(III)在(II)的條件下，若/(X)27+1在［1,+8)上恒成立，求〃的取值范圍.

19.(10分)已知數(shù)列A:ai,CL2,…，4100滿足41<42<…<4100,集合S={位+勾|1WiWjW100}.設(shè)S中有

M個(gè)元素，從小到大排列依次為加,bi,…，bm；

(I)若劭=九，請(qǐng)直接寫出如bl,bm；

(II)若。九=2n,求0o；

(Ill)若歷025=〃汁勾(，</),求j的最小值.

20.(10分)設(shè)函數(shù)/(%)=si7l3X+gcOS3%(3>0),從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)/(%)

存在.

(I)求/(X)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若對(duì)于任意的久eg,可，都有了(尤)Wc,求實(shí)數(shù)C的取值范圍.

條件①：函數(shù)/(無(wú))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(―92)；

條件②：/(x)在區(qū)間［―,，上單調(diào)遞增；

條件③：x—金是f(x)的一條對(duì)稱軸.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(I)問(wèn)得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

21.(10分)設(shè)〃為正整數(shù)，集合4={a|a=ti,…，歷)，僅E{0,1},k=l,2,…，n}.對(duì)于集合

A”中的任意元素a=(xi,xi,…，xn)和0=(yi,”，…，如)，定義a*B=(xieyi,…，

0tOP=(|xi-yi\,\X2-y2\,…，\xn-yn\\以及|a|=Xl+X2+…+物.

(I)若〃=5,a=(1,LL0,1),a*0=(0,1,L0,1),|0|=4,求0；

(II)若〃=9,ai,(X2,…a左(422)均為A〃中的元素，且g|=3(IWiWA),|。產(chǎn)期=0(IWiVjWA),

求人的最大值；

(III)若ao,ai,(X2,…，a左(Z22)均為4(心5)中的元素，其中|ao|=O,且滿足口0%1|

n-2(OWiWk-1),求人的最小值.

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

題號(hào)12345678910

答案BBCBABCBDD

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.（4分）（X-1）5的展開式中，所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為（）

A.0B.25C.1D.26

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)和求解公式即可求解.

【解答】解：由題意可得所有二項(xiàng)式系數(shù)和為25.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)和的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.（4分）已知函數(shù)/（%）=黑，則,（0）的值為（）

A.0B.1C.-1D.n

【分析】對(duì)函數(shù)/（無(wú)）求導(dǎo)，再將x=0代入導(dǎo)函數(shù)，即可求解.

【解答】解：以吟=孤,

則f（X）—（.s^nx）'cosx-si-nx（.cosxy_cos2x+sin2x_1

cos2xcos2xcos2%'

故/（0）=1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.(4分)若等比數(shù)列｛板｝的前w項(xiàng)和%=2"-1,貝IJ公比q=()

11

A.-B.-4C.2D.-2

22

【分析】根據(jù)題意，求出該等比數(shù)列中的。1、。2的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛而｝的前〃項(xiàng)和匕=2幾-1,

貝ijai=Si=2i-1=1,

a2=S2-Si=（22-1）-（2-1）=2,

故該等比數(shù)列的公比q=?=2.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的前W項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.

4.(4分)下列函數(shù)中，在區(qū)間［-1,0］上的平均變化率最大的是()

A.y—x1B.y—x3C.y-&尸D.y—2x

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均變化率公式，即可求解.

0-(-1)2

【解答】解：對(duì)于4平均變化率為.二=-1,

o-(-i)

對(duì)于8,平均變化率為一,J、=1，

0-(-1)

(-)0-(-)-1

對(duì)于C,平均變化率為22=一1,

0-(-1)

對(duì)于D,平均變化率為2-°->(2)T1

0-(-1)2

故在區(qū)間［-1,0］上的平均變化率最大的是>=彳3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均變化率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.(4分)將分別寫有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行組成一個(gè)四位數(shù)(首位不為0),則

組成的不同四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.9B.12C.18D.24

【分析】通過(guò)首位是2與4,分別求解即可.

【解答】解：四位數(shù)(首位不為0),只能是2或4,

當(dāng)首位是2時(shí)，有a=6個(gè).

首位是4時(shí)，有盤=3個(gè).

共有三位數(shù)個(gè)數(shù)為9個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查有限制條件的排列、組合問(wèn)題的應(yīng)用，是中檔題.

6.(4分)小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，若投中一次的2分，沒(méi)投中得0

分，總得分為X,則()

A.E(X)=2.4B.E(X)=4.8C.D(X)=0.48D.D(X)=0.96

【分析】先求出每次得分的期望和方差，然后利用期望和方差的性質(zhì)即可得解.

【解答】解：設(shè)每次得分為匕則Y的所有可能取值為0,2,

則尸(y=0)=1-0.8=0.2,P(y=2)=0.8,

則E(y)=0X0.2+2X0.8=1.6,

D(y)=(0-1.6)2xo.2+(2-1.6)2x0.8=0.64,

由題有X=3Y,

所以E(X)=3E(K)=4.8,D(X)=90(F)=5.76.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于中檔題.

7.（4分）已知一批產(chǎn)品中，A項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為80%,8項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為90%,A、8兩項(xiàng)指標(biāo)都

合格的比例為60%,從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品，若A項(xiàng)指標(biāo)合格，則該產(chǎn)品的B項(xiàng)指標(biāo)也合格

的概率是（）

【分析】利用條件概率公式直接求解.

【解答】解：知一批產(chǎn)品中，A項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為80%,B項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為90%,A、3兩項(xiàng)指

標(biāo)都合格的比例為60%,

從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品,

若A項(xiàng)指標(biāo)合格，則該產(chǎn)品的8項(xiàng)指標(biāo)也合格的概率是:

…A)=喘嘯］

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求發(fā)能力，是基礎(chǔ)題.

8.（4分）已知等差數(shù)列｛或｝的前幾項(xiàng)和為S,公差為d,則“S〃有最大值”是“d<0”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前幾項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)及d=0的等差數(shù)列，判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充

分、必要性定義即可知答案.

【解答】解：?.?等差數(shù)列前〃項(xiàng)和%=宗n2+（的—當(dāng).九，

當(dāng)d<0時(shí)，由％對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開口向下可知，％有最大值，

若等差數(shù)列｛即｝是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，則S最大值也為0,此時(shí)d=0,

所以“Sn有最大值”是“d<0”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前W項(xiàng)和性質(zhì)，充要條件的判定，屬基礎(chǔ)題.

9.(4分)設(shè)函數(shù)/(無(wú))—In(1-x)+asin.r.若/(x)W/(0)在(-1,1)上恒成立，貝!I()

A.B.aNlC.0<aW1D.a=l

【分析】先根據(jù)函數(shù)求出其導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)恒成立解出其函數(shù)極大值點(diǎn)，將極大值點(diǎn)的充值代入導(dǎo)函數(shù)

求解即可.

【解答】解：因?yàn)?(x)—In(1-x)+osin%,

所以求導(dǎo)可得了'(x)=—S^+acosx.

因?yàn)?(x)勺(0)在(-1,1)上恒成立，且在(-1,1),

所以尤=0為/(x)的極大值點(diǎn)，

所以/(0)=0,

即/(0)=-l+a=0,

所以a=1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.

10.(4分)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將產(chǎn)品銷量為x件時(shí)的總收益稱為收益函數(shù)，記為R(x),相應(yīng)地把R'(%)稱

為邊際收益函數(shù)，它可以幫助企業(yè)決定最優(yōu)的生產(chǎn)或銷售水平.假設(shè)一個(gè)企業(yè)的邊際收益函數(shù)R(無(wú))

=1000-尤(注：經(jīng)濟(jì)學(xué)中涉及的函數(shù)有時(shí)是離散型函數(shù)，但仍將其看成連續(xù)函數(shù)來(lái)分析).給出下列三

個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)銷量為1000件時(shí)，總收益最大；

②若銷量為800件時(shí)，總收益為T,則當(dāng)銷量增加400件時(shí)，總收益仍為T；

③當(dāng)銷量從500件增加到501件時(shí)，總收益改變量的近似值為500.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【分析】由題意可知，R(尤)=1000x-1x2+C(其中C為常數(shù))，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】解：因?yàn)镽'(x)=1000-%,

所以R(尤)=1000A-+C(其中C為常數(shù))，

即R(x)=-i%2+1000x+C(其中C為常數(shù))，

所以當(dāng)尤=—-萼-=1000時(shí)，R(%)取得最大值，故①正確，

2x(4)

因?yàn)橛?800與x=1200關(guān)于x=1000對(duì)稱，

所以銷量為800件與銷量為1200件時(shí)，總收益相同，故②正確，

當(dāng)銷量從500件增加到501件時(shí)，總收益改變量為：

-|X5012+1000X501+C-X5002+1000X500+C)=499.5心500,故③正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。

11.(4分)(1-2x)4的二項(xiàng)展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為24.(結(jié)果用數(shù)字作答)

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出展開式中含/的項(xiàng)，由此即可求解.

【解答】解：展開式中含/項(xiàng)為C乳—2久)2=24/,

所以尤2項(xiàng)的系數(shù)為24,

故答案為：24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.(4分)某學(xué)校組織趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，一共設(shè)置了3個(gè)項(xiàng)目(其中只包含1個(gè)球類項(xiàng)目)，每位教師只能從

3個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇2個(gè)參加，設(shè)李老師選擇的2個(gè)項(xiàng)目中所含球類項(xiàng)目的數(shù)量為X,則X的所有可能

取值為0或1,數(shù)學(xué)期望E(X)=:.

【分析】根據(jù)題意，求得X的可能取值及對(duì)應(yīng)概率，根據(jù)期望公式求解即可.

【解答】解：由題意，X的可能取值為0,1,

則P(X=0)=號(hào)=!，

cf3

P(X=1)=零/，

rLD

C3

I72

E(X)=0x^+lx|=|.

2

故答案為：0或1；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，是中檔題.

13.(4分)已知數(shù)列｛珈+1｝是公比為2的等比數(shù)列，若41=0,則Q1+Q2+…+珈=2"-幾-1.

【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出數(shù)列｛劭+1｝的前〃項(xiàng)和，變形計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛即+1｝是公比為2的等比數(shù)歹U，

若41=0,則41+1=1,

故(〃1+1)+(6Z2+1)+....+(〃〃+1)=(41+42+…+劭)+〃=lX,l:)=2a-1,

1—Z

n

變形可得：ai+a2+-+an—2-n-1.

故答案為：2n-n-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的前"項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.

14.(4分)甲乙兩人射擊一架進(jìn)入禁飛區(qū)的無(wú)人機(jī).已知甲乙兩人擊中無(wú)人機(jī)的概率分別為0.5,0.4,且

甲乙射擊互不影響，則無(wú)人機(jī)被擊中的概率為0.7.若無(wú)人機(jī)恰好被一人擊中，則被擊落的概率為

0.2；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6,那么無(wú)人機(jī)被擊落的概率為0.22.

【分析】設(shè)甲擊中無(wú)人機(jī)為事件4乙擊中無(wú)人機(jī)為事件2,無(wú)人機(jī)被中落為事件C,無(wú)人機(jī)被擊落為

事件D,先求出C的對(duì)立事件的概率，進(jìn)而可得第一空答案，由全概率公式可得第二空答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲擊中無(wú)人機(jī)為事件A,乙擊中無(wú)人機(jī)為事件無(wú)人機(jī)被中落為事件C,

無(wú)人機(jī)被擊落為事件D,

C的對(duì)立事件為無(wú)人機(jī)沒(méi)有被擊中，即事件而，其概率尸(而)=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,

則無(wú)人機(jī)被擊中的概率尸(C)=1-P(AB)=1-03=0.7；

若無(wú)人機(jī)恰好被一人擊中，即事件A萬(wàn)+彳8,其概率尸(A亙+彳8)=(1-0.5)X0.4+0.5X(1-0.4)

=0.5,

若無(wú)人機(jī)恰好被兩人擊中，即事件該概率尸(AB)=0.5X04=0.2,

則尸(￡?=尸(AB+AB)P(D|(AB+XB))+P(AB)P(Z)|AB)=0.5X0.2+0.2X0,6=0.22.

故答案為:0.7；0.22.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，注意分析事件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.(4分)已知數(shù)列｛班｝的前“項(xiàng)和為S”滿足m=l,當(dāng)w22時(shí)，Sn-d^=A.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)入=0時(shí)，a3---

②當(dāng)人=-3時(shí)，S2024=2;

③當(dāng)入=4時(shí)，%>2恒成立；

④當(dāng)入>1時(shí)，｛斯｝從第三項(xiàng)起為遞增數(shù)列.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為①③④.

【分析】根據(jù)麋—W=4遞推關(guān)系代入人=0可計(jì)算出①；再通過(guò)入=-3計(jì)算出Sn,即可判斷②；再

通過(guò)4=4計(jì)算出曲的不等式，即可判斷③；再根據(jù)an=Sn-Sn-\,利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷④.

【解答】解：當(dāng)入=0時(shí)，S^-an=0,當(dāng)時(shí)，Sn=磷，所以夠=S2=a2或52=-ai,

a

若S2=〃2041+42=42,則41=0,與題意矛盾，所以S2=~a2=%+即=~2今—2tt2=%今的=一,

因?yàn)獒?嫌，所以用=aj=>S3=口3或S3=-43,

若53=。3=>。1+。2+。3=。3則〃1+。2=0,與題意矛盾，

11

所以S3=-。3今〃1+〃2+。3=-43n-2。3=。1+。2=三=。3=-彳，所以①正確；

當(dāng)入=-3時(shí)，S:一磷=-3,所以麋一(Sn-Sn_i)2=-3nSn_i(2Sn-Sn_t)=-3,

所以Si(2S2-SI)=-30&=-1,S2(28-S2)=-3今$3=1，S4(254-S3)=-30S4=-1,....,

所以｛防｝是以2為周期的周期數(shù)列，所以S2024=S2=-1,所以②錯(cuò)誤；

當(dāng)a=4時(shí)，S/—W=4,所以喋—(Sn-Sn_1)2=2今Sn_i(2Sn-Sn_J=4,

所以—FS九_(tái)i)(zi22),因?yàn)椤?=1,入=4,所以>0,S〃-i>0,

zdn-lsn-i

由基本不等式可得%=+S九_(tái)i)>V4=2,

4

當(dāng)且僅當(dāng)7—=Sn_i今S-1=4時(shí)，取等號(hào)，但因?yàn)轺鏣—嗎―=4,所以取不到等號(hào)，所以Sn>2,

sn-l

所以③正確；

當(dāng)入>1時(shí)，S：—W=3所以S/—(Sn-S“T)2=4今Sn_i(2Sn-Sn_J=A.

所以S九=5(不^—FSn_^)(n>2),因?yàn)椤╥=l,入>1,

zdn-l

所以7^>0,S^X),由基本不等式可得%=J(Q+S九_(tái)i)NVL

s九T乙dn-l

當(dāng)且僅當(dāng)3=Sn-1=Sn-1=%時(shí)，取等號(hào)，但因?yàn)轺鏮1一嫌_1=九所以取不到等號(hào)，所以％〉VI,

sn-l

又因?yàn)閍九=S-S_----$九_(tái)1),

nnr乙dn-l

令x=s〃-i(x>0),則y=2(±-%)(x〉迎),

當(dāng)y=；((_%)=o=>%=6,

由丫=方?-乂)，(%>迎)的函數(shù)性質(zhì)，由圖可知，當(dāng)久>VXy<0,有所<0(w23),

所以｛%｝從第二項(xiàng)開始為遞減數(shù)列，

當(dāng)w23且〃增大時(shí)，％」遞減，即遞增，

所以｛癡｝從第三項(xiàng)起為遞增數(shù)列，所以④正確；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，屬于中檔題.

三、解答題共6小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

16.（10分）已知函數(shù)/（無(wú)）=（x-1）

（I）判斷了（x）在（-8,o）上的單調(diào)性，并證明；

（II）求/（x）在（0,+8）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【分析】（/）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；

（II）結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.

【解答】解：（/）/（%）=（尤-1）/在（-8,0）上單調(diào)遞減，證明如下：

因?yàn)?（x）=xe^-2x=（*-2）x>0,

所以/（尤）在（-8,0）上單調(diào)遞增；

（II）由（/）可知，f（x）在（0,仇2）上單調(diào)遞減，在（歷2,+8）上單調(diào)遞增，

2

因?yàn)?'（勿2）=2ln2-2-（加2）<0,f（0）=-KO,xf+8時(shí)，f（x）—+°o,

由零點(diǎn)存在定理可得，/（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，還考查了由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，屬于中檔題.

17.（10分）某公司有甲乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，對(duì)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)

品進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，經(jīng)檢測(cè)得到了A、B的兩項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，記為四，qB,定義產(chǎn)品的指標(biāo)偏差0=

\qA-1|+@B-2|,數(shù)據(jù)如表：

甲生產(chǎn)線抽樣1234567891c）

產(chǎn)品編號(hào)

指標(biāo)

qx0.980.961.071.020.990.930.920.961.111.02

qB2.011.971.962.032.041.981.951.992.072.02

Q0.030.070.110.050.050.090.130.050.180.04

乙生產(chǎn)線抽樣12345678

產(chǎn)品編號(hào)

指標(biāo)

qA1.020.970.950.941.130.980.971.01

qB2.012.032.151.932.012.022.192.04

Q0.030.060.200.130.140.040.220.05

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每件產(chǎn)品的質(zhì)量相互獨(dú)立.

(I)從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計(jì)該產(chǎn)品滿足且緲＞2的概率；

(II)從甲乙兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，設(shè)X表示這兩件產(chǎn)品中滿足用＞2的產(chǎn)品數(shù)，求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(III)已知。的值越小則該產(chǎn)品質(zhì)量越好.如果甲乙兩條生產(chǎn)線各生產(chǎn)一件產(chǎn)品，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)判斷

哪條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品質(zhì)量更好？并說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)給定數(shù)表，利用列舉法求出古典概率即得；

(2)分別求出甲、乙的8指標(biāo)大于2的產(chǎn)品的概率，再求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而求出期望；

(3)分別求出甲乙產(chǎn)品A、8指標(biāo)之和與3的差的絕對(duì)值的平均值，比較大小即得.

【解答】解：(1)記事件C為“從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其A指標(biāo)大于1且B指標(biāo)大于2”，

由表知，甲生產(chǎn)線抽取的10件產(chǎn)品中，A指標(biāo)大于1且8指標(biāo)大于2的產(chǎn)品為4號(hào)、9號(hào)、10號(hào)，共

3個(gè)，

3

因此P(C)可估計(jì)為一.

10

(2)記事件》為“從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其B指標(biāo)大于2”，

記事件為“從乙生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其8指標(biāo)大于2”，

由表知，甲生產(chǎn)線抽取的10件產(chǎn)品中，8指標(biāo)大于2的產(chǎn)品為1號(hào)、4號(hào)、5號(hào)、9號(hào)、10號(hào)，共5個(gè)，

51

因此P(￡)1)可估計(jì)為一=

102

乙生產(chǎn)線抽取的8件產(chǎn)品中，B指標(biāo)大于2的產(chǎn)品為1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、5號(hào)、6號(hào)、7號(hào)、8號(hào)，共7

個(gè)，

7

因此P(￡)2)可估計(jì)為石，

因此X的所有可能取值為0,1,2,

P(X=0)=P(OfI)P(￡T>2)=(1一/1x(1-67=春1,

尸(X=1)=P(O1)P(Z>2)+P(D1)P(4)=*X(1-6+(1XS=*，

P(X=2)=P(Di)P(A)=2*g=東

所以X的期望為E(X)=0x^+lx|+2x^=^.

(3)甲生產(chǎn)線產(chǎn)品A、B指標(biāo)之和與3的差的絕對(duì)值依次為：

0.1,0.07,0.03,0.05,0.03,0.09,0.13,0.05,0.18,0.04,

其平均值為0.068；

乙生產(chǎn)線產(chǎn)品A、8指標(biāo)之和與3的差的絕對(duì)值依次為：

0.03,0,0.1,0.13,0.14,0,0.16,0.05,

其平均值為0.07625,

顯然0.068C0.07625,

所以甲生產(chǎn)線產(chǎn)品更好的概率估計(jì)值最大.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查條件概率，是中檔題.

18.(10分)己知/(切=丘喑2；

(I)當(dāng)a--3,b--1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程；

(II)已知/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)xi,xi,且滿足/(Xi)+f(%2)=0,求b的值；

(IID在(II)的條件下，若/(%)2-犬+1在［1,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

【分析】(I)將a=-3,b=-1代入，求出切線的斜率及切點(diǎn)，即可得切線方程；

(II)求導(dǎo)得f/⑺=1+?-矍=由題意可得方程x1+ax=b=Q有兩個(gè)不等正根，可得

(a2>—4b

{bVO，再結(jié)合/(xi)+f(X2)=0,求解即可；

(aVO

(III)由題意可得了(%)2-%+1在［1,+8)上恒成立，令g(%)=/(%)+%—1=2%+Q仇％—亍=1,

xE[l,+8),利用導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：(I)當(dāng)〃=-3,b=-1時(shí)，

1

/(%)=x—3lnx-/(1)=0,

所以//(%)=1-弓+去，

所以/(1)=-1.

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程為>=-x+1；

(II)因?yàn)?(%)=久+。必％+\,xG(0,+8).

所以廣(久)=1+g一芻=比土竽士

xXzxz

因?yàn)?(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,

所以，(X)有兩個(gè)大于0的變號(hào)零點(diǎn)，

所以方程x1+ax—b—0有兩個(gè)不等正根，

CA—a2+4b>0fa2>—4b

所以卜1久2=-匕>0，解得卜<0，

+%2=—a>0(aVO

又因?yàn)橛?)4/(x2)=0,

/bb

BPW%i+alnxH----F12+cclnxH---=0,

rX12x2

%1+%2

整理得(久i+x2)+(%62)+b=0,

%1%2

代入xix2=~b,x\+x2=-a,

可得(—a)+abi(—b)+6=0,解得6=7.

a2>-4b

又因?yàn)?/p>

aVO

所以可得〃V-2.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

所以b=-1；

1

(III)由(II)可知b=-1且a<-2,從而f(%)=%+alnx-

因?yàn)?(%)2-%+1在[1,+8)上恒成立，

令g(%)=/(%)+%—1=2%+a仇%—1=1,xE[/,+8).

則有g(shù)(x)NO在［1,+8)上恒成立,

易得g(1)=2+aln\-1-1=0,

卬*/,、a12x2+ax+l

因?yàn)間'Q)=2+亍+t/=—一,

所以g'(1)=a+3,

令/i(x)—2x2+ax+l,x￡［l,+8),

則〃(1)=3+a,對(duì)稱軸K=—J,

⑴當(dāng)-3Wa<-2時(shí)，/?(1)=3+心0,x=-7<1,

所以/l(X)在［1,+oo)單調(diào)遞增，

從而力(x)三。(1)=3+。20恒成立，

所以g(%)二^^20在［1,+8)也恒成立.

所以g(x)在［1,+8)單調(diào)遞增，

從而g(%)2g(1)=0恒成立；

(2)當(dāng)?！?3時(shí)，h(1)=3+aV0,

所以2?+公+1=。有兩個(gè)不等實(shí)根工3,X4(不妨設(shè)％3<%4),

所以％3<1〈X4,且當(dāng)XE(1,X4)時(shí)，h(X)<0,

從而g7(x)=<0,

所以g(X)在［1,X4］上單調(diào)遞減，

所以g(X4)<g(1)=0與"g(%)20在［1,+8)上恒成立”矛盾，不符題意.

綜上，a的取值范圍是［-3,-2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、綜合運(yùn)用及二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題.

19.(10分)已知數(shù)列A：a\,。2,…，moo滿足。1<。2<…Vmoo,集合5={。汁@IlWiW/WlOO}.設(shè)S中有

M個(gè)元素，從小到大排列依次為加,歷，…,bm；

(I)若dn=Hj請(qǐng)直接與出m,bl9bm\

(II)若an=2n,求Z?20;

(III)若b2025=ai+aj求，的最小值.

【分析】(1)由題意可求得S={3,4,5,?199),從而可求出出bi,bm.

(2)由題意可得由+%+1=2,+2"i<2"2v%+%2，1<運(yùn)98,然后可依次求出加，歷，…，bm,

從而可求出too.

(3)先證明：戶25,考慮從aj-i,aj,…，moo這102-j個(gè)數(shù)中任取2個(gè)求和，這些和都不小于a,j-1+a.j.

【解答】解：(I)由題意可知。1=1,42=2,43=3,…，67100=100,

所以可知加=2,歷=3,加=4,???,fem=200,

所以S={2,3,4,…，200),

所以“2=199,加=2.篇=200.

(II)因?yàn)閷?duì)任意iWiW/WlOO,都有四+%+1=2?+2狂1<2兄2<%+%+2，1W/W98,

所以bi,62…加依次為

61=21+2、

fe=21+22,te=22+22,

Z?4=21+23,Z;5=22+23,Z>6=23+23,

Z?7=21+24,Z?8=22+24,Z?9=23+24,Z?IO=24+24,

bu—21+25,…，bi5—25+25,

Z?i6=21+26,…，too=25+26,…

所以too=25+26=96.

(Ill)jmin=25.

先證明：J225.

考慮從勾-i,aj,1-?,aioo這102-j個(gè)數(shù)中任取2個(gè)求和，這些和都不小于勾-1+可，

因?yàn)閍i+aj^aji+aj,

所以2024+維2-/<4950,

從而C/027<2926,

因?yàn)镃各=2926,

所以102-JW77,即j》25.

故jmin=25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與集合的結(jié)合問(wèn)題，屬于中檔題.

20.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=sins+V^cos3x(3>0),從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)/(x)

存在.

(I)求/(X)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若對(duì)于任意的Xeg,71],都有/(尤)Wc,求實(shí)數(shù)C的取值范圍.

條件①：函數(shù)/⑴的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一表2)；

條件②：/⑴在區(qū)間［—雪，金］上單調(diào)遞增；

條件③：X—金是f（X）的一條對(duì)稱軸.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（I）問(wèn)得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

【分析】（I）結(jié)合所選條件，結(jié)合周期與單調(diào)性關(guān)系先求出3,求函數(shù)解析式，進(jìn)而可求；

（II）由已知不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.

【解答】解：（I）若選①②，f（x）—sinatx+y/3cosa）x-2sin（O）x+g,

由①函數(shù)/（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一。2）,

則—黑+號(hào)=?+2加，k&Z,

632

即3=-1-12怎左ez,

由條件②：/（無(wú)）在區(qū)間［—涔匚金］上單調(diào)遞增，有還77-—（―S石TC）W,T

r\2yj1

又T=—,即—>7,所以0Vo）W2,

此時(shí)0）不存在；

選條件②③，/（%）=sina）x+43cosa）x=2sin（a）x+5），

匚TT弓TTT

由條件②：/（X）在區(qū)間［—修，名上單調(diào)遞增，有石—（—石）W］，

又T=—,即—>n,所以0Vo）W2,

由條件③：x=轟是f（X）的一條對(duì)稱軸，有+京）=1,

TTTCTC

即—0）+—=—+2/CTT,依Z,所以3=2+24%,蛇Z,

1232

由（1）（2）可得3=2,

所以/（%）=2sin（2x+,），T=竽=7T,

7TTC3TC

由萬(wàn)+2kli<2x+—<—+2fc7T（fcEZ）,

…「TI77r

解得一+kn<x<一+kn（kEZ）,

1212

所以/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為［金+/OT,碧+/OT］（kez）；

若選①③，①函數(shù)/（X）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一92）,

則—黑+孩=冬+2加，kez,