全國中學(xué)生物理競賽：靜電場：原理與方法

靜電場:原理與方法第1頁原理與方法靜電場兩大外觀表現(xiàn)力對引入電場任何帶電體產(chǎn)生力作用.能當(dāng)帶電體在電場中移動時,電場力做功,說明電場含有能量.描述靜電場基本規(guī)律電荷守恒定律對一個孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保持不變——原來為零一直為零，原來為某一量Q，則一直為Q，此即電荷守恒定律．

庫侖定律高斯定理場疊加原理唯一性原理在真空中任何靜電場中，經(jīng)過任一閉合曲面電通量等于這閉合曲面所包圍電荷代數(shù)和ε0分之一，這就是真空中靜電場高斯定理．等效處理方法等效對稱替換法等效電像變換法示例規(guī)律規(guī)律應(yīng)用示例示例第2頁球在第一次與板接觸后取得電量為q，說明有量值為q正電荷從板上轉(zhuǎn)移到球上，由電荷守恒可知，此時板上電量為(Q-q),球與板這一系統(tǒng)中總電量是按百分比分配到球上與板上．當(dāng)屢次操作直至最終板上電量又一次為Q但不能向與之接觸球遷移時（此時二者等電勢），球上電量到達(dá)最大:

一個金屬球借助導(dǎo)電薄板從起電機(jī)上取得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機(jī)上帶電至電量為Q．假如球在第一次與板接觸后帶電量為q，求球可取得最大電量.專題17-例1解:第3頁庫侖力與萬有引力r2r1mOMQq帶電球殼內(nèi)場強(qiáng)為零!r第4頁點(diǎn)電荷q在兩側(cè)場強(qiáng)等值反向!qEqEq整個帶電球內(nèi)部場強(qiáng)為0;外表面場強(qiáng)大小為設(shè)球殼除A外其余部分在A處場強(qiáng)為EAA在A內(nèi)側(cè)有在A外側(cè)有

均勻帶電球殼半徑為R，帶正電，電量為Q，若在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為q．試求球殼其余部分對它作用力．

專題17-例3解:第5頁

一個半徑為a孤立帶電金屬絲環(huán)，其中心電勢為U0．將此環(huán)靠近半徑為b接地球，只有環(huán)中心O位于球面上，如圖．試求球上感應(yīng)電荷電量

．

專題17-例4O點(diǎn)O1點(diǎn)電勢均為0;環(huán)上電荷在O點(diǎn)總電勢為U0球上感應(yīng)電荷在O1點(diǎn)引發(fā)電勢UbO1abOO點(diǎn)O1點(diǎn)電勢均由環(huán)上電荷及球上感應(yīng)電荷共同引發(fā)！環(huán)上電荷在O1點(diǎn)總電勢為解:第6頁高斯定理推證q點(diǎn)電荷電場S球面上各處場強(qiáng)大小均為

從該球面穿出電通量

電場線疏密表示電場強(qiáng)弱，若場中某面元上有條電場線垂直穿過，則

依據(jù)電場線性質(zhì)——在電場中沒有電荷處電場線是連續(xù)、不相交，能夠必定包圍點(diǎn)電荷q任意封閉曲面S′上電通量也是

第7頁q依據(jù)電場迭加原理，將上述結(jié)果推廣到任意點(diǎn)電荷系組成靜電場：若閉合曲面包圍電荷代數(shù)和為

返回第8頁高斯定理的應(yīng)用—求場強(qiáng)均勻帶電球面的電場Or由高斯定理有

由高斯定理有

RE0r第9頁均勻帶電球體的電場Or由高斯定理有

由高斯定理有

RE0rR第10頁"無限大"均勻帶電平面的電場由高斯定理有

兩面積S、間距d平行板電容器當(dāng)帶電荷量Q時，板間電場由電場疊加原理可得為第11頁解:

半徑為r圓板，在與其中心O距離為d處置一點(diǎn)電荷q，試求板上電通量．

專題17-例5球冠面上電通量與圓板電通量相同！距q為R處電場強(qiáng)度大小為球冠面積為第12頁解:

在相距d兩根平行細(xì)長導(dǎo)線上均勻地分布有異種電荷，其線密度為＋及－λ．求在對稱平面上與導(dǎo)線所在平面相距為x一點(diǎn)P電場強(qiáng)度

．

專題17-例6"無限長"均勻帶電導(dǎo)線的電場由高斯定理有

第13頁解:

如圖所表示，將表面均勻帶正電半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠(yuǎn)距離，設(shè)分開后球表面仍均勻帶電，試比較點(diǎn)與點(diǎn)電場強(qiáng)度大小

．

專題17-例7AE1E2第14頁ABCDO解:若正四面體四個面電勢相同，四面體就是一個等勢體，其中心點(diǎn)電勢即可確定，現(xiàn)正四面體ABCD各面靜電勢均不一樣，其中心點(diǎn)電勢難以直接確定.

如圖所表示，正四面體ABCD各面為導(dǎo)體，但又彼此絕緣．已知帶電后四個面靜電勢分別為、、和,求四面體中心Ｏ點(diǎn)電勢φ0

．專題17-例8進(jìn)行等效替換：另有一樣三個四個面靜電勢分別為φ1、φ2、φ3和φ4正四面體，將它們適當(dāng)?shù)丿B在一起，使四個面電勢均為φ1+φ2+φ3+φ4，中心點(diǎn)O共點(diǎn)，這個疊加而成四面體是等勢體，其中心O點(diǎn)電勢4φ0=φ1+φ2+φ3+φ4

第15頁解:

如圖所表示，在半徑為R、體密度為均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑為r一個小球，小球球心與大球球心O相距為a，試求點(diǎn)場強(qiáng)，并證實(shí)空腔內(nèi)電場均勻

．專題17-例9r1OAE1EAE2r2帶電球內(nèi)半徑為r處場強(qiáng)a第16頁BABPOMABAP處帶寬設(shè)為帶面積為均勻帶電球電荷面密度為P處帶上電荷量為P處弧上電荷線密度為

如圖所表示，在半徑為R細(xì)圓環(huán)上分布有不能移動正電荷，總電量為Q，AB是它一條直徑，假如要使AB上場強(qiáng)處處為零，則圓環(huán)上電荷應(yīng)該怎樣分布？

專題17-例10解:第17頁

如圖，無限大接地導(dǎo)體板，在距板d處A點(diǎn)有一個電量為Q正電荷，求板上感應(yīng)電荷對點(diǎn)電荷Q作用力．

專題17-例11QA-Q解:因?yàn)閷?dǎo)體板接地，板上電勢為零，在點(diǎn)電荷Q作用下，板右側(cè)出現(xiàn)感應(yīng)電荷.因?yàn)閷?dǎo)體為一等勢面，從點(diǎn)電荷Q出發(fā)電場線應(yīng)處處與導(dǎo)體面正交而終止，因而導(dǎo)體板右側(cè)電場線分布大致如圖所表示．聯(lián)想到等量異種電荷電場：導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對板右側(cè)電場影響，可用與點(diǎn)電荷Q關(guān)于導(dǎo)體面成鏡像對稱另一虛設(shè)點(diǎn)電荷-Q替換，板上感應(yīng)電荷對Q作用亦等效于像電荷-Q對Q發(fā)生作用由庫侖定律，板上感應(yīng)電荷對點(diǎn)電荷Q作用力大小為第18頁專題17-例12ROrP＋q由導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電量在O點(diǎn)引發(fā)電勢與點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)引發(fā)電勢之和為零得依據(jù)唯一性原理可知，等效像電荷量即為像電荷位置，應(yīng)令其在球面上任意點(diǎn)引發(fā)電勢與q在同一點(diǎn)電勢疊加為零，即滿足

對任意角位置等式均成立必有解:

如圖所表示，設(shè)在一接地導(dǎo)體球右側(cè)P點(diǎn)，有一點(diǎn)電荷q，它與球心距離為d，球半徑為R，求導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷為多少？點(diǎn)電荷q受到電場力為多大？第19頁解:

半徑為R2導(dǎo)電球殼包圍半徑為R金屬球，金屬球原來含有電勢為U，假如讓球殼接地，則金屬球電勢變?yōu)槎嗌伲?/p>

小試身手題8U金屬球上電量設(shè)為Q球殼接地后設(shè)感應(yīng)電荷像電荷電量為q，由高斯定理殼接地后球電勢為Q與q引發(fā)電勢疊加第20頁Ecqab-qq-qEaEbc像電荷在c點(diǎn)引發(fā)場強(qiáng)大小

解:

兩個電量q相等正點(diǎn)電荷位于一無窮大導(dǎo)體平板同一側(cè)，且與板距離均為d，兩點(diǎn)電荷之間距離為2d．求在兩點(diǎn)電荷聯(lián)線中點(diǎn)處電場強(qiáng)度大小與方向．

小試身手題10第21頁

如圖，速調(diào)管用于甚高頻信號放大．速調(diào)管主要由兩個相距為b腔組成，每個腔有一對平行板．初始速度為v0一束電子經(jīng)過板上小孔橫穿整個系統(tǒng)．要放大高頻信號以一定相位差（一個周期對應(yīng)于2π相位）分別加在兩對電極板上，從而在每個腔中產(chǎn)生交變水平電場．當(dāng)輸入腔中電場方向向右時，進(jìn)入腔中電子被減速；反之，電場方向向左時，電子被加速．這么，從輸入腔中射出電子經(jīng)過一定距離后將疊加成短電子束．假如輸出腔位于該短電子束形成處，那么，只要加于其上電壓相位選擇恰當(dāng)，輸出腔中電場將從電子束中吸收能量．設(shè)電壓信號為周期T=1.0×10-9s，電壓V=0.5V方波．電子束初始速度v0=2.0×106m/s，電子荷質(zhì)比e/m=1.76×1011C/kg．假定間距a很小，電子渡越腔時間可忽略不計．保留４位有效數(shù)字，計算：(a)使電子能疊加成短電子束距離b．(b)由相移器提供所需輸出腔與輸入腔之間相位差．

專題17-例13～相移器輸入腔v0aab輸出腔解答第22頁～相移器輸入腔v0aab輸出腔

經(jīng)過輸入腔電子電場向左時被電場加速電場向右時被電場減速由動能定理：

要形成短電子束，應(yīng)使后半周期經(jīng)過輸入腔被加速電子經(jīng)過一段距離b在輸出腔“追”上前半周期經(jīng)過輸入腔被減速電子，從而疊加成短電子束，故此應(yīng)有：解:讀題第23頁b)為使輸出腔中電場從短電子束中吸收能量，應(yīng)使電場方向向右，電場力對電子束做負(fù)功．當(dāng)輸入腔電場方向向右時滿足讀題第24頁解:

如圖所表示，N個一價正離子和N個一價負(fù)離子交織排列成一維點(diǎn)陣，相鄰離子間間距為a．計算這個相互靜電作用點(diǎn)陣總靜電能．（N→∞）

小試身手題19除兩端處一些離子外，每個離子與其周圍離子相互作用情形都相同，任取一正離子記為A0，兩側(cè)各對離子依次為A-1、A+2……這是與第1對負(fù)離子所共有!

A0在第2對正離子中間位置含有電勢能

A0在第1對負(fù)離子中間位置含有電勢能

A0這是與第2對正離子所共有!

第25頁解:

如圖所表示，質(zhì)子加速器使每個質(zhì)子得到動能為E．很細(xì)質(zhì)子束從加速器射向一個遠(yuǎn)離加速器半徑為r金屬球，并留在球上．球中心并不處于加速器發(fā)射出質(zhì)子運(yùn)動方向直線上，而與該直線垂直距離為d，且d＜r，加速器工作足夠長時間后，球能充電到多高電勢？計算中取E=2keV，．

小試身手題20設(shè)質(zhì)子初速度為v0，當(dāng)金屬球充電到電勢為U時，質(zhì)子與金屬球相切而過，設(shè)此時速度設(shè)為v，因?yàn)橘|(zhì)子在向球運(yùn)動時，只受庫侖力且力方向沿球徑向，故對球心O，沖量矩為零，質(zhì)子角動量守恒：

Umv0mvdr由動能定理：

第26頁

需要凈化空氣中灰塵，但在普通條件下灰塵沉積下來是較遲緩，為此可利用這么一個事實(shí)，即灰塵是帶電．為模擬凈化過程，提出兩種裝置．第一個裝置是，將含有灰塵空氣玻璃圓桶（高h(yuǎn)＝1m，半徑R＝0.1m，如圖示）放在場強(qiáng)E1＝1×104V/m電場中，場強(qiáng)方向沿著圓柱形桶軸向．經(jīng)時間t1＝120s后，能夠觀察到容器中全部灰塵均已沉積在底部．第二個裝置是這么：沿圓柱桶軸線緊拉著一根細(xì)導(dǎo)線，且將此導(dǎo)線跟高壓電源相連，電源電壓是這么選取，使在容器壁上場強(qiáng)值恰好等于第一個裝置場強(qiáng)值1×104V/m．已知在這種情況下場強(qiáng)E∝1/r，r為離軸線距離．假設(shè)塵粒是同種，其所帶電荷量也相等，試確定第二個裝置中塵粒沉積到容器壁所需時間．因?yàn)榭諝庵袎m粒不多，體電荷能夠忽略，認(rèn)為塵粒沉積過程動態(tài)平衡，空氣阻力與速度成正比，不計重力

解答小試身手題21h2R第27頁第一個裝置中，電場力恒定，故塵粒勻速下降時有第二個裝置中，在距離軸心r處塵粒速度設(shè)為vr，則讀題解:第28頁

如圖所表示，半徑相同兩個金屬球A、B相距很遠(yuǎn)，原來不帶電，C球先與遠(yuǎn)處電池正極接觸，（負(fù)極接地），接著與球A接觸，再與B球接觸；然后又與電池正極接觸，重復(fù)上述過程，重復(fù)不已．已知C球第一次與電池接觸后帶電量為q，第一次與A球接觸后A球帶電量為Q1，求⑴A球與B球最終帶電量Q與Q′；⑵設(shè)，最少經(jīng)過幾次與C球接觸后，A球帶電量可達(dá)最終帶電量二分之一？

小試身手題16解:CAB

⑴設(shè)A、B球半徑為R,C球半徑為r,C球與A球第1次接觸后有①

電荷不再從C球移向A球，故

C球與B球接觸最終亦有⑵由①式及題給條件

若第２次C與A接觸后A又獲電量Q2，

n次C、A接觸后有

返回第29頁

正點(diǎn)電荷Ｑ1和正點(diǎn)電荷Ｑ2分別放置在A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間相距L．現(xiàn)以L為直徑作二分之一圓，電荷在此半圓上有一電勢最小位置P，設(shè)PA與AB夾角為α，則α＝．（用三角函數(shù)表示）

小試身手題1解:切向場強(qiáng)為0位置為電勢最小位置！第30頁

電荷均勻分布在半球面上，它在這半球中心O處電場強(qiáng)度等于E0．兩個平面經(jīng)過同一條直徑，夾角為α，從半球中分出一部分球面，如圖所表示．試求所分出這部分球面上（在“小瓣”上）電荷在O處電場強(qiáng)度E．

E0小試身手題7ＯE解:半球面均勻分布電荷在O點(diǎn)引發(fā)場強(qiáng)可視為“小瓣”球面電荷與“大瓣”球面電荷在O點(diǎn)引發(fā)電場矢量和.由對稱性及半球幾何關(guān)系可知E大與E小垂直，如圖所表示:第31頁

有兩個異種點(diǎn)電荷，其電量之比為n，相互間距離為d．試證實(shí)它們電場中電勢為零等勢面為一球面，并求此等勢面半徑及其中心與電量較小電荷距離r．解:Oyx小試身手題9-qnq以小電量電荷所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)-q與nq在坐標(biāo)為（x、y）點(diǎn)電勢迭加為零，即有零等勢面為球面球心坐標(biāo)球半徑第32頁

半徑分別為R1和R2兩個同心半球相對放置，如圖所表示，兩個半球面均勻帶電，電荷密度分別為σ1和σ2，試求大半球面所對應(yīng)底面圓直徑AOB上電勢分布．解:小試身手題11AB大半球面上電荷量為大半球面上電荷在底面引發(fā)電勢為整個大球面上電荷引發(fā)電勢二分之一,即小半球面上電荷量為小半球面上電荷在其底面引發(fā)電勢為整個小球面上電荷引發(fā)電勢二分之一,即依據(jù)電場疊加原理,直徑AB上電荷分布為:小半球面上電荷在球面外引發(fā)電勢亦為整個小球面上電荷引發(fā)電勢二分之一,即第33頁

二分之一徑為R、帶電量為Q均勻帶電球面，試求其上表面張力系數(shù)σ，σ定義為面上單位長度線段兩側(cè)各向?qū)Ψ绞┘幼饔昧?/p>

．解:小試身手題12RETT在球面上取一面元面元受力如示面元周圍所受張力協(xié)力大小為面元處于平衡,則返回第34頁

如圖，有“無限長”均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密度為σ，試求其場強(qiáng)，并作E（r）圖

．解:小試身手題2rE0R第35頁

如圖，在一厚度為d無窮大平板層內(nèi)均勻地分布有正電荷，其密度為ρ，求在平板層內(nèi)及平板層外電場強(qiáng)度E，并作E（r）圖

．解:小試身手題3rE0d/2第36頁

一點(diǎn)電荷q位于一立方體中心，立方體邊長為a，試問經(jīng)過立方體一面電通量是多少？假如點(diǎn)電荷移至立方體一個角上，這時經(jīng)過立方體每個面電通量各是多少？

解:小試身手題4點(diǎn)電荷位于立方體中心時，經(jīng)過立方體一個表面電通量為

點(diǎn)電荷位于立方體頂點(diǎn)時，經(jīng)過立方體一個表面電通量為

第37頁

如圖，電場線從正電荷＋q1出發(fā)，與正點(diǎn)電荷及負(fù)點(diǎn)電荷連線成α角，則該電場線進(jìn)入負(fù)點(diǎn)電荷－q2角度β是多大？

小試身手題5αβ－+q1－q2以點(diǎn)電荷+q1與-q2為中心，取二分之一徑r很小球面，可視為其上電場線均勻分布，穿出2α角所正確球冠面電場線應(yīng)完全穿入2β角所正確球冠面，兩面上電通量相等：

解:第38頁-4qq

準(zhǔn)確地畫出兩點(diǎn)電荷＋q及－4q電場線分布示意圖.

小試身手題6解:若兩電荷相距a，場強(qiáng)為零點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷連線延長線距+q為x遠(yuǎn)處:

由上題，從+q出發(fā)，與兩電荷連線所成角度在[0,π]之間電場線進(jìn)入-4q終止時與兩電荷連線夾角在[0,π/3]之間，如圖:第39頁O點(diǎn)電勢為0：由高斯定理知Ｏ

如圖，兩個以O(shè)為球心同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R．現(xiàn)在離O為l（r＜l＜R）地方放一個點(diǎn)電荷q．問兩個球殼上感應(yīng)電荷電量各是多少？

.

小試身手題15解:第40頁Q+++++++++◎球殼內(nèi)、外表面感應(yīng)電荷電量總等于球殼中心電荷量◎內(nèi)外感應(yīng)電荷在球殼中心引發(fā)電勢為◎從中心移動極小電量過程中可認(rèn)為中心點(diǎn)電勢不變在第i次移動中元功為移動Q到無窮遠(yuǎn)總功為

如圖，兩個以O(shè)為球心同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R．現(xiàn)在離O為l（r＜l＜R）地方放一個點(diǎn)電荷q．問兩個球殼上感應(yīng)電荷電量各是多少？

.

小試身手題14返回解:第41頁均勻帶電金屬球表面每一個面元受到整個球面其余部分電荷對它靜電力大小是則單位面積靜電力構(gòu)想另半球?qū)Υ税肭蜃饔昧εc壓強(qiáng)亦為P氣體作用在半球上壓力相平衡，則