2025年高考數(shù)學(xué)重難題型二輪復(fù)習(xí)：概率與其他知識(shí)交匯問(wèn)題（含馬爾科夫鏈）（3大題型）（學(xué)生版+解析）

i重難題型?解題技巧攻略

J----------------------------------------

專題17概率與其他知識(shí)交匯問(wèn)題（含馬爾科夫鏈）

?>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈）..........................................................1

題型02概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合.........................................................................4

題型03概率與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合...................................................................8

?-----------題型探析?明規(guī)律-----------<>

題型01概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈）

【解題規(guī)律?提分快招】

一、基本原理

1、轉(zhuǎn)移概率：對(duì)于有限狀態(tài)集合s,定義:P]j=Ix,i）為從狀態(tài)i到狀態(tài)J的轉(zhuǎn)移概率.

2、馬爾可夫鏈：若==即未來(lái)狀態(tài)xm只受當(dāng)前

狀態(tài)X”的影響，與之前的X“T,X?_2，…,X0無(wú)關(guān).

無(wú)記憶性：下一個(gè)狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與更前面的狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系

高中階段考察的馬爾科夫鏈，其實(shí)很簡(jiǎn)單，找到初始狀態(tài)和遞推關(guān)系即可

3、完備事件組：如果樣本空間Q中一組事件組｛A，4,…4』符合下列兩個(gè)條件：

（1）4cAj=0,ij,i,j=1,2,…”；

（2）U4=Q.

k=l

則稱｛4,4,…AJ是Q的一個(gè)完備事件組，也稱是Q的一個(gè)分割.

4、全概率公式：設(shè)｛4,4,…4J是一個(gè)完備事件組，則有

p（B）=^p（4）p（5i4）

k=l

5、一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻f=0時(shí)，位于點(diǎn)

x=i（i&N+）,下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率a或者夕（ae（0,l）,o+，=l）向左或者向右平移一個(gè)單位.若

記狀態(tài)x$表示：在時(shí)刻才該點(diǎn)位于位置x=?eN+),那么由全概率公式可得：

P(X-)=P(X,a).P(X—|X,e)+P(X$+)P(X田,|Xe)

另一方面，由于P(Xf+1=;.|X』_i)=1P(Xr+l=i|Xu"a，代入上式可得：

6=a.Pi+l+(3-8_i.

進(jìn)一步，我們假設(shè)在％=0與工=皿冽＞0,根eN+)處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游

走.于是，好=0,&=1.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過(guò)程.

進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為a,原地不動(dòng)，其概率為6,向右平

移一個(gè)單位，其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得：Pi=aP,-Pi.[

二、解題技巧

①找到當(dāng)下?tīng)顟B(tài)下的“前一次事件”的所有可能性

②結(jié)合對(duì)應(yīng)概率寫出“前一次”狀態(tài)下所有可能性的數(shù)列遞推關(guān)系(一階遞推數(shù)列或二階遞推數(shù)列)

③利用數(shù)列遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三上?上海嘉定?階段練習(xí))甲乙兩人輪流投擲骰子(正方體型，六個(gè)面分別標(biāo)記有1,2,3,4,

5,6點(diǎn))，每人每次投擲兩顆，

(1)甲投擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率；

(2)甲乙各投擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大8點(diǎn)的概率；

(3)若第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.

2.(24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試)馬爾科夫鏈因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”

的性質(zhì)，即第”+1次狀態(tài)的概率分布只跟第〃次的狀態(tài)有關(guān)，與第〃3,?次狀態(tài)無(wú)關(guān).馬爾科夫鏈

是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、

天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有A,8兩個(gè)盒子，各裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從48兩個(gè)盒

子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子,重復(fù)進(jìn)行?N*)次這樣的操作后,記A盒子中紅球的個(gè)數(shù)為Xn,

恰有1個(gè)紅球的概率為P”.

(1)求Pi，Pz的值;

(2)求p”的值(用〃表示)；

(3)求證：X”的數(shù)學(xué)期望E(X“)為定值.

3.(2024?河北.模擬預(yù)測(cè))一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的40個(gè)小球，其中10個(gè)紅球，10個(gè)黃

球，20個(gè)綠球，依次隨機(jī)抽取小球，每次只取1個(gè)小球，完成下列問(wèn)題：

（1）若取出的小球不再放回，

①求最后取完的小球是黃球的概率；

②求紅球比其余兩種顏色小球更早取完的概率；

③設(shè)隨機(jī)變量X為最后一個(gè)紅球被取出時(shí)所需的取球次數(shù)，求E（x）；

（2）若取出的小球又放回袋中，直到取到紅球就停止取球，且最多取”次球，設(shè)隨機(jī)變量y為取球次數(shù)，證

明：E（Y）=4--.

4.（23-24高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）在某公司組織的團(tuán)建活動(dòng)中，A,B,C三個(gè)人進(jìn)行傳排球游戲，

規(guī)定：甲將排球拋出，乙接住或自己接住為一次傳球，假設(shè)每次傳球都能成功.當(dāng)排球在A手中時(shí)，A傳給8

的概率為:，A傳給自己的概率也為:；當(dāng)排球在3手中時(shí)，B傳給A的概率為:，3傳給C的概率為￡；

當(dāng)排球在C手中時(shí)，C傳給A,B的概率均為《.游戲開(kāi)始時(shí)，排球在A手中，經(jīng)過(guò)次傳球后，設(shè)

排球在A手中的概率為冊(cè)，排球在B手中的概率為或.

⑴求%,生的值；

（2）經(jīng)過(guò)50次傳球后，排球在誰(shuí)手中的概率最大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.（24-25高三上?浙江?期末）某籃球集訓(xùn)隊(duì)中甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球訓(xùn)練.假設(shè)當(dāng)球在甲手中時(shí)，甲將球

12

傳給丙的概率為耳，否則甲將球傳給乙；當(dāng)球在乙手中時(shí)，乙將球傳給甲的概率為否則乙將球傳給丙;

當(dāng)球在丙手中時(shí)，丙將球傳給甲的概率為否則丙將球傳給乙；初始時(shí)，球在甲手中.

⑴求傳球3次后，球恰好在乙手中2次的概率；

（2）"次傳球后（neN,）,記球在丙手中的概率為P,,.

①求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

1n1o

②設(shè)%=（2、）,求證：w.

3

（-）P?P?+lM7

6.（24-25高三上?江西?開(kāi)學(xué)考試）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)：

下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第"+1次狀態(tài)的概率分布只與第"次的狀態(tài)有關(guān)，與第

3,…次的狀態(tài)無(wú)關(guān),即尸（X“M|X”X2,,X“T，X“）=P（X/X“）.已知甲盒中裝有1個(gè)白球和

2個(gè)黑球，乙盒中裝有2個(gè)白球,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒中各任取1個(gè)球交換放入對(duì)方的盒中，重復(fù)”次（"eN*）

這樣的操作，記此時(shí)甲盒中白球的個(gè)數(shù)為X“，甲盒中恰有2個(gè)白球的概率為劣，恰有1個(gè)白球的概率為方“.

⑴求4,4和。2也.

⑵證明：｛4+22一g｝為等比數(shù)歹!J.

⑶求X”的數(shù)學(xué)期望（用〃表示）.

7.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）設(shè)〃eN,數(shù)對(duì)（4也）按如下方式生成：（4也）=（0,0）,拋擲一枚

均勻的硬幣，當(dāng)硬幣的正面朝上時(shí)，若?！?gt;么,則（?！?1也+1）=（。“+1也+1）,否則（見(jiàn)+1，%）=（?！?1也）；

當(dāng)硬幣的反面朝上時(shí)，若…則（%,%）=（%+1也+1）,否則（%,%）=（q,2+1）.拋擲〃次硬幣

后，記%=2的概率為P“.

⑴寫出（生，仇）的所有可能情況，并求42；

⑵證明：,4-：1是等比數(shù)列，并求尸“；

⑶設(shè)拋擲w次硬幣后凡的期望為心，求E".

8.（2025?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)有窮整數(shù)列出，L，%，對(duì)正整數(shù)〃7CN*,若對(duì)于任意的

ne（1,2,,m｝,有窮數(shù)列。中總存在％,aM,L,ai+J,自然數(shù)J2。使得q+，++ai+j=n,則稱該數(shù)

列為1到加連續(xù)可表數(shù)列.即1到機(jī)中的每個(gè)數(shù)可由。中的一個(gè)或連續(xù)若干項(xiàng)表示，而加+1不可由Q中連續(xù)

若干項(xiàng)表示.例如數(shù)列2,1,3則。2=1，%=2,%=3,/+%=4,而％+的片5,“2+4*5,%+出+%*5,

所以數(shù)列2,1,3是1到4連續(xù)可表數(shù)列.

⑴數(shù)列Q：l,1,1,1,1是否為1到5連續(xù)可表數(shù)列？若數(shù)列2：2,1,4是一個(gè)1到m連續(xù)可表數(shù)列，

求加的值.

（2）若有窮數(shù)列%，L,與其調(diào)整順序后為一個(gè)等比數(shù)列，則該數(shù)列稱為準(zhǔn)等比整數(shù)列（等比數(shù)列本

身也可看作準(zhǔn)等比數(shù)列），調(diào)整后的公比稱為該數(shù)列公比.若準(zhǔn)等比整數(shù)列4,出，L,。“為1到5連續(xù)可

表數(shù)列，且公比4為整數(shù)，求數(shù)列的公比4的值.

0lm

⑶對(duì)正整數(shù)〃，geN*（g>2）,存在唯一的數(shù)列q,L,盤使得，n=ax-g+a2-g++am-g^,且滿足

l

。“尸0,0<a,<g-l,j=l,2,3…機(jī)數(shù)列a「g°,a2-g,L,a,“?g%】稱為正整數(shù)〃的g進(jìn)制殘片.記事

件“隨機(jī)挑選區(qū)間［1/］內(nèi)的整數(shù)（r為大于等于2的正整數(shù)），該數(shù)的g進(jìn)制殘片調(diào)整順序后能成為1到5連

續(xù)可表數(shù)歹『'的概率為2,（〃），求Pg&）的表達(dá)式.

題型02概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）某學(xué)校高三年級(jí)組織舉辦了知識(shí)競(jìng)賽.選拔賽階段采用逐一答題的

方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3道題則進(jìn)入初賽，累計(jì)答錯(cuò)3道題則被淘汰.初賽階段

參賽者每?jī)扇艘唤M進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到

每道試題的機(jī)會(huì)相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對(duì)方選手得0分，選手搶到試題

但沒(méi)有回答正確得。分，對(duì)方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分

數(shù)相同，則同時(shí)進(jìn)入決賽）

（1）已知選拔賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為:，且回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求甲進(jìn)入初賽的概

率；

（2）已知初賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為:，對(duì)手答對(duì)每道試題的概率為：，兩名選手回答每道試題是

否正確相互獨(dú)立，求初賽中甲的得分y的分布列與期望；

（3）進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對(duì)3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且

決賽中前3道試題每道試題被答對(duì)的概率都為（。?（。,1））,若甲4道試題全對(duì)的概率為上，求甲能勝出的概

率的最小值.

2.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）一游戲規(guī)則如下：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左或者

向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了〃次.

⑴己知質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為°（0<0<1）.

①當(dāng)p=g,"=6時(shí)，求質(zhì)點(diǎn)最終回到原點(diǎn)的概率；

②規(guī)定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只要出現(xiàn)在原點(diǎn)左側(cè)，游戲就結(jié)束，否則游戲就繼續(xù)、直到移動(dòng)了〃次，分別求

出當(dāng)〃=3和〃=5時(shí)質(zhì)點(diǎn)最終落在原點(diǎn)右側(cè)的概率并比較它們的大小

（2）現(xiàn)在規(guī)定游戲分為兩個(gè)階段：第一階段，質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為Pi、共移動(dòng)了3次、若質(zhì)點(diǎn)最終落

在了原點(diǎn)左側(cè)，則結(jié)束游戲，且最終得分為0分.若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)、則通過(guò)第一階段，并進(jìn)入第二階

段：質(zhì)點(diǎn)重新回到原點(diǎn)，每次向右移動(dòng)的概率為P2,并再次移動(dòng)了3次，若質(zhì)點(diǎn)最終落在了原點(diǎn)左側(cè)，則

最終得分也為0分；若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)，則最終得分為質(zhì)點(diǎn)位于數(shù)軸上所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).

①請(qǐng)用含R，2的式子表示該游戲得分的數(shù)學(xué)期望；

②若“+。2=1，則當(dāng)A取何值的時(shí)候，該游戲得分的期望值最大？

3.（2025?陜西渭南?一模）第十五屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦.為了普及全運(yùn)

知識(shí).某中學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識(shí)闖關(guān)比賽.比賽分為初賽與復(fù)賽.初賽勝利后才能進(jìn)入復(fù)賽.初賽規(guī)定：

三人組隊(duì)參賽.每次只派一個(gè)人.且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗.再派下一個(gè)人重新闖關(guān)：三人

中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利.無(wú)需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加初賽.他們各自闖關(guān)

成功的概率分別為四，0，P「假定P”P2，P3互不相等.且每人能否闖關(guān)成功相互獨(dú)立.

321

(1)若計(jì)劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān).A=4^2=3^3=--求該小組初賽勝利的概率：

⑵已知1>PI>0>Pi>0.現(xiàn)有兩種初賽人員派出方案：

方案一：依次派出甲乙丙：

方案二：依次派出丙乙甲

設(shè)方案一和方案二派出人員數(shù)目分別為隨機(jī)變量x,y.求E(x),E(y).并比較它們的大??；

(3)初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽.復(fù)賽規(guī)定：?jiǎn)稳藚①?每個(gè)人回答三道題.全部答對(duì)獲得一

等獎(jiǎng)：答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng)：答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng)：全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng).已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽.該學(xué)

生在復(fù)賽中前兩道題答對(duì)的概率均為第三道題答對(duì)的概率為6.若該學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)的概率為:，設(shè)該

O

學(xué)生獲得二等獎(jiǎng)的概率為P.求P的最小值.

4.(24-25高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))湖南某高中在校園藝術(shù)節(jié)舉辦形式多樣的活動(dòng).

(1)抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有。字母，3張寫有A字

母，2張寫有3字母，抽獎(jiǎng)學(xué)生每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫有。的卡片，則再抽1次,

直至取到寫有A或8卡片為止.抽到A卡片送精美校園明信片一張，抽到B卡片送文學(xué)社設(shè)計(jì)的精美信封一

個(gè).甲同學(xué)想要明信片，請(qǐng)問(wèn)甲同學(xué)取到寫有A卡片的概率.

(2)領(lǐng)福袋活動(dòng)規(guī)則如下：每位同學(xué)都可以去文化長(zhǎng)廊領(lǐng)取自己最喜歡的福袋，規(guī)定只能取一次，并且只可

以向前走，不能回頭，長(zhǎng)廊上一共懸掛“個(gè)福袋(每個(gè)福袋的大小不同)，福袋出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相

等，乙同學(xué)想要摘取最大的福袋，他準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前左(1<左〈/個(gè)福袋，自第Z+1個(gè)開(kāi)始，只

要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的福袋都大時(shí)，就摘這個(gè)福袋，否則就摘最后一個(gè)?設(shè)％=切，記乙同學(xué)摘到最大的福袋

概率為尸.

①若〃=4,笈=2,求尸；

②當(dāng)〃趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求尸的最大值及尸取最大值時(shí)/的值.(取;+工++—1=ln?)

5.(24-25高三上?湖北?階段練習(xí))某學(xué)校為豐富學(xué)生活動(dòng)，積極開(kāi)展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓

球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為?，前一局輸后下一局贏的概率

為|,如此重復(fù)進(jìn)行.記甲同學(xué)第i局贏的概率為片(ieN*).

(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率；

⑵求4；

(3)若存在i,使e%7n(q+l)+k20成立，求整數(shù)左的最小值.

6.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某研究團(tuán)隊(duì)需要研究成分S的性質(zhì)，以研制一種新藥.現(xiàn)有w(“eN*)瓶待測(cè)試劑，

這些試劑中的部分含有少量成分S,為了更方便的檢測(cè)出含有成分S的待測(cè)試劑，該團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)方

案：

方案一：對(duì)這n瓶待測(cè)試劑進(jìn)行逐一檢測(cè)；

方案二：將這w瓶待測(cè)試劑分成G個(gè)小組(〃=，成，加eZ),每個(gè)小組分別將該組的待測(cè)試劑混合后檢測(cè)一

次，若未檢測(cè)出成分S,則不再進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出成分S,則對(duì)該小組的待測(cè)試劑進(jìn)行逐一檢測(cè).

己知每瓶待測(cè)試劑中含有成分S的概率均為p,設(shè)X是方案二這n瓶待測(cè)試劑的檢測(cè)次數(shù)，E(X)為方案二

的檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

⑴記E(X)的最大值為E,求證：￡<2〃+2」；

n

(2)能否認(rèn)為E(X)〈"恒成立?說(shuō)明理由，并以此說(shuō)明方案二的合理性；

(3)給出一個(gè)能有效減少檢測(cè)次數(shù)的方案，說(shuō)明理由.

7.(2025?遼寧沈陽(yáng)?一模)泊松分布是一種統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)里常見(jiàn)的離散型分布，特別適合用于描述單位時(shí)間

(或單位空間)內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，例如：某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話交換機(jī)接到

呼叫的次數(shù)，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)，一個(gè)產(chǎn)品上的缺陷數(shù)，顯

微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等，因此，在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問(wèn)題中都占有重要的

2k

地位.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2(2>0)的泊松分布(記作X~兀(4)),則其概率分布為P(X=k)=^-\

上eN,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng);IN20時(shí)，泊松分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似；當(dāng)4250時(shí)，泊松分布基本上就等于正態(tài)分布，此時(shí)可認(rèn)

為X~N(44).若乂~碎00),求P(110<X<120)的值(保留三位小數(shù))；

(2)某公司制造微型芯片，次品率為0.1%,各芯片是否為次品相互獨(dú)立，以X記產(chǎn)品中的次品數(shù).

①若X~p),求在1000個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)次品的概率；

②若X~M#,4=叩,求在1000個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)次品的概率.通過(guò)比較計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

⑶若X~7T(4),且尸(X>l)<0.01,求2的最大值(保留一位小數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若X~N(〃,cr2),則一有尸(〃—b<X<〃+cr卜0.6827,P(，—2cr<X<〃+2cr卜0.9545,

P(〃-3b<X<〃+3b)*0.9973；O.9991000~0.3676,0.9999"?0.3680,--0.3678.

題型03概率與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)研究初步得出檢測(cè)某種疾病的患病與否和某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有關(guān),

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性（患?。∮诨虻扔赾

的人判定為陰性（未患?。?此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定

為陽(yáng)性的概率.

（1）隨機(jī)抽取男女各500人進(jìn)行檢驗(yàn)，采用臨界值。=97.5進(jìn)行判定時(shí)，誤判共10人（漏診與誤診之和），其

中2男8女，寫出2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值蟆=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為誤判與性別有關(guān)？

（2）經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布表：

(100,(105,(110,(115,(120,(125,

指標(biāo)[95,100]

105]110]115]120]125]130]

患病

者頻0.010.060.170.180.20.20.18

率

指標(biāo)[70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100](100,105]

未患

病者0.190.20.20.180.170.050.01

頻率

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時(shí)控制在2.5%

以內(nèi)（小于等于2.5%）,求臨界值c的范圍；

（3）在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時(shí)的臨界值及c。對(duì)應(yīng)的誤診率和漏診率.

n(ad-be)2

附:y2=-----------------

、{a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

2.（2024?甘肅張掖?一模）近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)上買菜迅速進(jìn)入了我們的生活，某小區(qū)將一周

網(wǎng)上買菜次數(shù)超過(guò)3次的居民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的居民認(rèn)定為“不喜

歡網(wǎng)上買菜”.為了解該社區(qū)居民網(wǎng)上買菜的情況，工作人員隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名居民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)

年齡不超過(guò)45歲的

401050

居民

年齡超過(guò)45歲的居

203050

民

合計(jì)6040100

(1)試根據(jù)a=0.05的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該社區(qū)的居民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)系.

(2)居民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇一個(gè)下單買菜.如果周一選

4

擇在A平臺(tái)買菜，那么周二選擇在A平臺(tái)買菜的概率為不；如果周一選擇在8平臺(tái)買菜，那么周二選擇在A

平臺(tái)買菜的概率為:，求小張周二選擇在B平臺(tái)買菜的概率.

(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該社區(qū)隨機(jī)抽取10名居民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的居民人數(shù)為隨機(jī)變量X,并記

隨機(jī)變量y=2X+3,求X,￥的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考公式及數(shù)據(jù)：…y其中…+?+〃?

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

3.(2024?廣西柳州?一模)某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引更多的顧客在線購(gòu)物，推出了A和B兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)

物平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇A和3兩個(gè)套餐之一，下圖是該購(gòu)物平臺(tái)7天銷售優(yōu)惠券的

(1)由折線圖可看出，可用回歸模型擬合y與/的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;

I?

(2)假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為選擇8套餐的概率為1,其中A包含一張優(yōu)惠券，B套餐包含兩

張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷售了〃張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為尸“，求匕;

(3)記(2)中所得概率2的值構(gòu)成數(shù)列｛匕｝(〃eN*),求數(shù)列｛舄的最值.

77n

參考數(shù)據(jù)：Ex=16.17,工e=68.359)2=。72,占=2.646

i=l，=1Vi=l

1(-)(%-刃

參考公式：相關(guān)系數(shù)」=I,3,

Jsu-n2Z(x-y)2

VZ=1Z=1

4.(23-24高三下?安徽阜陽(yáng)?期末)某射擊隊(duì)舉行一次娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)分為兩階段，第一階段是選拔階段，

甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員各射擊100次，所得成績(jī)中位數(shù)大的運(yùn)動(dòng)員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲

規(guī)則如下：

①有4次游戲機(jī)會(huì).

②依次參加4B,C游戲.

③前一個(gè)游戲勝利后才可以參加下一個(gè)游戲，若輪到C游戲后，無(wú)論勝利還是失敗，一直都參加C游戲，

直到4次機(jī)會(huì)全部用完.

④參加A游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金50元；參加8游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金100元；參加C游

戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金200元.

己知甲參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是乙參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是:，甲、乙參加每次游戲相

/3

互獨(dú)立，第一階段甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員射擊所得成績(jī)的頻率分布直方圖如下:

頻率/組距

0.045

0.025

0.020

0.005

O-5060708090100成績(jī)/分

甲

(1)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員誰(shuí)參加第二階段游戲?并說(shuō)明理由.

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，解答下列兩問(wèn).

(i)求該運(yùn)動(dòng)員能參加C游戲的概率.

(ii)記x為該運(yùn)動(dòng)員最終獲得的獎(jiǎng)金額，尸為獲得每個(gè)獎(jiǎng)金額對(duì)應(yīng)的概率，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎臼P(guān)于

x的函數(shù).

5.(2024高三.全國(guó)?專題練習(xí))將連續(xù)正整數(shù)1,2,L,”(〃eN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123n,F(n)

為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如當(dāng)〃=12時(shí)，此數(shù)為123456789101112,共有15個(gè)數(shù)字，下(12)=15),現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨

機(jī)取一個(gè)數(shù)字，p(?)為恰好取到0的概率.

⑴求0(100).

(2)當(dāng)〃V2021時(shí)，求尸(九)的表達(dá)式.

(3)令g(〃)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，/⑺為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，版〃)=/(〃)-g(〃),

S={川/2(〃)=l,〃W100,〃eN*},求當(dāng)“eS時(shí)"(")的最大值.

6.(24-25高三上?云南?階段練習(xí))某商場(chǎng)為吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)趣味小游戲，地面上劃有邊長(zhǎng)為1的小

正方形網(wǎng)格，游戲參與者從網(wǎng)格的某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，每一步沿一個(gè)小正方形的對(duì)角線向右上方或右下方移

動(dòng)，如圖所示.已知游戲參與者每步選擇向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的選擇是

相互獨(dú)立的.

⑴商場(chǎng)規(guī)定:某顧客從0(0,0)出發(fā)，沿小正方形的對(duì)角線向右上方走一步得1分，向右下方走一步得-1分，

當(dāng)他走完第四步后，得分為X,求X的分布列；

(2)商場(chǎng)制定了一個(gè)游戲規(guī)則：若顧客和老板都從。(0,0)出發(fā)，走到點(diǎn)4(2〃+3,2〃-1乂〃eN*)的位置.設(shè)

走完第i步后，顧客位于點(diǎn)耳(%?%),老板位于點(diǎn)耳(4乂)，其中1V注2M+3且ieN*;若對(duì)任意l<z<2〃+3

且ieN*都有則認(rèn)為顧客方獲勝.記顧客獲勝的概率為匕.

(i)當(dāng)〃=3時(shí)，求顧客獲勝的概率A；

(ii)求A，并說(shuō)明顧客和老板在游戲中哪一方獲勝的概率更大.

參考公式：12+22+32++1=中+1)(2"+1).

6

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、解答題

1.(24-25高三上?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)

指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

八頻率/組距十頻率/組距

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽(yáng)性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性

的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)c=103時(shí)，比較P?與q(c)的大小;

(2)當(dāng)q(c)=0.05時(shí)，求p(c)；

⑶函數(shù)/(c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95,105］時(shí)，求/(c)的解析式,并求〃c)在區(qū)間［95,105］上的值域.

2.(2024?浙江?三模)為提高學(xué)生的思想政治覺(jué)悟，激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情，增強(qiáng)國(guó)防觀念和國(guó)家安全意識(shí)，某校進(jìn)

行軍訓(xùn)打靶競(jìng)賽.規(guī)則如下：每人共有3次機(jī)會(huì)，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中

2

靶心的概率為I,且滿足：如果第〃次射擊擊中靶心概率為p,那么當(dāng)?shù)凇ù螕糁邪行臅r(shí)，第〃+1次擊中靶

心的概率也為P，否則第〃+1次擊中靶心的概率為

(1)求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

⑵有如下定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)產(chǎn)(x)=P(XVx),xeR稱為X的分布函數(shù)，

對(duì)于任意實(shí)數(shù)4，X2(^<X2),wP(X1<X<X2)=P(X<X2)-P(X<X1)=F(X2)-F(J:1).因此，若已知X

的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間國(guó)％］上的概率.

(i)寫出(1)中甲選手得分X的分布函數(shù)(分段函數(shù)形式)；

(ii)靶子是半徑為2的一個(gè)圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，假如選

手射擊都能中靶，以y表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量y的分布函數(shù).

3.(23-24高三下?山西長(zhǎng)治?期中)蝗蟲(chóng)能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲(chóng)的平均產(chǎn)卵數(shù)y(單位：個(gè))

和平均溫度X(單位：C)有關(guān)，根據(jù)以往在某地收集到的7組數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量并不呈現(xiàn)

線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①y=C,X2+G與模型②y=e。#。,作為平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度X的回歸方程

來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

350-

300-

250-

200-

20,2224262830323436x

平均溫度x/℃21232527293235

平均產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)59222565118324

t=X244152962572984110241225

z=]ny1.612.203.093.224.174.775.78

Xtyz

27.43773.4381.143.55

7777

￡(%-?。?/p>

)(-9)刃^(z;-z)(x;-x)

Z=11=1i=li=l

￡7(玉-寸777

E(—)2E(—)2

i=li=lZ=1Z=1

20.030.370.290.0052

,17.17

其中4=x；,t=1t"Zj=Iny”z=三，￡.

'/=i/M

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得出模型①y=0.37/-205.03,請(qǐng)建立模型②下〉關(guān)于X的回歸方程；并在兩個(gè)

模型下分別估計(jì)溫度為30c時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)；（C3，C,與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：

e4-25?7O.ll,e430x73.70,e435?77.48）

⑵模型①，②的決定系數(shù)分別為R；=0.8124,R；=0.988,請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；

（3）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到30c以上時(shí)蝗蟲(chóng)會(huì)對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他

情況均不需要人工防治.設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到30C以上的概率為。（0<p<1）,該地今后n（n>3,?eN*）

年恰好需要2次人工防治的概率為“P）.

①求取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率Po;

②當(dāng)〃p）取最大值時(shí)，設(shè)該地今后5年需要人工防治的次數(shù)為X,求X的均值和方差.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,匕）,（％，%），（%匕），其回歸直線丫=例+夕的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

B=且-------------------,a=v-Bu.

茨if

i=l

4.(24-25高三上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研

究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按

[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體

的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.

(1)填寫下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生

抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；

單位：只

指標(biāo)值

抗體合計(jì)

小于60不小于60

有抗體

沒(méi)有抗體

合計(jì)

(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒(méi)有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫

苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.

(i)用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率P；

(ii)以(i)中確定的概率尸作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記100個(gè)人注

射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X.求E(X)及尸(X=%)取最大值時(shí)的左值.

n(ad-bc)2

參考公式：z2=(其中幾=為樣本容量)

(i+Z?)(c+d)(4+c)(Z?+d)

參考數(shù)據(jù):

a0.1000.0500.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

5.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))籃球運(yùn)動(dòng)是在1891年由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會(huì)訓(xùn)練學(xué)校體

育教師詹姆士?奈史密斯博士，借鑒其他球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)發(fā)明的.起初，他將兩只桃籃釘在健身房?jī)?nèi)看臺(tái)

的欄桿上，桃籃上沿離地面約3.05米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球

向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少?zèng)Q定比賽勝負(fù).在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球

比賽，后來(lái)籃球界就將此日定為國(guó)際籃球日.甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)

球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分

別是|■和P，且每人進(jìn)球與否互不影響.

(1)若p=(,求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；

1?

(2)若'WpW],且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期

望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？

6.(24-25高三上?吉林白城?階段練習(xí))傳球是排球運(yùn)動(dòng)中最基本、最重要的一項(xiàng)技術(shù).傳球是由準(zhǔn)備姿勢(shì)、

迎球、擊球、手型、用力5個(gè)動(dòng)作部分組成.其中較難掌握的是觸球時(shí)的手型，因?yàn)橛|球時(shí)手型正確與否直接

影響手控制球的能力和傳球的準(zhǔn)確性，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)掌握了正確手型才能保證正確擊球點(diǎn)和較好的運(yùn)用手

指，手腕的彈力.從小張、小胡、小郭、小李、小陳這5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確

定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將

球傳出.

⑴記小胡、小李、小陳這三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

(2)若剛好抽到小胡、小李、小陳三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由小胡將球傳出，記〃次傳球后球在小胡

手中的概率為P”〃=l，2,3,.

①直接寫出P”P2，P3的值；

②求P"+I與P?的關(guān)系式(〃eN*),并求P?(MGN*).

7.(2024福建.模擬預(yù)測(cè))為慶祝祖國(guó)75周年華誕，某商場(chǎng)決定在國(guó)慶期間舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng).盒中裝有5個(gè)除

顏色外均相同的小球，其中2個(gè)是紅球，3個(gè)是黃球.每位顧客均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)時(shí)從盒中隨機(jī)取出

1球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎(jiǎng)”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎(jiǎng)”，并將

該球放回盒中.

⑴在第2位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第1位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率；

⑵記匕―為第?個(gè)顧客參與后后來(lái)參與的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”的概率，求數(shù)列仍,｝的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)事件X為第七個(gè)顧客參與時(shí)獲得最后一個(gè)“特等獎(jiǎng)”，要使X發(fā)生概率最大，求上的值.

8.（24-25高三上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）某校組織了投籃活動(dòng)幫助高三學(xué)生緩解壓力，該活動(dòng)的規(guī)則如下：

①每個(gè)投籃人一次投一球，連續(xù)投多次；②當(dāng)投中2次時(shí)，這個(gè)投籃人的投籃活動(dòng)結(jié)束.已知某同學(xué)一次投

籃命中率為:，每次投籃之間相互獨(dú)立.記該同學(xué)投籃次數(shù)為隨機(jī)變量X.

（1）求該同學(xué)投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽的概率；

⑵求該同學(xué)投籃次數(shù)X（不超過(guò)〃）的分布列；

⑶在（2）的前提下，若尸（X=2）+P（X=3）++P（X=?）＞|,求〃的最小值.

9.（24-25高三上?廣西?階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)口袋都裝有3個(gè)小球（1個(gè)黑球和2個(gè)白球）.現(xiàn)從甲、乙口

袋中各取1個(gè)小球交換放入另外一個(gè)口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋）,

交換小球”次后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為幺，恰有1個(gè)黑球的概率為4“.

（1）求P1,%;

⑵求P2,%；

n31

⑶求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式，并證明￡/-三＜—.

10.（23-24高三下?浙江?期中）一個(gè)航空航天的興趣小組，隨機(jī)對(duì)學(xué)校100名學(xué)生關(guān)于航空航天是否感興趣

的話題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中被選取的男女生的人數(shù)之比為11：9.

（1）請(qǐng)補(bǔ)充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)航空航天感興趣的情況與性別相

關(guān)聯(lián).

感興趣不感興趣合計(jì)

男生

女生15

合計(jì)50100

（2）一名興趣小組成員在試驗(yàn)桌上進(jìn)行兩艘飛行器模型間的“交會(huì)對(duì)接”游戲，已知左右兩邊均有2艘“02運(yùn)

輸船”和1艘“Ml轉(zhuǎn)移塔”.游戲規(guī)則是每次在左右兩邊各任取一艘飛行器交換,假設(shè)“交會(huì)對(duì)接”重復(fù)了n次，

記左邊剩余“Ml轉(zhuǎn)移塔”的艘數(shù)為X“，左邊恰有1艘“Ml轉(zhuǎn)移塔”的概率為%，恰有2艘“Ml轉(zhuǎn)移塔”的概

率為人“,求

①求X的分布列；

②求凡;

③試判斷E（x“）是否為定值，并加以證明.

附：_______%_______

n=a+b+c+d.

(Q+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510,828

11.（23-24高三下.山東青島.階段練習(xí)）某制藥公司研制了一款針對(duì)某種病毒的新疫苗，該病毒一般通過(guò)病

鼠與白鼠之間的接觸傳染.現(xiàn)有〃只白鼠，已知每只白鼠在未接種疫苗時(shí)，接觸病鼠后被感染的概率為

設(shè)隨機(jī)變量X表示n只白鼠在未接種疫苗時(shí)接觸病鼠后被感染的白鼠數(shù)，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相

互獨(dú)立.

⑴若尸（X=5）=P（X=95）,求數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）設(shè)接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為p,將接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，進(jìn)行實(shí)驗(yàn),

隨機(jī)變量，X,Q=1,2,.,10）表示第i組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)將隨機(jī)變量X,1=1,2,,,10））的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

=,10）繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示.

不感染只數(shù)

①試寫出事件“X1=x"X2=%，，乂。=玉。”發(fā)生的概率表達(dá)式（用p表示，組合數(shù)不必計(jì)算）；

②現(xiàn)有兩個(gè)不同的研究團(tuán)隊(duì)理論研究發(fā)現(xiàn)概率P與參數(shù)6（0＜。＜1）的取值有關(guān)，團(tuán)隊(duì)A提出函數(shù)模型為

p=ln（l+，）-|4，團(tuán)隊(duì)B提出函數(shù)模型為p=；（l-d）.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)。=4時(shí)使得概率

P（%=不,X2=%，?，及0=占°）最大，稱為是。的最大似然估計(jì).根據(jù)這一原理和團(tuán)隊(duì)A,8提出的函數(shù)模型,

3

判斷哪個(gè)團(tuán)隊(duì)的函數(shù)模型可以求出〃的最大似然估計(jì),并求出最大似然估計(jì).參考數(shù)據(jù)：皿5°。4。65.

12.(2024?山東濟(jì)南.二模)隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要

應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，且向四個(gè)方向

移動(dòng)的概率均為例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(1,0),(T,0),(0,1),(0,-I)四點(diǎn)處.

(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)(x,y),記x+y的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(x)；

(2)記第n秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為P".

⑴己知￡(C)2=G“求P3，”以及0

k=0

(ii)令b“=P2“，記s”為數(shù)列｛2｝的前W項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)V>0,存在〃eN*,使得s“>”,則稱粒子

￡

是常返的.已知有[]<〃!<qj同，證明：該粒子是常返的.

13.(24-25高三上?湖南郴州?開(kāi)學(xué)考試)在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為

a(O<a<l).猜是反面的概率為1-a；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面的概率為，(0</<1),猜是正面的概

率為1.假設(shè)每次扔硬幣相互獨(dú)立.

(D若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測(cè)全部正確與猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率分別為匕鳥(niǎo)，試比較6，鳥(niǎo)的大?。?/p>

(2)若不管扔硬幣是正面還是反面猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，

(i)從下面①②③④中選出一定錯(cuò)誤的結(jié)論：

3I1

①a+"=5；②a+￡=l；③a￡=/,@a/3=-

(ii)從(i)中選出一個(gè)可能正確的結(jié)論作為條件.用X表示猜測(cè)的正反文字串，將X中正面的個(gè)數(shù)記為“(x),

如乂="正反正反"，則”(x)=2,若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求尸(〃(x)=2)的取值范圍.