2023-2024學(xué)年安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知函數(shù)的圖象如圖所示，且為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分別作出函數(shù)在的切線，則則有.故選：B2.已知函數(shù)的圖象上任意一點，在點處切線與軸分別相交于兩點，則的面積為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】，則，，所以在點處的切線方程為，整理為，在x、y軸上的截距分別為，，所以的面積為.故選：C.3.已知函數(shù).若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值為（）A.0 B.3 C. D.【答案】C【解析】，令，得，令，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.故選：C4.以“奔跑合肥，科創(chuàng)未來”為主題的2023合肥馬拉松，于11月19日開跑，共有3萬余名跑者在濱湖新區(qū)縱情奔跑，本次賽事設(shè)置全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑（約8公里）等多個項目，社會各界踴躍參加志愿服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙等5名大學(xué)生志愿者，通過培訓(xùn)后，擬安排在全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑三個項目進(jìn)行志愿者活動，則下列說法正確的是（）A.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有10種不同的分配方案B.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有15種不同的分配方案C.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同的站法D.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有48種不同的站法【答案】D【解析】對于AB，不同的分配方案有種，故AB錯誤；對于CD，不同的站法有種，故C錯誤，D正確.故選：D.5.已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，若對任意的，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，故不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為.故選：D6.若函數(shù)，既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，函數(shù)既有極大值，也有極小值，等價于一元二次方程在上有2個不同實根，則，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：B7.已知，，，那么的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，由，得，即，所以，即；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，又當(dāng)時，，所以，所以，即，所以，所以.故選：A8.已知函數(shù)，，若，則的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則有，解之得，，解之得，則有令，則令，則恒成立，則時，單調(diào)遞減，又，則時，，，單調(diào)遞增，時，，，單調(diào)遞減，則，則的最大值為0.故的最大值是0.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故B正確；C：若，則，故C正確；D：若，則，故D錯誤.故選：BC10.某學(xué)生在物理，化學(xué)，生物，政治，歷史，地理這六門課程中選擇三門作為選考科目，則下列說法正確的是（）A.若任意選擇三門課程，則總選法為B.若物理和歷史至少選一門，則總選法為C.若物理和歷史不能同時選，則總選法為D.若物理和歷史至少選一門且不能同時選，則總選法為【答案】ACD【解析】對于A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，故A正確；對于B．若物理和歷史選一門，有種方法，其余兩門從剩余的4門中選2門，有種選法，若物理和歷史選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的4門中選1門，有種選法由分步乘法計數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B錯誤；對于C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種，故C正確；對于D．由選項B的分析知，若物理和歷史至少選一門且不能同時選，有種選法，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標(biāo)依此為，則以下說法正確的是（）A. B.C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】對于AB，，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于有，因此選項AB正確，對于CD，兩個函數(shù)圖像如下圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設(shè)，且，由，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，且，所以選項C錯誤，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，為了迎接五一國際勞動節(jié)，某學(xué)校安排同學(xué)們在A，B，C，D四塊區(qū)域植入花卉，現(xiàn)有4種不同花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有______（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】72【解析】區(qū)域有4種選擇，區(qū)域有3種選擇，A區(qū)域有3種選擇，B區(qū)域有2種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的植入方法共有種.故答案為：7213.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：______.①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù).【答案】（答案不唯一）【解析】①由，即滿足；②對于，在上要使導(dǎo)函數(shù)恒成立，故，所以；③由②知：，注意定義域要關(guān)于原點對稱，滿足是奇函數(shù)；綜上，且，滿足上述要求.故答案為：（答案不唯一）14.設(shè)實數(shù)，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】由，構(gòu)造函數(shù)，在為增函數(shù)，則即對不等式恒成立，則，構(gòu)造函數(shù)令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)圖象在點處切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)極值.解：（1）由題意可得，．由，解之得經(jīng)檢驗得時，有極大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，的值隨的變化情況如下表：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)值8由表可知的極大值為8，極小值為．16.北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.為了某次航天任務(wù)，準(zhǔn)備從7名預(yù)備隊員中（其中男4人，女3人）中選擇4人作為航天員參加該次任務(wù).（1）若至少有一名女航天員參加此次航天任務(wù)，共有多少種選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）（2）若選中的4名航天員需分配到A，B，C三個實驗室去，其中每個實驗室至少一名航天員，共有多少種選派方式？（結(jié)果用數(shù)字作答）解：（1）由題意，分成3種情況討論：只有1名女性，共有種選法，有2名女性，共有種選法，有3名女性，共有種選法，所以共有種選法，即至少有一名女航天員參加此次航天任務(wù)，共有34種選法；（2）由題意，先選3名航天員，然后分為的兩組，然后分配到實驗室，共有種方法.所以每個實驗室至少一名航天員，共有1260種選派方式.17.設(shè)為實數(shù)，已知，.（1）求在區(qū)間的值域；（2）對于，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，當(dāng)時，，則時，；時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．又所以函數(shù)值域為（2），，使得成立，又在上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，又函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，，解之得.故實數(shù)的取值范圍是．18已知，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對于定義域內(nèi)任意恒成立，求取值范圍.解：（1），；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由題意知，即令，，則，，令，，則則在上單調(diào)遞增，由于，.所以存在，使得故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增最小值為，由于滿足，則，兩邊取對數(shù)，又在上單調(diào)遞增，則有，則故，故．則19.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.（1）根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；（2）由該公式可得：．當(dāng)時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；（3）設(shè)，證明：.解：（1）令，則，，，，故，，，，，由麥克勞林公式可得，故．（2）結(jié)論：，證明如下：令，，則令，則，故在上單調(diào)遞增，，則故在上單調(diào)遞增，，即證得，故．（3）由（2）可得當(dāng)時，，且由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故當(dāng)時，，，，而，即有，故而，即證得．安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知函數(shù)的圖象如圖所示，且為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分別作出函數(shù)在的切線，則則有.故選：B2.已知函數(shù)的圖象上任意一點，在點處切線與軸分別相交于兩點，則的面積為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】，則，，所以在點處的切線方程為，整理為，在x、y軸上的截距分別為，，所以的面積為.故選：C.3.已知函數(shù).若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值為（）A.0 B.3 C. D.【答案】C【解析】，令，得，令，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.故選：C4.以“奔跑合肥，科創(chuàng)未來”為主題的2023合肥馬拉松，于11月19日開跑，共有3萬余名跑者在濱湖新區(qū)縱情奔跑，本次賽事設(shè)置全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑（約8公里）等多個項目，社會各界踴躍參加志愿服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙等5名大學(xué)生志愿者，通過培訓(xùn)后，擬安排在全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑三個項目進(jìn)行志愿者活動，則下列說法正確的是（）A.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有10種不同的分配方案B.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有15種不同的分配方案C.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同的站法D.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有48種不同的站法【答案】D【解析】對于AB，不同的分配方案有種，故AB錯誤；對于CD，不同的站法有種，故C錯誤，D正確.故選：D.5.已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，若對任意的，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，故不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為.故選：D6.若函數(shù)，既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，函數(shù)既有極大值，也有極小值，等價于一元二次方程在上有2個不同實根，則，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：B7.已知，，，那么的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，由，得，即，所以，即；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，又當(dāng)時，，所以，所以，即，所以，所以.故選：A8.已知函數(shù)，，若，則的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則有，解之得，，解之得，則有令，則令，則恒成立，則時，單調(diào)遞減，又，則時，，，單調(diào)遞增，時，，，單調(diào)遞減，則，則的最大值為0.故的最大值是0.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故B正確；C：若，則，故C正確；D：若，則，故D錯誤.故選：BC10.某學(xué)生在物理，化學(xué)，生物，政治，歷史，地理這六門課程中選擇三門作為選考科目，則下列說法正確的是（）A.若任意選擇三門課程，則總選法為B.若物理和歷史至少選一門，則總選法為C.若物理和歷史不能同時選，則總選法為D.若物理和歷史至少選一門且不能同時選，則總選法為【答案】ACD【解析】對于A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，故A正確；對于B．若物理和歷史選一門，有種方法，其余兩門從剩余的4門中選2門，有種選法，若物理和歷史選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的4門中選1門，有種選法由分步乘法計數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B錯誤；對于C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種，故C正確；對于D．由選項B的分析知，若物理和歷史至少選一門且不能同時選，有種選法，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標(biāo)依此為，則以下說法正確的是（）A. B.C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】對于AB，，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于有，因此選項AB正確，對于CD，兩個函數(shù)圖像如下圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設(shè)，且，由，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，且，所以選項C錯誤，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，為了迎接五一國際勞動節(jié)，某學(xué)校安排同學(xué)們在A，B，C，D四塊區(qū)域植入花卉，現(xiàn)有4種不同花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有______（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】72【解析】區(qū)域有4種選擇，區(qū)域有3種選擇，A區(qū)域有3種選擇，B區(qū)域有2種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的植入方法共有種.故答案為：7213.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：______.①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù).【答案】（答案不唯一）【解析】①由，即滿足；②對于，在上要使導(dǎo)函數(shù)恒成立，故，所以；③由②知：，注意定義域要關(guān)于原點對稱，滿足是奇函數(shù)；綜上，且，滿足上述要求.故答案為：（答案不唯一）14.設(shè)實數(shù)，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】由，構(gòu)造函數(shù)，在為增函數(shù)，則即對不等式恒成立，則，構(gòu)造函數(shù)令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)圖象在點處切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)極值.解：（1）由題意可得，．由，解之得經(jīng)檢驗得時，有極大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，的值隨的變化情況如下表：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)值8由表可知的極大值為8，極小值為．16.北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.為了某次航天任務(wù)，準(zhǔn)備從7名預(yù)備隊員中（其中男4人，女3人）中選擇4人作為航天員參加該次任務(wù).（1）若至少有一名女航天員參加此次航天任務(wù)，共有多少種選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）（2）若選中的4名航天員需分配到A，B，C三個實驗室去，其中每個實驗室至少一名航天員，共有多少種選派方式？（結(jié)果用數(shù)字作答）解：（1）由題意，分成3種情況討論：只有1名女性，共有種選法