2025年中考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

微專題23銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.銳角三角函數(shù)（6年5考）

定義：如圖①，在R3A3C中，ZC=90°,NA為△ABC中的一銳角，則NA的正弦：sinA

二St/2的余弦…SA=!|=S—，2的正切"—

2.特殊角的三角函數(shù)值（6年8考）

zd1￡

1

示意圖

7311

a30°45°60°

1

sina③遺

2T

V2

cosa④⑤

T

tana⑥i⑦

3.銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（6年3考）

⑴仰角'俯角：如圖②，圖中仰角是N1,俯角是N2

⑵坡度（坡比）、坡角：如圖③，坡角為a,坡度（坡比》=tana=/

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（3）萬(wàn)向角：如圖④，A點(diǎn)位于。點(diǎn)的北偏東30°方向，3點(diǎn)位于。點(diǎn)的南偏東60°方向，C

點(diǎn)位于。點(diǎn)的北偏西45°方向

鉛一視線

垂夕——水平線

線

、視線

圖②圖③圖④

練考點(diǎn)

1.如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,則cos3的值為.

C.R

第1題圖

2.如圖，A。是△ABC的高，AB=4,ZBAD=60°,tanZCAD=|,則BC的長(zhǎng)為.

A

RDC.

第2題圖

3.在RtAABC中，ZC=90°.

(1)若NA=60°,則sinA=,cosA=；

(2)若tanA=l,則NA=°.

4.如圖，從熱氣球尸看一面墻底部3的俯角是.（用字母表示）

A

R

第4題圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)（6年5考）

例1（2024東莞一模）如圖，AABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值是（）

A,-B.-C.-D.2

553

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B

AC

例1題圖

變式1（2024江西）將圖①所示的七巧板，拼成圖②所示的四邊形ABCD,連接AC,則tanZCAB

圖①圖②

變式1題圖

考點(diǎn)2銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（6年3考）

例2小明家與小華家住在同一棟樓,他倆對(duì)所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高進(jìn)行了測(cè)量.（結(jié)果

均保留整數(shù)）

（1）如圖①，小明與小華在樓下點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)A到“的距離為50m,測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的

仰角為58°,試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N；

（參考數(shù)據(jù)：sin58°^0.85,cos58°^0.53,tan58°^1.60）

N

例2題圖①

⑵現(xiàn)在商場(chǎng)樓下停了一輛車，沒(méi)辦法直接測(cè)量出AM的長(zhǎng)度，小華想了其他辦法也可以測(cè)量.

①如圖②，小明與小華在樓頂?shù)?處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°,測(cè)得商業(yè)大廈底

部〃的俯角為60°,已知MNLAM,AB=56m,試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N；

（參考數(shù)據(jù)sin37。=0.60,cos37°M）.80,tan37°^0.75,后”73）

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例2題圖②

②如圖③，小華站在點(diǎn)A處測(cè)得塔尖商業(yè)大廈頂部N的仰角為45°,向前走了35m到達(dá)點(diǎn)3

處測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角為61°,已知小華眼睛到地面的高度AC（3D）為1.6m,點(diǎn)A,

B,航在同一水平線上，MN1AB,試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N；

（參考數(shù)據(jù)：sin61°^0.87,cos61°^0.48,tan61°^1.80）

例2題圖③

⑶如圖④，大廈樓頂上有一信號(hào)塔E,H三點(diǎn)共線），小明和小華想測(cè)得塔尖R到地面

的高度，小明在樓頂?shù)?處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°,小華在大廈樓頂G處測(cè)得

信號(hào)塔頂部R的仰角為60°,已知MN±AM,EFLNE,AB=56m,AM=50m,

GE=10m,試求塔尖R到地面的高度.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos

37°^0.80,tan37°^0.75,V3^1.73)

AMH

例2題圖④

真題及變式

命題點(diǎn)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（6年9考）

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模型分析

1.（2022廣東11題3分）sin30°=.

2.（2019廣東15題4分.人教九下例題改編）如圖，某校教學(xué)樓AC與實(shí)驗(yàn)樓3。的水平間距CD

=15舊米，在實(shí)驗(yàn)樓頂部3點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓頂部A點(diǎn)的仰角是30°,底部C點(diǎn)的俯角是45°,

則教學(xué)樓AC的高度是米（結(jié)果保留根號(hào)）.

4

□

、

、

、2

□3

□、

□3_0歲

□

□45

□/

□

□

CD

154米

第2題圖

3.（2023廣東18題7分）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航

天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站.如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂

AC=BC=10m,兩臂夾角NACB=100°時(shí)，求A,3兩點(diǎn)間的距離.（結(jié)果精確到0.1m,參

考數(shù)據(jù)sin50°^0.766,cos50°^0.643,tan50°^1.192）

第3題圖

4.（2024廣東18題7分）中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).

為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形尸QW充電站的平面示意

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圖，矩形A3CD是其中一個(gè)停車位.經(jīng)測(cè)量，ZABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH±CD,

GH是另一個(gè)車位的寬，所有車位的長(zhǎng)寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)舊心1.73）

⑴求PQ的長(zhǎng);

（2）該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長(zhǎng).

第4題圖

拓展訓(xùn)練

5.（2024中山一模）中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，其由空間段、

地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時(shí)為各類用戶提供高精度、高可靠

定位、導(dǎo)航、授時(shí)服務(wù).如圖，小敏一家準(zhǔn)備自駕到風(fēng)景區(qū)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車

輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛10千米至3地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)C,

小敏發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A地的北偏東15°方向.

（1）求NC的度數(shù)；

⑵求3,C兩地的距離.（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào)）

北

新考法

6.［項(xiàng)目式學(xué)習(xí)］（2024蘭州）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置.某興趣小組利用擺球和擺線

進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下.

第6頁(yè)共12頁(yè)

實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化

實(shí)驗(yàn)用具「擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等

，囪①，在支架的橫桿點(diǎn)。處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球

開始往復(fù)運(yùn)動(dòng).（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）

實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖②，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A,拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處/BOA

=64°,BD=2Q.5cm；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，ZC0A=31°,CELQ4.（點(diǎn)

A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)）

實(shí)驗(yàn)圖示

圖①圖②

第6題圖

解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求ED的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1cm）

參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°心0.75,sin64°^0.90,cos64°^0.44,

tan64°^2.05.

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考點(diǎn)精講

②E③]④[⑤;⑥]⑦“

cb2223

教材改編題練考點(diǎn)

12V5

1.-----

5

2.2V3+1

3.⑴亨,I；(2)45

4.ZBPC

高頻考點(diǎn)

例1C【解析】如解圖，連接格點(diǎn)3D,CD在Rt“3D中，tanA=1^=g.

B

例1題解圖

變式11【解析】根據(jù)題意，易知AB=CD設(shè)AB=2,則CD=3D=2,?.,NABD=45°+

45°=90°,N3DC=90°,.?.A3〃CD,?'.四邊形A3CD是平行四邊形.如解圖，設(shè)AC,BD

交于點(diǎn)。，：.BO=-BD=1,：.tanZCAB=—=~.

2AB2

變式1解圖

例2解：⑴〈MNLAM,

.?.在RtZkAMN中，tanNMAN="^,/MAN=58°,AM=50,

AM

：.MN=AM-tan58°^50X1.60=80,

答:商業(yè)大廈的高M(jìn)N約為80m；

⑵①如解圖①，過(guò)點(diǎn)B作3CLMN于點(diǎn)C,

四邊形是矩形，

.\BA=CM=56,

在R33CM中，tanNM3C=0=V^?L73,

BC

第8頁(yè)共12頁(yè)

：.BC=C^M-^32.4,

tan60°

在RtABCN中，tan/NBC=江,

BC

：.NC=BCtan31°?32.4X0.75=24.3,

MN=CM+NC=56+24.3=80.3弋80,

答：商業(yè)大廈的高約為80m；

例題解圖①

②如解圖②，連接CD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E,

由題意可知，四邊形ABDC,3MED均為矩形,

AC=BD=ME=1.6,CD=AB=35,

設(shè)EN=x,

:在RtACEN中，/ECN=45°,

：.EN=CE=x,

：.DE=CE-CD=x~35,

?.?在RtAONE中，ZNDE=61°,

：.tanZNDE=—=^—^l.80,

DEx—35

解得好《78.8,:.ENF8.8,

:.MN=EN+MEF8.8+1.6=80.4心80,

答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N約為80m；

例題解圖②

(3)如解圖③，過(guò)點(diǎn)3作即于點(diǎn)C,交MN于■點(diǎn)、D,9即為R到地面的高度.

易得DN=CE,AB=DM=CH=56,

由題意得3D=AM=50,/NBD=37°,GE=10,

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在R33DN中，DN=BDtan37°心37.5,

在RtZkERG中，EF=GEtan60°心17.3,

/.FH=EF+CE+CH=EF+DN+AB?17.3+37.5+56=110.8^111,

答：塔尖R到地面的高度約為111m.

例題解圖③

真題及變式

1.-

2

2.(15+15V3)【解析】如解圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)3的水平線與AC交于點(diǎn)E,易得四邊形3DCE為矩

形，則3E=CD=15g,,.?NCBE=45°CE=BE=15b，在RtAABE中，AE=5Etan30°

=15V3X—=15,I.AC=AE+EC=(15+15b)米.

I:D

15%米

第2題解圖

3.解：如解圖，連接A3,過(guò)點(diǎn)C作SLAB于點(diǎn)D,

"：AC=BC,ZACB=100°,

11

/.ZACD=-ZACB=-X100°=50°，(3分)

22

：.AD=ACsin50°^10X0.766=7.66(m),

：.AB=2AD=2X1.66^15.3(m),

答：A,3兩點(diǎn)間的距離約為15.3m.(7分)

第3題解圖

4.解：(1)由題意，得NQ=90°,ZABQ=6Q°,AB=5.4m,

.?.在RtZkABQ中，ZBAQ=30°,30=5.4Xcos60°=2.7m,

第10頁(yè)共12頁(yè)

AQ=5.4Xsin60°=^-m,（1分）

:四邊形ABC。為矩形，CE=1.6m,

AZABC=90°,ZCBE=180°-ZABC-ZABQ=30°,

在RfCBE中,BC=-=^-m,BE=CE=3.2m

sin30°

：.BC=AD=—m,

同理可得，在RtZkPAD中，ZPAD=60°,

.../M=ADcos60。=Wxcos60。=?m,（3分）

27V37V3,1

：.PQ=PA-\-AQ=——^=—^6.Im,

102

答：PQ的長(zhǎng)約為6.1m；(4分)

⑵：充電站有20個(gè)停車位,

：.QM=QB+20BE,

由（1）得，Q5=2.7m,BE=3.2m,

：.QM=2.7+3.2X20=66.7m,

?四邊形PQMN為矩形，

：.PN=QM=66.1m,

答：PN的長(zhǎng)為66.7m.（7分）

5.解：（1）如解圖，由題意，得NA4D=45°