2025年中考數(shù)學(xué)模擬卷4（深圳專用）

備戰(zhàn)2025年深圳中考數(shù)學(xué)模擬卷

（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答填空題時(shí)，請(qǐng)將每小題的答案直接填寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)橫線上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將

解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：（每題3分，共24分.下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的.）

1.-2025的絕對(duì)值為（）

A.-2025B.2025C.±2025D.———

2025

【答案】B

【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的定義，理解絕對(duì)值的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：-2025的絕對(duì)值是|-2025|=2025.

故選：B.

2.如圖所示是皮影戲，它是中國(guó)民間古老的傳統(tǒng)藝術(shù)，老北京人都叫它"驢皮影”.據(jù)史書(shū)記載，皮影戲始

于西漢，興于唐朝，盛于清代，元代時(shí)期傳至西亞和歐洲I,可謂歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).皮影戲的光源通常

是一盞煤油燈，則它的投影屬于（）

A.平行投影B.中心投影

C.既是平行投影又是中心投影D.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】本題考查了中心投影和平行投影的知識(shí)，根據(jù)由太陽(yáng)光形成的投影是平行投影、由燈光形成的投

影是中心投影判斷即可.

【詳解】解：回皮影戲的光源通常是一盞煤油燈，

回它的投影屬于中心投影.

故選B.

3.港珠澳大橋是目前世界上最長(zhǎng)的跨海大橋，工程造價(jià)約1100億元，1100億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（

A.1100x108元B.11X101。元C.1.1X1011元D.1.1x1012元

【答案】C

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中左歸|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值”0時(shí)，n是正數(shù)；

當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).

【詳解】解：1100億=110000000000=1.1X1011,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為610〃的形式，其中14ml<10,n

為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.（—2a）2=—4a2B.3m+2m=5m2

C.（2-<a）2=a2+4-4aD.（2/?-w）（2/M+n）=4/M2+rr

【答案】C

【分析】分別根據(jù)積的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式和平方差公式法則進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.（-2a）2=4a2,原式計(jì)算錯(cuò)誤；

B.3m+2m=5m,原式計(jì)算錯(cuò)誤；

C.（2-G）2=<22+4-4a,計(jì)算正確；

D.（2〃?—“）（2根+〃）=4療-力2,原式計(jì)算錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，平方差公式和累的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則，牢記乘法公

式是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，A3為（。的直徑，C、。為（。上兩點(diǎn)，若N8CD=38。則NASD的大小為（）

A.76°B.52°C.50°D.38°

【答案】B

【分析】本題考查了直徑所對(duì)圓周角為直角，同弧或等弧所對(duì)圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握

同弧或等弧所對(duì)圓周角相等是解題的關(guān)鍵.

如圖所示，連接AO,得到NBCD=NB4D=38。，由A3是直徑，得至UNADB=90°,在根據(jù)直角三角形兩

銳角互余，由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接A。，

回?fù)?應(yīng)）’

0/3。。=/區(qū)4。=38°,

E1AB是直徑，

0ZADB=90°,

在RfABD中，ZABD=90°-ABAD=90°-38°=52°,

故選：B.

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)關(guān)于"方程"的問(wèn)題："今有牛五、羊二，直金十兩.牛二、

羊五，直金八兩.問(wèn)牛羊各直金幾何？"譯文："今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩.牛2頭，羊5頭，共

值金8兩.問(wèn)牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（）

J5x+2y=10J2x+5y=10

A.12x+5y=8[5x+2y=8

5x+5y=105x+2y=10

2x+5y=82x+2y=8

【答案】A

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題

的關(guān)鍵.因?yàn)槊款^牛值金無(wú)兩，每頭羊值金y兩，根據(jù)“牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭,

共值金8兩"，即可得出關(guān)于X、＞的二元一次方程組，此題得解.

5x+2y=10

【詳解】解：根據(jù)題意得:

2x+5y=8

故選：A.

7.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.ZBDE=ZBACB./BAD=/BC.DE=DCD.AE=AC

【答案】B

【分析】由尺規(guī)作圖的痕跡可得，DE±AB,AQ是-A4c的平分線，根據(jù)同角的余角相等可判斷A,根

據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷C,證得=RtAACD可判定D,由于OE不是A3的垂直平分線，不能證

明

【詳解】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，OE可以理解成是平角的角平分線，

^DE±AB,AD是ZBAC的平分線，

0ZACB=90°,

SDE=DC,NB+ZBDE=NB+ABAC=90°,

^ZBDE=ZBAC,

在RtAAED和RtAACD中，

AD=AD

DE=DC

E)RtVAEZ^RtVACD(HL),

13AE=AC,

EIDE不是AB的垂直平分線，故不能證明=

綜上所述：A,C,D不符合題意，B符合題意，

故選：B.

8.張?jiān)菏康膭?dòng)力科學(xué)研究院實(shí)驗(yàn)基地內(nèi)裝有一段筆直的軌道A3,長(zhǎng)度為1m的金屬滑塊在上面做往返滑

動(dòng).如圖，滑塊首先沿A3方向從左向右勻速滑動(dòng)，滑動(dòng)速度為9m/s,滑動(dòng)開(kāi)始前滑塊左端與點(diǎn)A重合，

當(dāng)滑塊右端到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，滑塊停頓2s,然后再以小于9m/s的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點(diǎn)A重合，

滑動(dòng)停止.設(shè)時(shí)間為f(s)時(shí)，滑塊左端離點(diǎn)A的距離為4(m),右端離點(diǎn)8的距離為&(m),記d=d

與/具有函數(shù)關(guān)系.已知滑塊在從左向右滑動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)r=4.5s和5.5s時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的d的兩個(gè)值互為相

反數(shù)：滑塊從點(diǎn)A出發(fā)到最后返回點(diǎn)A,整個(gè)過(guò)程總用時(shí)27s(含停頓時(shí)間).若在整個(gè)往返過(guò)程中，d=18,

則/=()S.

從左向右

從右向左

A.6或9B.18C.6或18D.9或18

【答案】C

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分析得出”=91,并求得往返過(guò)程中的解析式是解題的關(guān)鍵.設(shè)軌道

AB的長(zhǎng)為根據(jù)已知條件得出4+4+1=”,貝1Jd=4-=18f-"+1,根據(jù)當(dāng),=4.5s和5.5s時(shí)，與之對(duì)應(yīng)

的d的兩個(gè)值互為相反數(shù)；貝卜=5時(shí)，d=0,得出d=91,繼而求得滑塊返回的速度為(91-l)+15=6(m/s),

得出4=6("12),代入"乂-乙求得d關(guān)于f的函數(shù)，進(jìn)而①當(dāng)04W10時(shí)，②當(dāng)12Vd27時(shí)，分別令

d=18,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：設(shè)軌道A3的長(zhǎng)為“，當(dāng)滑塊從左向右滑動(dòng)時(shí)，

團(tuán)4+，2+1=〃，

團(tuán)4=幾-I］一］,

回d=/］—4=4—(幾—§—1)=2/］—〃+1=2x9t—〃+1=18,一〃十］,

團(tuán)d是看的一次函數(shù)，

團(tuán)當(dāng)U4.5s和5.5s時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的d的兩個(gè)值互為相反數(shù)；

團(tuán)當(dāng)，=5時(shí)，d=0,

團(tuán)18x5—幾+1=0,

0n=91,

團(tuán)滑塊從點(diǎn)A到點(diǎn)B所用的時(shí)間為(91-l)+9=10(s),

當(dāng)04Y10,4=18時(shí)，18r-91+1=18,

解得：f=6；

回整個(gè)過(guò)程總用時(shí)27s(含停頓時(shí)間).當(dāng)滑塊右端到達(dá)點(diǎn)3時(shí)，滑塊停頓2s,

回滑塊從點(diǎn)8到點(diǎn)A的滑動(dòng)時(shí)間為27-10-2=15(s),

國(guó)滑塊返回的速度為(91-l)+15=6(m/s),

[3/9=6,-12),

回乙=91-1-6=90-6(^-12)=162-6r,

ffl/1-/2=162-6r-6(Z-12)=-12?+234,

回d與，的函數(shù)表達(dá)式為d=-nt+234,

當(dāng)12V/V27,d=18時(shí)，

一127+234=18,

解得：?=18,

綜上所述，當(dāng)f=6或/=18時(shí)，d=18.

故選：C.

二、填空題：(每小題3分，共15分.)

9.分解因式：ax2-4ay2=.

【答案】a(x+2y)(x-2y)

【分析】本題考查了因式分解，先提取公因式。，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：ax2-4ay2

-a^x2-4y2)

=a(x+2y)(x-2y),

故答案為：a(x+2y)(x-2y).

10.已知，CD是YABC的角平分線，直線AE〃3C,若ZABC=62°,ZEAC=50°,則^ADC的度數(shù)為

【答案】87度

【分析】由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NACB=NE4C=50。，由角平分線的定義可得

ZACD=ZBCD=-ZACB=25°,根據(jù)NADC=/ABC+N8cD,計(jì)算求解即可.

2

【詳解】解：AE//BC,/E4c=50。，

0ZACB=Z￡AC=50°,

回CD是VABC的角平分線，

0ZACD=ZBCD=-ZACB=25°,

2

0ZADC=ZABC+ZBCD=62°+25°=87°,

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于明確

角度之間的數(shù)量關(guān)系.

11.黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組

用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓的高度，具體過(guò)程如下：如圖，將無(wú)人機(jī)垂直上升至距水平地面102m的C處，測(cè)

得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端8的俯角為63。，則測(cè)得黃鶴樓的高度是m.(參考數(shù)據(jù):

tan63°?2)

【答案】51

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.延長(zhǎng)血交距水平地面102m

的水平線于點(diǎn)0,根據(jù)131163。亡2,求出￡)C=AZ)B51m,即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)歷1交距水平地面102m的水平線于點(diǎn)。，如圖,

設(shè)AD=%,

團(tuán)/DC4=45。

^DC=AD=x

…BD102

團(tuán)tan63=-----x2

DCx

團(tuán)OC=ADq51m

AB=BD-AD=102-51^51m

故答案為：51.

12.如圖，已知VABC中，AB=AC=5,BC=2式，將VABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，A8在>軸上，BC

中點(diǎn)。在x軸正半軸上，則過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為

X

【分析】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，求反比例函數(shù)的解析式；過(guò)點(diǎn)C作軸交于

點(diǎn)E,根據(jù)三線合一可得50=8=百，根據(jù)勾股定理求得AO,進(jìn)而根據(jù)

sinADAO=—=—=sinZODB=半得出BO=1,OD=2,進(jìn)而證明.03。絲AEC￡>(AAS)得出C(4,1),

AB5，5

即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE_Lx軸交于點(diǎn)E,

!3AB=AC=5,BC=2j?,BC中點(diǎn)。在x軸正半軸上，

SADJ.BC,BD=CD=#,

^AD=4AB1-BD1=2A/5-

0Z.DAO=90°-ZABD=ZODB

0sinZDAO=—=—=sinZODB=嗎

AB5^5

^BO=1,則OD={BD2-OB2=2

在，OBD,..ECD中，DB=DC/ODB=ZEDC,ZBOD=ZCED

⑦一OB*,ECD(AAS),

0OD=DE=2,CE=BO=1,

0C(4,1)

設(shè)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y=~,則左=1x4=4,

X

4

回過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y=2,

x

4

故答案為：y=".

X

13.如圖是王先生家的菜團(tuán)，圖2是該菜譜的示意圖,該菜譜可看作矩形,點(diǎn)、E,F分別是矩形ABC。的邊CD,

AB的中點(diǎn)，兩條平行線AK,CL分別經(jīng)過(guò)菱形EGEH的頂點(diǎn)a,G和邊FG,E”的中點(diǎn)M,N.已知

菱形EGM的面積為6,則陰影部分的面積之和為.

圖1圖2

【答案】5

【分析】連接E￡G”交于點(diǎn)0,設(shè)EF交NG于點(diǎn)、R,交AK于點(diǎn)T,連接AG,先證明四邊形AEED是矩

形，得到￡F〃AT>,￡F=AD,ZAFE=90°,證明eGHM四推出四邊形AFHG為平行四邊形，推出

A,G,E三點(diǎn)共線，且AG=EG,再證明,.AGL絲..EGH,得到AL=￡R,證明四邊形AZAT,四邊形ALCK均

為平行四邊形，得到麻=RT,平行線分線段成比例，推出FT=RT=ER=gEE=gA。，根據(jù)菱形的面積

分別求出四邊形ALCK和GAffiN的面積，分割法求出陰影部分的面積即可.

【詳解】解：連接E￡GH交于點(diǎn)0,設(shè)EF交NG于點(diǎn)、R,交AK于點(diǎn)T,連接AG,

回四邊形ABCD為矩形，

⑦AB=CD,AB〃CD,ND=90°,

團(tuán)點(diǎn)E,尸分別是邊CO,A5的中點(diǎn)，

BDE=-CD,AF=-AB,

22

BDE=AF,

通DE〃AF,

團(tuán)四邊形AFED為平行四邊形，

團(tuán)？。90?,

國(guó)四邊形AFED是矩形；

回EF〃AD,EF=AD,ZAFE=90°,

團(tuán)四邊形￡GFH為菱形，

國(guó)GH_LEF,OG=OH=-HG,EG//FH,EG=FH,

2

⑦/EOG=90。=ZAFE,

^GH//AFf

中/GHM=/FAM,

團(tuán)點(diǎn)M是尸G的中點(diǎn)，

0GM=FM9

又⑦/GMH=/FMA,

GHM^FAM(AAS),

團(tuán)GH=AF,

團(tuán)四邊形AFHG為平行四邊形，

aAG〃HF,AG=HF,

REG〃FH,EG=FH,

團(tuán)A,G,石三點(diǎn)共線，且AG=EG,

^\EF//AD,

?ZLAG=ZREG,

國(guó)/LGA=NRGE,

團(tuán)

AGL^.EGR(ASA)f

BAL=ER,

^AL//RT//CK,CL//AK,

團(tuán)四邊形WT,四邊形ALCK均為平行四邊形,

?AL=RT=CK,

⑦ER=RT,

BAK//CL,

FMFT1

回----=----=I,

GMRT

國(guó)FT=RT,

^\FT=RT=ER=-EF=-AD,

33

團(tuán)菱形的面積為6,

國(guó)EFGH=I2,

團(tuán)ADAB=24,

BAL=CK=-ADf

團(tuán)SATrK=AL-AB=—3AD-AB=8,

團(tuán)SGNHM=3SEGFH=3'

0S陰影=SM.CK~SGNHM=8-3=5;

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

平行線分線段成比例等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和特殊圖形，是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題共7個(gè)小題，共61分.）

14.計(jì)算：-F025+W-tan6(r+|應(yīng)-6

【答案】1-及

【分析】本題考查了含特殊角的三角形函數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡(jiǎn)乘方，立方根，正切值，絕對(duì)值，再運(yùn)算

加減，即可作答.

【詳解】解：一仔際+我-tan60°+|夜-相|

=-1+2-追+(石_@

=1--\/2-

15.先化簡(jiǎn)+l卜廠一帖+4,然后從t,0,1,2中選取一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值.

（X+1JX+1

【答案】產(chǎn)2+x，當(dāng)x=0時(shí)，原式=1（或者選擇當(dāng)x=l時(shí)，原式=3）

【分析】先運(yùn)用分式的通分化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)的式子，再運(yùn)算分式的除法，熟練掌握分式化簡(jiǎn)求值以及注意分母

不為0是解題的關(guān)鍵.

*2

▼、斗莊4、ATJ（3x—4x+4

【詳解】解：一r-^+lh-----1一

（X+1）X+1

3-（%-x+1

X+1（X-2）2

（2+x）（2—%）x+1

%+1（2—x）2

2+x

~2-x"

回％=-1或2時(shí)，分母為0,分式無(wú)意義,

回只能取x=0或1,

團(tuán)當(dāng)x=0時(shí)，原式=1,（或者選擇當(dāng)x=l時(shí)，原式=3）.

16.為提高學(xué)生的安全意識(shí)，某學(xué)校組織學(xué)生參加了"安全知識(shí)答題”活動(dòng).該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生答題成績(jī)

進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)：A（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根據(jù)結(jié)果繪制成

如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

學(xué)生答題成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)圖中所給信息解答下列問(wèn)題：

⑴這次抽樣調(diào)查共抽取人,條形統(tǒng)計(jì)圖中的根=；

⑵將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù)；

⑶學(xué)校要從答題成績(jī)?yōu)锳等且表達(dá)能力較強(qiáng)的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中，隨機(jī)抽出兩名學(xué)生去做“安全知

識(shí)宣傳員"，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率.

【答案】⑴50,7；

（2）見(jiàn)解析,108°；

O

【分析】此題主要考查條形及扇形統(tǒng)計(jì)圖，通過(guò)樹(shù)狀圖或列表法求概率，理解題意，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)

是解題關(guān)鍵.

（1）用2等級(jí)的人數(shù)除以其所占百分比，即可求出抽取的總?cè)藬?shù)，用抽取總?cè)藬?shù)乘以成績(jī)?yōu)?。等?jí)所占百

分比，即可求出機(jī)的值；

（2）用抽取總?cè)藬?shù)乘以A等級(jí)的人數(shù)所占百分比，求出成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；先求

出成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的人數(shù)所占百分比，再用360度乘以成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的人數(shù)所占百分比即可求出C等級(jí)所在

扇形圓心角的度數(shù)；

（3）根據(jù)題意列出表格，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】（1）解：由統(tǒng)計(jì)圖可得，這次抽樣調(diào)查共抽?。?6-32%=50（人），m=50xl4%=7,

故答案為：50,7.

（2）由（工）知，m=7,等級(jí)為A的有：50-16-15-7=12（人）,

補(bǔ)充完整的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，C等所在扇形圓心角的度數(shù)為：360°x1|=108o.

學(xué)生答Ifi成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖

由上可得，一共存在12種等可能性，其中抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的可能性有2種,

21

啪出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率為1rz.

17.某校開(kāi)設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購(gòu)買(mǎi)了A,8兩種型號(hào)的機(jī)器人模型.A型機(jī)器人模型單價(jià)比8

型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用2000元購(gòu)買(mǎi)4型機(jī)器人模型和用1200元購(gòu)買(mǎi)B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同.

⑴求A型，8型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購(gòu)買(mǎi)A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)B型機(jī)器人模型不超過(guò)A型機(jī)器人模型的3倍，

且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠.問(wèn)購(gòu)買(mǎi)A型和B型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少?最

少花費(fèi)是多少元？

【答案】（1的型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元

（2）購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人模型10臺(tái)和B型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元

【分析】（1）設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是龍?jiān)?型編程機(jī)器人模型單價(jià)是（犬-200）元，根據(jù)：用2000

元購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人模型和用1200元購(gòu)買(mǎi)2型機(jī)器人模型的數(shù)量相同即可列出關(guān)于無(wú)的分式方程，解方程并

檢驗(yàn)后即可求解；

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型編程機(jī)器人模型機(jī)臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)A型和2型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)卬元，根據(jù)題意可求出相

的范圍和W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值

【詳解】（1）解：設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是（x-200）元.

根據(jù)題意，得出=小黑

xx-200

解這個(gè)方程，得x=500

經(jīng)檢驗(yàn)，x=500是原方程的根.

x—200=300

答：A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元.

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型編程機(jī)器人模型機(jī)臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)8型編程機(jī)器人模型（40-祖）臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)A型和8型編程機(jī)器人

模型共花費(fèi)w元，

由題意得：40-m<3m,解得機(jī)210.

0w=500x0.8-m+300x0.8-（40-m）

即w=160/72+9600,

0160>0,

[gvv隨機(jī)的增大而增大.

回當(dāng)機(jī)=10時(shí)，w取得最小值11200,此時(shí)40-〃7=30；

答：購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人模型10臺(tái)和2型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意、找準(zhǔn)相

等與不等關(guān)系、得出分式方程與不等式是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在，ABC中，AB=AC,AE是EIBAC的平分線，回ABC的平分線BM交AE于點(diǎn)M,點(diǎn)。在AB上，以

點(diǎn)。為圓心，0B的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F.

（1）求證：AE為回。的切線.

（2）若BC=8,AC=12時(shí)，求回0的半徑和線段BG的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）半徑為3,BG=2

【分析】(1)連接0M,由AB=AC、AE平分回BAC,得到AE回BC；利用角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),

得到OMEIBC；再利用平行線的性質(zhì)得到AE0OM,即可證得AE為回。的切線.

(2)設(shè)回。的半徑為R,根據(jù)0M回BE,得到AOMA甌BEA,禾用相似三角形的性質(zhì)得到絲=孚，即

BEAB

DI?_R

,解得R=3,從而求得回0的半徑；過(guò)點(diǎn)。作OH團(tuán)BG于點(diǎn)H,則BG=2BH,根據(jù)

412

團(tuán)OME二團(tuán)MEH二回EHO=90°,得到四邊形。MEH是矩形，從而得至I」HE=OM=3和BH=1,證得結(jié)論BG=2BH=2.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OM,

回AB=AC,AE平分團(tuán)BAC,

團(tuán)AE團(tuán)BC,

團(tuán)OB=OM,

團(tuán)團(tuán)OBM二團(tuán)OMB,

團(tuán)BM平分團(tuán)ABC,

團(tuán)團(tuán)。BM二團(tuán)CBM,

回回OMB二回CBM,

團(tuán)0M團(tuán)BC,

又團(tuán)AE團(tuán)BC,

團(tuán)AE團(tuán)0M,

團(tuán)AE是回0的切線；

(2)解：設(shè)團(tuán)0的半徑為R,

0BC=8,

[?]BE=^BC=4,

團(tuán)0M團(tuán)BE,

回R10MA團(tuán)團(tuán)BEA,

OMAO

0——二

BEAB

嗚二12-R

12

解得：R=3,

000的半徑為3；

如圖，過(guò)點(diǎn)。作OH團(tuán)BG于點(diǎn)H,

則BG=2BH,

00OME=0MEH=0EHO=9O°,

回四邊形OMEH是矩形，

0HE=OM=3,

EIBH=BE-HE=；BC-HE=4-3=1,

0BG=2BH=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、圓的切線的判定、相似三角形的判定和性

質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，綜合的知識(shí)較多，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

19.《西游記》中的孫悟空對(duì)花果山的體制進(jìn)行全面改革后，為了改善旅游環(huán)境，決定對(duì)水簾洞改造翻新，

于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孫們踴躍參加，下面是其中一個(gè)方案：

改造1：圖1中水簾洞下面挖空變成一座拱橋，圖2是其圓弧形或拋物線形橋拱的示意圖，預(yù)計(jì)挖空后平時(shí)

水面寬20m,拱頂離水面5m.據(jù)推算，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高.

改造2：為吸引游客，增加喜慶氣氛，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安全,

燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在

符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布.

問(wèn)題解決：

問(wèn)題1：確定橋拱形狀是圓?。涸趫D2中用適當(dāng)方法求圓弧所在圓的半徑長(zhǎng).

問(wèn)題2：擬定通行方案：在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上,該河段水位漲1.8m達(dá)到最高時(shí)，有一艘貨船它漏出水面高2.2m,

船體寬9m需要從拱橋下通過(guò)，通過(guò)計(jì)算判斷是否能順利通行.（注：762.45）

問(wèn)題3：確定橋拱形狀是拋物線：在圖4中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

問(wèn)題4：擬定設(shè)計(jì)方案：在問(wèn)題3的基礎(chǔ)上，給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐

標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【答案】（1）12.5m（2）能順利通過(guò)（3）該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=（4）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式

的方法，以及垂直于弦的直徑平分弦，是解題的關(guān)鍵.

問(wèn)題1：設(shè)圓的圓心為點(diǎn)C,OCA8相交于點(diǎn)Z）,得出OD=5m,AB=20maB，OD,則AD=LA8=10m,

2

設(shè)該圓的半徑為r,則AC=OC=r,CO=r-5,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可；

問(wèn)題2：先求出該貨船頂端與圓心距離3=11.5,根據(jù)勾股定理可得：EH=^CE2-CH2=2A/6,則

EF=2EH=476>9,即可解答.

問(wèn)題3：以橋拱的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，則A（-LO,-5）,8。0,-5）,設(shè)該拋物線的表達(dá)式為

y=ax1,把4（-10,-5）代入求出。的值，即可得出函數(shù)表達(dá)式；

問(wèn)題4：根據(jù)該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面不小于1m,燈籠長(zhǎng)40cm=0.4m,

得出懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)而得出懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為-6WXW6,根據(jù)相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)

的水平間距均為1.6m,即可解答；

【詳解】解：?jiǎn)栴}1：設(shè)圓的圓心為點(diǎn)C,OCAB相交于點(diǎn)。，

由題意可得：OD=5m,AB=20mAB，O￡）,

回AD=—AB=10m,

2

設(shè)該圓的半徑為r,則AC=OC=r,C￡>=r-5,

根據(jù)勾股定理可得：AD2+CD2=AC2,

貝1]]02+(—5)2=，,

圖2

問(wèn)題2：由問(wèn)題1可知，8=12.5—5=7.5,

當(dāng)河段水位漲L8m達(dá)到最高時(shí)，CD'=CZ）+L8=7.5+L8=9.3,

回貨船漏出水面高2.2米，

回該貨船頂端與圓心距離CH=2.2+9.3=11.5,

根據(jù)勾股定理可得：EH=JCEZ-CH?=2底，

團(tuán)EF=2EH=4巫>9,

團(tuán)船體在圓弧的拱頂正下方能順利通過(guò).

問(wèn)題3：以橋拱的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

根據(jù)題意可得：A（-10,-5）,B（10,-5）,

設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=ax2,

把A(-10,-5)代入得：—5=100<7,

解得：a=~,

問(wèn)題4：回該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面不小于1m,燈籠長(zhǎng)40cm=0.4m,

團(tuán)懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)yN-5+L8+l+0.4=-L8,

即懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小為-1.8,

把y=-L8代入丁=一/得：

-1.8---x2,

20

解得：x=±6,

0回懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為-6WxV6；

方案一：從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛，

回相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為L(zhǎng)6m,[6-(-6)]+1.6=7.5,

團(tuán)從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛，共可掛7盞燈籠，

最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)為—x(-L6)=-4.8:

方案二：從對(duì)稱軸兩側(cè)開(kāi)始懸掛，正中間兩盞與對(duì)稱軸的距離均為0.8m,

(6-0.8)4-1.6=3.25,

團(tuán)可以掛3x(3+l)=8(盞)，

最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-0.8-3x1.6=-56

20.綜合探究

幾何探究是培養(yǎng)推理能力、幾何直觀和創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑.解決幾何綜合探究問(wèn)題，往往需要運(yùn)用從特

殊到一般、化靜為動(dòng)、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想方法.

【問(wèn)題情境】

分別以VABC的兩邊AC和為邊作正方形ACDE和BC/G,連接。尸，探究A8與。尸之間的關(guān)系.

【初步感知】

(1)如圖1,若NACB=90。，直接寫(xiě)出AB與。F之間的關(guān)系；

【深入探究】

(2)①在圖2中，與。尸之間有怎樣的關(guān)系？說(shuō)明理由；②改變點(diǎn)B的位置，畫(huà)出異于前面兩種情況

的圖形，判斷與OF之間的關(guān)系是否依然成立？

【拓展延伸】

(3)如圖3,連接AF,50,過(guò)點(diǎn)。作CH,A尸，垂足為點(diǎn)H,CH的延長(zhǎng)線交3。于點(diǎn)求證：BM=DM.

【答案】(1)AB=DF,ABLDF-,(2)@AB=DF,AB±DF,理由見(jiàn)解析；②48與O尸之間的關(guān)系

仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）如圖所示