2025年中考數(shù)學熱點題型：動點問題（含答案）

2025年中卷數(shù)學熱點題型:就點問題

目錄

類型一動點問題的函數(shù)圖象.......................................................2

類型二動點問題的函數(shù)關系.......................................................4

類型三動點與全等三角冊或相似三角形的存在性.....................................6

類型四等腰三角舫的存在性.......................................................7

類型五動點與平行四邊形及特殊平行四邊形的存在性.................................8

類型六動點與最值問題..........................................................10

類型七求動點所經(jīng)過的珞徑長....................................................11

2024中考真題動點問題精煉......................................................12

類型一動點問題的函數(shù)圖象

1.（2024-昆山市一模）如圖①，點4、口是。。上兩定點，圓上一動點P從圓上一定點B出發(fā)，沿逆時針

方向勻速運動到點A,運動時間是c（s），線段AP的長度是灰cm）.圖②是,隨力變化的關系圖象，則

gl14

A.著B.4V2C.5D.號

/O

【舉一反三演練】

2.（2024秋?宜興市月考）如圖①，8。是菱形4BCD的對角線，4D<8。,動點P從菱形的某個頂點出

發(fā),沿相鄰的兩條線段以lcm/s的速度勻速運動到另一個頂點，在運動過程中，CP的長g（cm）隨時間

t（s）變化的函數(shù)圖象如圖②所示，則菱形/BCD的周長為（）

A.12cmB.16cmC.20cmD.24cm

3.（2024秋?工業(yè)園區(qū)月考）如圖1,在菱形4BCD中，60°,連接BD,點河從B出發(fā)沿石。方向

以V3cm/s的速度運動至。，同時點N從8出發(fā)沿8c方向以1cm久的速度運動至C,設運動時間為

t（s）,的面積為夕（cn?）.4與比的函數(shù)圖象如圖2所示,則菱形ABCD的邊長為（）

A.2V2cmB.4V2cmC.4cmD.8cm

4.（2024秋?江陰市期末）如圖，放△ABC中，ZC=90°,5,AC=4,。是邊AC上一動點（不與

???

A,。兩點重合），沿A-C的路徑移動，過點。作ED，AC,交于點瓦將ZVIDE沿直線DE折疊

得到△40E.若設AD=x,/\A'DE與△ABC重疊部分的面積為9，則下列圖象能大致反映"與必之

間函數(shù)關系的是（）

Bz

5.（2024秋?崇川區(qū)月考）如圖1,在菱形483中，對角線4。，8。父于點0,/水汨=60°,AM=AN

=!AB=1,點P沿AD從點B勻速運動到點D.設點P的運動時間為①，PM+PN="，圖2是點

P運動時夕隨步變化的函數(shù)關系圖象，則圖2中最低點的縱坐標a的值為（）

A.2V3B.yC.V7D.3

6.（2025春?南通月考）如圖1,等腰中，/C=90°,AB=4,點。從點B出發(fā)，沿8-C-8方向

運動，0E，AB于點E,ADEB的面積隨著點D的運動形成的函數(shù)圖象（拐點左右兩段都是拋物線

的一部分）如圖2所示，以下判斷正確的是（）

c

A.函數(shù)圖象上點的橫坐標表示Z汨的長

B.當點。為的中點時，點E為線段A8的三等分點

C.兩段拋物線的開口大小不一樣

D.圖象上點的橫坐標為3時，縱坐標為目

類型二動點問題的函數(shù)關系

7.（2025春?南通月考）如圖1,正方形ABCD的邊長為2方，對角線/。，8。交于點。，點P從點A出

發(fā),沿線段AO-OB運動，點P到達點B時停止運動.若點P運動的路程為T,/\DPC的面積為y,

探究？/與①的函數(shù)關系.

（1）1與9的兩組對應值如表，則m=；

X0m(mW0)

ynn

（2）當點P在線段AO上運動時，“關于力的函數(shù)解析式為y=-x+4（0W刀＜2）.當點P在線段OB

上運動時，U關于比的函數(shù)解析式為，此時，自變量的取值范圍是

（3）①在圖2中畫出函數(shù)圖象;

②若直線y=~x+b與此函數(shù)圖象只有一個公共點,則b的取值范圍是

5---1---r--1---r

4—:---”一：一一：

2………-……--+

1

A1B

012345%

圖1圖2

???

【舉一反三演練】

8.（2025春?東臺市月考）如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊49在①軸上,點A在原點，AB

=3,AD=5.若矩形以每秒2個單位長度沿c軸正方向做勻速運動.同時點P從A點出發(fā)以每秒1

個單位長度沿A-B-C-D的路線做勻速運動.當P點運動到。點時停止運動，矩形也隨

之停止運動.

（1）求P點從A點運動到。點所需的時間；

（2）設P點運動時間為力（秒）.

①當￡=5時,求出點P的坐標；

②若△OAP的面積為s,試求出s與t之間的函數(shù)關系式（并寫出相應的自變量t的取值范圍）.

類型三動點與全等三角形或相似三角形的存在性

9.（2024秋?梁溪區(qū)月考）已知48=10,47=6,口。=8,其中NC4B=/DBA=a，點P以每秒2個單

位長度的速度，沿著C-4-B路徑運動.同時，點Q以每秒①個單位長度的速度，沿著0-B/

路徑運動，一個點到達終點后另一個點隨即停止運動.它們的運動時間為t秒.

①若①=1,則點P運動路程始終是點Q運動路程的2倍；

②當P、Q兩點同時到達4點時，*=6；

③若a—90°，1=5,①=1時，PC與PQ垂直；

④若△ACP與"PQ全等，則刀=0.8或告.

以上說法正確的選項為（）

A.①③B.①②③C.①②④D.①②③④

【舉一反三演練】

10.（2023春?萊州市期末）△ABC中，AB=AC,ABAC=90°,P為上的動點，小慧拿含45°角的透明

三角板，使45°角的頂點落在點尸，三角板可繞尸點旋轉.

（1）如圖a,當三角板的兩邊分別交48、AC于點E、尸時.求證：?△CFP；

（2）將三角板繞點P旋轉到圖b情形時，三角板的兩邊分別交A4的延長線、邊/。于點E、斤.

與△CFP還相似嗎？（只需寫出結論）

（3）在（2）的條件下，連接班，△跳汨與△FFE是否相似？若不相似，則動點P運動到什么位置時,

與△PFE相似？說明理由.

類型四等腰三角形的存在性

11.（2024秋?高郵市期中）如圖，已知△ABC中，/_B=90°,AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC邊

上的兩個動點，其中點N從點A開始沿方向運動，且速度為2cm/s，點M從點B開始沿B-C

一人方向運動，且速度為4cm/s，它們同時出發(fā),設運動的時間為ts.

⑴出發(fā)2s后，求MN的長；

（2）當點M在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒鐘，是等腰三角形？

（3）當點雙在邊GA上運動時,求能使成為等腰三角形的t的值.

?M

類型五動點與平行四邊冊及特殊平行四邊冊的存在性

12.（2025春?鹽城月考）如圖，在矩形ABC?中，=4cm,BC=8cm,點P從點。出發(fā)向點人運動，運

動到點A即停止；同時點Q從點B出發(fā)向點。運動，運動到點C即停止.點P、Q的速度的速度都是

Icm/s,連接PQ,AQ,CP,設點P、Q運動的時間為t（s）.

（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形？

（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形？

（3）分別求出（2）中菱形AQCF的周長和面積.

?M

【舉一反三演練】

13.（2024春?鎮(zhèn)江期中）如圖,在平行四邊形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,點尸在4D邊上以每秒

1cm的速度從點入向點O運動，點Q在8C邊上以每秒2.5cm的速度從點。出發(fā)，在間往返運

動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點。時停止運動，同時點Q也停止運動.設運動時間為ts,開始運

動以后，當t為何值時，以為頂點的四邊形是平行四邊形？（）

BQ+C

A.fB.fC拶或平D.坐或半

14.（2025春?高新區(qū)月考）如圖，在直角梯形ABCD中，AB〃CD,/BCD=90°,AB=AD=10cm,BC

=8cm.點尸從點人出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運動，點Q從點。出發(fā)，以每秒

2cm的速度沿線段。。方向向點C運動.已知動點P、Q同時出發(fā)，當點Q運動到點。時，P、Q運動

停止，設運動時間為九

⑴求CD的長；

（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；

（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm2?若存在，請求出所

有滿足條件的力的值;若不存在,請說明理由.

類型六動點與最值問題

15.（2024秋?沛縣期中）如圖，在△ABC中，NA=90°,43=6,47=8,BC=10,CD平分/BCA交

AB于點D,點P,Q分別是CD,AC上的動點，連接AP,PQ,則4P+PQ的最小值是（）

A.6B.5C.4.8D.4

【舉一反三演練】

16.（2022秋?如東縣期末）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF=b,點。在上,

連接AD,在AD的右側作等邊△4DE,連接即，則△AEF周長的最小值是（）

17.（2020秋?常州期中）已知0O的半徑為2,4為圓上一定點，。為圓上一動點，以AP為邊作等腰

Rt/\APG,P點在圓上運動一周的過程中,OG的最大值為.

18.（2023?崇川區(qū)三模）如圖,邊長為a的等邊△4BC中，B尸是AC上中線，點。是線段BF上的動點，連

接AD,在AD的右側作等邊△4DE,連接BE,則AE+BE的最小值是（）

C.V5aD.V3a

19.（2023-張家港市模擬）如圖，48是。O的直徑，點。在。O上，CD，AB,垂足為。，AD=2,^E

是。。上的動點（不與C重合），點歹為CE的中點，若在E運動過程中DF的最大值為4,則CD的值

A.2V3B.2V2C.3V2D.三

類型七求動點所經(jīng)過的路徑長

20.（2025?淮安一模）如圖，A（—1,1）,B（—1,4）,。（一5,4）,點P是△ABC邊上一動點，連接OP,以OP

為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ.當點尸在△ABC邊上運動一周時，點Q運動的路徑長為

21.（2024-東?？h模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2,將長為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的

兩邊上同時滑動、如果Q點從4點出發(fā)，沿圖中所示方向按人=>8=。3。=>人滑動到人止，同時點

R從B點出發(fā)，沿圖中所示方向按口滑動到口止，在這個過程中，線段QR的中點

M所經(jīng)過的路線的長為

22.（2024秋?高郵市月考）如圖,在矩形ABCD中，AB=1,AD=",點P在線段8C上從點B出發(fā)向

點。運動，同時點Q在線段AD上以相同速度從點。出發(fā)向點A運動，過點人作AMA.PQ交直線

PQ于點河,當點P從點B運動到點。的過程中，點河的運動路徑長是

2024中考真題動點問題精煉

23.（2024,蘭州）如圖1,在菱形ABCD中，ZABC=60°,連接BD,點M從B出發(fā)沿8。方向以V3cm/s

的速度運動至。，同時點N從口出發(fā)沿方向以lcm/s的速度運動至。，設運動時間為c（s）,

的面積為"（cm?）."與多的函數(shù)圖象如圖2所示,則菱形的邊長為（）

24.（2024?蘇州）如圖，矩形ABCD中，48=《，6。=1,動點后，尸分別從點A,。同時出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿AB,CD向終點口，。運動，過點E,尸作直線Z,過點A作直線I的垂線，垂足為

C.2D.1

25.（2024-甘肅）如圖1,動點尸從菱形的點A出發(fā)，沿邊AB-勻速運動，運動到點。時停止.

設點P的運動路程為工，PO的長為沙，沙與土的函數(shù)圖象如圖2所示，當點P運動到中點時，PO

的長為（）

D.2V2

26.（2024-長沙）如圖,在菱形ABCD中，48=6,=30°,點E是邊上的動點,連接AE,DE，過點

A作人尸，DE于點尸.設。E=*,A尸=",則"與①之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量力的取值范

圍）（）

B.yD.1

XX

27.（2024?綿陽）如圖,在邊長為2的正六邊形ABCDEF中,連接BE,點H在BE上運動，點G為石尸的中

點，當△AGH的周長最小時，（）

28.（2024-自貢）如圖，在中，/B=60°,4B=6cm,BC=12cm.點P從點？1出發(fā)，以Icm/s的

速度沿A一。運動，同時點Q從點。出發(fā)，以3cm入的速度沿CTBTCT…往復運動，當點P到達

端點。時，點Q隨之停止運動.在此運動過程中，線段PQ=CD出現(xiàn)的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

29.（2024?瀘州）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E,尸分別是邊AB,口。上的動點，且滿足

=BF,人尸與交于點。，點M是DF的中點，G是邊AB上的點,AG=2GB,則OAf+^FG的最

小值是（）

AEGB

D.10

30.（2024?樂山）如圖，在菱形ABCD中，AABC=60°,AB=1,點P是邊上一個動點，在8。延長線

上找一點Q,使得點P和點Q關于點。對稱，連結OP、閣交于點河.當點P從口點運動到。點時,

點河的運動路徑長為（）

--------彳D

/\M/7

PcQ

A/3

D.V3

3

二.填空題（共8小題）

31.（2024-甘南州）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā),按向上，向右，向下，向右的方向不

斷地移動，每移動一個單位,得至！J點4（0,1），4（1,1）,4（1,0）,4（2,0）,…那么點A2020的坐標為

A5AA|（）

0A

32.（2024-廣東）如圖，菱形ABCD的面積為24,點E是AB的中點，點尸是8。上的動點.若4BEF的

面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

33.（2024-內(nèi)江）如圖，在△4BC中，ZABC=60°,BC=8,E是邊上一點，且2,點/是△ABC

的內(nèi)心，皮的延長線交AC于點。，P是上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值為

34.（2024?涼山州）如圖，。河的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線9=力+4上的一個動點，過點P作

的切線，切點為Q,則PQ的最小值為.

35.（2024-揚州）如圖，已知兩條平行線為，點人是。上的定點，L于點點。分別是15上

的動點，且滿足AC=BD,連接CD交線段AB于點E,，CD于點H,則當最大時，

sin/R4H的值為

36.（2024-宜賓）如圖，在平行四邊形ABCD中，48=2,4D=4,E、尸分別是邊CD、4D上的動點，且

CE=DF.當AB+CF的值最小時，則CE=

37.（2024-宜賓）如圖，正方形ABCD的邊長為1,M、N是邊BC、CD上的動點.若/MAN=45°,則

的最小值為

15

DNC

38.（2024-廣安）如圖，在。ABCD中，48=4,AD=5,乙4BC=30°,點M為直線8c上一動點，則AM

+MD的最小值為.

三.解答題（共6小題）

39.（2024?威海）如圖，在菱形ABCD中，48=10cm,AABC=60°,E為對角線AC上一動點，以DE為

一邊作ZDEF=60°,EF交射線BC于息F,連接BE,DF.點E從點。出發(fā)，沿CA方向以每秒2cm

的速度運動至點人處停止.設的面積為ycn?,點E的運動時間為力秒.

（1）求證：=

（2）求夕與c的函數(shù)表達式，并寫出自變量力的取值范圍；

（3）求T為何值時，線段DF的長度最短.

備用圖

?M

40.（2024-黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形OAR的邊08在a;軸上，點人在第一象限，

OA的長度是一元二次方程d—5c—6=0的根，動點P從點。出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折

線04—48運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線OB-BA運動，P、Q兩點

同時出發(fā)，相遇時停止運動.設運動時間為t秒（0<1<3.6）,/\0。0的面積為$.

（1）求點A的坐標；

（2）求S與力的函數(shù)關系式；

（3）在（2）的條件下，當S=時，點朋?在y軸上,坐標平面內(nèi)是否存在點N,使得以點O、P、M、N

為頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標;若不存在，說明理由.

41.（2024-無錫）如圖，為半圓O的直徑，1,為半圓O的切線，點。為上的一個動點,

連接AC交半圓。于點。，作8M于點屏

（1）當點。關于AC的對稱點O'恰好在半圓上時，求8。的長；

（2）設。E=4，CE=n，求y關于x的函數(shù)表達式.

???

42.（2024?蘭州）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景.探究動點運動的幾何問題.如圖，在

△4BC中，點N分別為AB,AC上的動點（不含端點），且4V

【初步嘗試】⑴如圖1,當△ABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn):將繞點M逆時針旋轉120°得到

MD,連接,則MN=DB,請思考并證明；

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M一步探究:如圖2,在△ABC中，=AC,乙艮4。=

90°,AE±MN于點E,交于點F,將M4繞點/逆時針旋轉90°得到MD,連接DA,DB.試猜想

四邊形AFBD的形狀，并說明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在△ABC中，4B=AC=4,/R4C=90°,連接

BN,CM,請直接寫出目V+CA1的最小值.

?M

43.（2024?吉林）如圖，在△ABC中，ZC=90°,/8=30°,AC=3cm,4D是△ABC的角平分線.動點

P從點A出發(fā)，以V3cm/s的速度沿折線AD-DB向終點B運動.過點P作PQHAB,交47于點

Q,以PQ為邊作等邊三角形PQE,且點C,E在PQ同側.設點P的運動時間為i（s）（t>0）,APQE

與△46。重合部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）當點P在線段AD上運動時,判斷XAPQ的形狀（不必證明）,并直接寫出狗的長（用含力的代數(shù)

式表示）.

（2）當點E與點。重合時，求t的值.

（3）求S關于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量力的取值范圍.

44.（2024?河北）已知。。的半徑為3,弦M2V=2A4BC中，/ABC=90°,48=3,BC=32.在

平面上，先將△A6C和。。按圖1位置擺放（點6與點N重合，點A在。。上，點。在。。內(nèi)），隨后

移動△ABC,使點B在弦MN上移動,點A始終在0O上隨之移動.設BN=x.

（1）當點口與點N重合時，求劣弧粉的長；

（2）當OA//時，如圖2,求點B到OA的距離，并求此時力的值；

（3）設點。到BC的距離為d.

①當點A在劣弧加上，且過點人的切線與AC垂直時，求d的值；

②直接寫出d的最小值.

圖1圖2備用圖

2025年中卷數(shù)學熱點題型:就點問題

目錄

類型一動點問題的函數(shù)圖象.......................................................2

類型二動點問題的函數(shù)關系.......................................................8

類型三動點與全等三角冊或相似三角形的存在性....................................12

類型四等腰三角舫的存在性......................................................14

類型五動點與平行四邊形及特殊平行四邊形的存在性................................16

類型六動點與最值問題..........................................................19

類型七求動點所經(jīng)過的珞徑長....................................................23

2024中考真題動點問題精煉......................................................26

類型一動點問題的函數(shù)圖象

1.(2024-昆山市一模)如圖①，點4、口是。。上兩定點，圓上一動點P從圓上一定點B出發(fā)，沿逆時針

方向勻速運動到點A,運動時間是c(s)，線段AP的長度是灰cm).圖②是,隨力變化的關系圖象，則

圖中山的值是()

圖①圖②

9

AB.4V2C.5

2

【思珞引領】從圖2看，當2=2時，夕=AP=6,即此時40、P三點共線，則圓的半徑為口。=3,當工

=0時，由勾股定理逆定理可知，OA±OB,則點P從點B走到4、O、P三點共線的位置時，此時力=2,走

過的角度為90°,可求出點P運動的速度，當t=時，AP=OA=OB,即△OAP是等邊三角形，進而求

解.

【完整解答】解:從圖2看，當;r=2時，沙=AP=6,即此時力、O、P三點共線，

則圓的半徑為；AP=3,

當力=0時，OB2+O^=AP\

AOAB是直角三角形，且。4_LOB,

則點P從點B走到4O、P三點共線的位置時，如圖所示,

圖①

此時力=2,走過的角度為90°,則走過的弧長為x2兀xr=

?,?點P的運動速度是4-2=(cm/s),

當力=m，時，4P=04=OB,即是等邊三角形，

???ZAOF=60°,

??.ZBOF=360°-90°-60°=210°,

此時點P走過的弧長為：會與X2兀xr=-^~,

3602

._7兀.3兀_14

一館一5"丁丁一號'???

故選：D.

【總結提升】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關鍵是:弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系.

【舉一反三演練】

2.(2024秋?宜興市月考)如圖①，6。是菱形ABC?的對角線，動點P從菱形的某個頂點出

發(fā),沿相鄰的兩條線段以Icm/s的速度勻速運動到另一個頂點，在運動過程中，CP的長沙(cm)隨時間

t(s)變化的函數(shù)圖象如圖②所示，則菱形ABCD的周長為()

A.12cmB.16cmC.20cmD.24cm

【思珞引用□由圖②得，P應從點A出發(fā)延AB運動到點B,再運動到點。，或從點出發(fā)延AD運動到點

。，再運動到點B,設點P應從點A出發(fā)延AB運動到點B,再運動到點D,連接AC交BD于點O,根據(jù)點

P的位置，求出AC=8cm,AB=acm,BD=a+l(cm),根據(jù)菱形性質(zhì)求出OA=4cm,OB=a~^cm,

再根據(jù)勾股定理求出a,即可解答.

【克整解答】解：由圖②得，當0〈力時，沙在減小，

當&＜力&2￡1+1時，"先變小后變大，

/.判斷點P應從點4出發(fā)延AB運動到點B,再運動到點D,

或從點4出發(fā)延4D運動到點。，再運動到點B,

設點P應從點A出發(fā)延AB運動到點B,再運動到點D,

如圖，連接AC交BD于點。，

?.?四邊形為菱形，

/.AC±BD,OA^OC,OB=OD,

當點P位于點＞1處時，9=8,即AC—8cm,

/.OA=4

當點P位于點B處時，cc=a,即AB=acm,

當點P位于點。處時，re=2a+1,即BD=a+l(cm),

OB=cm,

???在Rt^OAB中，0^2+OA2=AB2，即42+)2=。2,

電=5,電=一與(舍去)，

0

:.AB—5cm,

???菱形ABCD的周長為5X4=20cm.

故選：C.

【總件提升】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，準確的分析動點的運動位置，獲得相應的解題條件是本題的

解題關鍵.

3.（2024秋?工業(yè)園區(qū)月考）如圖1,在菱形ABCD中，60°,連接8。,點河從E出發(fā)沿8。方向

以V3cm/s的速度運動至。，同時點N從8出發(fā)沿8。方向以IcmZs的速度運動至。，設運動時間為

的函數(shù)圖象如圖2所示,則菱形A8CD的邊長為（）

A.2V2cmB.4V2cmC.4cmD.8cm

【思庵引蜀（】根據(jù)題意可知，BN=a;cm,BM=Vixcm,結合菱形的性質(zhì)得30°,過點M作A/H

于點〃，則cm,那么9=卓/2；設菱形的邊長為&cm,則=cm,那么點M和

點N同時到達點D和點。，此時4BMN的面積達到最大值4V3，利用最大值即可求得/，即可知菱形的邊

長a.

【完筌解答J解:根據(jù)題意可知，BN—xcm,BM—cm,

???四邊形ABCD為菱形，/ABC=60°,

??.ZDBC=30°,

過點M作MH于點8,連接交石。于O,如圖，

則MH=BMxsin/MBH=力(cm),

2

V3

V—SABMN=gBN?MH=j;2(cm2),

4

設菱形的邊長為acm,

BD=2BO=2BSOBC=2xax乎=V3a（cm）,

.?.點河和點N同時到達點D和點C,此時△BMN的面積達到最大值4V3,

-^-a;2=4V3,

解得2=4（負值舍去）,

.?.BC=4,

故選：C.

【總偌提升】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì),關鍵是根據(jù)圖象得出4BMN

的面積達到最大值4班時，河，N的位置.

4.（2024秋?江陰市期末）如圖，五必48。中，ZC=90°,AB=5,4。=4,。是邊AC上一動點（不與

A,。兩點重合），沿A-。的路徑移動，過點。作ED_LAC,交48于點E,將△4DE沿直線折疊

得至（J4ADE.若設AD=孫△4L?與△ABC重疊部分的面積為y,則下列圖象能大致反映g與力之

間函數(shù)關系的是（）

Bz

【思瑋?引勒□分04/&2和2〈力44兩種情況，利用三角形相似分別求出OS和CF,然后由三角形和梯形

的面積公式分別求出g與力的函數(shù)解析式即可.

【完整解答】解:①當04力42時，MADE與△48。重疊部分的面積為4ADE的面積，

在Rt/XABC中，/。=90°,46=5,AC=4f

??.BC=y/AB2-AC2=V52-42=3,

???/.EDA=ABCA,ZA=ZA,

MBCA?/\EDA,

.BC=AC

9,^E~~AD9

即旦二2，

DE力，

：.DE=-^-x,

/XADE沿直線Z）E折疊得到AA'DE,

A'D^AD^x,

2

y=SAADE=春4。?￡K=9如系2=^-x,

??旦〉0

,8，

拋物線開口向上，當力＞0時，g隨力的增大而增大，

/.當力=2時，g有最大值，最大值為y,

故排除A,C;

②當2V/W4時，4位置如圖所示：

此時4E與相交于尸，

VArD=AD=x,CD=AC-AD=4：-x,

??.ArC=AfD-CD=2T-4,

???/4=ZA,/LA!CF=AACB=90°,

???叢A'CF?叢ACB,

.A!C=CF

「AC~CB9

紅二1二查

43，

:,CF=3:6,

:?n=S梯形FCDE=f（CF+DE）?CD=gx（3%6+■力）義（4—/）=一■^-X2+6T—6=一■^（力一號）+2,

Q

——V0,2V/44,

o

/.當力=~|~時，g有最大值，最大值為2,

o

綜上所述，圖象過（2,?）和2）兩點，且兩端圖象先開口向上，再開口向下，

ZO

故選：D.

【總終提升】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及對折變換，二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，關鍵是確定出"與7的函數(shù)解析式.

5.（2024秋?崇川區(qū)月考）如圖1,在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點。，乙4CB=60°,AM=AN

=^-AB=1,點、P沿BD從點B勻速運動到點D.設點P的運動時間為①，PM+PN="圖2是點

O

P運動時“隨力變化的函數(shù)關系圖象，則圖2中最低點的縱坐標a的值為（）

A.2V3B.-y-C.V7D.3

［思庵引南□作點N關于BD的對稱點M,連接W交于點P,連接NN\PN「MN,由爰形的性質(zhì)可

知，點N與點N'關于BD對稱，根據(jù)兩點之間線段最短可知，當初、P、N，三點共線時，PM+PN的最小值

為W,在用/出。。中，解直角三角形可得咨，OC=告，于是80=3庖47=3,易證AAMV

?AABD,△￡?ACV,?△A4C,由相似三角形的性質(zhì)分別求出MN和NN',易知MN//BD，則AMNN，為直

角三角形.再根據(jù)勾股定理即可求解.

【完筌解答J解:如圖，作點N關于的對稱點N1連接W交BD于點P,連接MV'PAT,MN,

■：四邊形ABCD為菱形，

.?.點M在CD上，AC±BD,

.?.BD垂直平分NN，，

：.PN=PN',NN'//AC,

PM+PN=PM+PN',

：.當_M、P、N'三點共線時，PM+PN的最小值為W

在Rt^BCO中，BO=BC-sinAOCB=3x乎=-,OC=BC-cosAOCB=3Xy=-1,

:.BD=2BO=3V3,AC=2OC=3,

AM=AN=^-AB=1,

o

.AM_AN_1DN=2

"ABAD-J'AD-3",

,:NMAN=ABAD,MN//BD,

：.AAMN?&ABD,

.AM=MN=1_即MLJ

"ABBD3；13V33，

MN=V3,

■：NN'//AC,

:.4DNN'?4DAC,

，PN=NNL=^即駕=2

"ADAC3'33'

/.NN'=2,

?：MN//BD,NN'±BD,

：.MN±NN',即ZMNN'=90°,

在Rt^MNN'中,MN'=y/MN^+NN'2=V（3）2+22=V7,

.?.「河+印的最小值為"，即&=。.

故選：C.

【總結梃升】本題主要考查動點函數(shù)問題、兩點之間線段最短、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理，正確理解題意，學會利用模型思想解決問題是解題關鍵.

6.（2025春?南通月考）如圖1,等腰RtABC中，NC=90°,AB=4,點。從點B出發(fā)，沿C-A方向

運動，DE_LAB于前E,ADEB的面積隨著點D的運動形成的函數(shù)圖象（拐點左右兩段都是拋物線

的一部分）如圖2所示，以下判斷正確的是（）

A.函數(shù)圖象上點的橫坐標表示Z汨的長

B.當點。為的中點時，點E為線段A8的三等分點

C.兩段拋物線的開口大小不一樣

D.圖象上點的橫坐標為3時，縱坐標為目

【思鬲■引用□當點。運動到點。處時，c=2,故判斷4錯誤；求出BE=1,判斷B錯誤；求出當點。在BC上

和點。在上時的函數(shù)關系式，比較a值的絕對值，判斷。錯誤;把2=3,代入關系式求出y值，確定。

正確.

【完祭解答】解:A.：AC=BC,/C=90°,AB=4,，當點。運動到點。處時，c=2,.?.函數(shù)

圖象上點的橫坐標表示不是DB的長，故A錯誤；

B.當點。為的中點時，BD=^-BC=V2,'：ZB=45°,，BE=1,.?.點E為不是線段的三等分

點，故B錯誤;

C.由題意得.?.0<a:W2時，點。在BC上，y=跳>。0=5；1；2,當2<①<4時，點。在AC上,

2

AE=DE=(4-x),：.y=^-BE-DE=-^-x+2x,，兩段拋物線的開口大小一樣，故。錯

、口

沃；

D.把力=3,代入g=―1■力2+2名,得0二,，故。正確.

故選：D.

【總結提升】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，能從圖象中得到有用的條件，并判斷動點位置進行計算是本

題的解題關鍵.

類型二動點問題的函數(shù)關系

7.（2025春?南通月考）如圖1,正方形ABCD的邊長為22,對角線AC,BD交于點O,點P從點A出

發(fā),沿線段AO-OB運動，點P到達點B時停止運動.若點P運動的路程為T,/\DPC的面積為y,

探究,與2的函數(shù)關系.

⑴力與y的兩組對應值如表，則m=4；

X0m(mW0)

ynn

（2）當點P在線段AO上運動時，夕關于t的函數(shù)解析式為y=-x+4（0&cW2）.當點P在線段OB

上運動時，?/關于力的函數(shù)解析式為夕=。，此時，自變量的取值范圍是2W/44；

（3）①在圖2中畫出函數(shù)圖象；?M

②若直線U=+b與此函數(shù)圖象只有一個公共點，則b的取值范圍是b=l或2V6W4

【思路引用□（1）易得當點P在點A處和點B處時，△DPC的面積即y的值是相等的，那么，=nz時，點P

移動到點B處，根據(jù)正方形的性質(zhì)及邊長可判斷出04,OB的長度，相加即為恒的值；

（2）畫出當點P在線段05上運動時的圖形，作PE_LCD于點E,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得PE的長，進而可

得g與力的關系式及力的取值范圍；

（3）①分別求出當力=0時，力=2時，力=4時相應的g的值.進而描點，連線即可；

②分別求出直線y=~^-x+b經(jīng)過函數(shù)圖象三個關鍵點時b的值，進而結合圖象可得直線g力+6與函

數(shù)圖象只有一個公共點時b的取值范圍.

【完筌解答】解：（1）由題意可得：當點P在點人處和點石處時，4DPC的面積即g的值是相等的.

二/二M時，點P移動到點_B處.

???四邊形ABCD是正方形，

??.AC.LBD,OA=OB.

：.ZAOB=90°.

??,正方形ABCD的邊長為2口，

:.OA=OB=2.

/.m=OA+OB=4.

故答案為：4;

（2）當點P在線段08上運動時，即2&力44,如圖.此