冀教版數(shù)學九上《相似三角形的性質(zhì)》導學案

課堂探究能力點1相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用題型導引利用相似三角形的性質(zhì)進行推理計算，如求角和面積等．【例1】如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．分析：(1)由?ABCD的性質(zhì)可得到∠A＝∠C，∠ABF＝∠CEB，容易證出△ABF∽△CEB；(2)觀察圖形可知S四邊形ABCD＝S四邊形BCDF＋S△ABF，而S四邊形BCDF＝S△BCE－S△DEF，因此可以S△DEF＝2為切入點，結(jié)合△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，利用相似三角形面積的比等于相似比的平方，及條件DE＝eq\f(1,2)CD，求出S△ABF，S△BCE，從而求出S四邊形BCDF.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB綉CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝eq\f(1,2)CD∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,EC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四邊形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16.∴S四邊形ABCD＝S四邊形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.規(guī)律總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)求圖形的面積時，可以適當?shù)陌褕D形分割轉(zhuǎn)化為三角形，然后根據(jù)“相似三角形面積的比等于相似比的平方”求解．變式訓練如圖，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M.(1)求證：eq\f(AM,AD)＝eq\f(HG,BC)；(2)求這個矩形EFGH的周長．分析解答分析：(1)利用相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比即可求證，當然，也可以找到兩組比，利用等邊傳遞相似比；(2)設(shè)元，利用合適的相似比列出方程，解方程即可．解：(1)方法一：證明：∵四邊形EFGH為矩形，∴EF∥GH.∴△AHG∽△ABC.又∵AD⊥BC，∴AM⊥HG.∴eq\f(AM,AD)＝eq\f(HG,BC).方法二：證明：∵四邊形EFGH為矩形，∴EF∥GH.∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD.∴eq\f(HG,BC)＝eq\f(AH,AB)，eq\f(AM,AD)＝eq\f(AH,AB).∴eq\f(AM,AD)＝eq\f(HG,BC).(2)由(1)得eq\f(AM,AD)＝eq\f(HG,BC)；設(shè)HE＝x，則HG＝2x，∵AD⊥BC，∴DM＝HE.∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得eq\f(30－x,30)＝eq\f(2x,40)，解得，x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周長為2×(12＋24)＝72(cm)．能力點2利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明等積式題型導引利用相似三角形的性質(zhì)，證明線段的比例式或等積式，進行比例式和乘積式之間的互化．【例2】如圖，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，對角線AC與BD交于點O，AD＝DC，AC＝BD＝AB.求證：OB2＝OD·BD.分析：可證OB＝BC＝CD，所以要證OB2＝OD·BD只需要CD2＝OD·BD即可，即只需要證明△COD相似于△BCD即可．證明：∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD.又∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC.∵AD＝DC，∴BC＝CD.∴∠BDC＝∠DBC.∴∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝α.又∵AC＝BD＝AB，∴∠ABC＝∠ACB＝2α.∵∠COB＝2α＝∠ACB，∴OB＝BC＝CD.在△COD和△BCD中，∠BDC＝∠BDC，∠DCA＝∠CAB＝∠DBC＝α，∴△COD∽△BCD，∴eq\f(CD,OD)＝eq\f(BD,CD).又OB＝BC＝CD，∴OB2＝OD·BD.規(guī)律總結(jié)在利用相似三角形證明線段的比例式或等積式時，注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化，弄清等積式或比例式所涉及的四條線段是在哪兩個三角形中，然后依據(jù)已知條件結(jié)合圖形證明這兩個三角形相似．變式訓練已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點E，且AC⊥BD.(1)求證：CD2＝BC·AD；(2)點F是邊BC上一點，連接AF，與BD相交于點G，如果∠BAF＝∠DBF，求證：eq\f(AG2,AD2)＝eq\f(BG,BD).證明：(1)∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠BCD＝90°.又∵AC⊥BD，∴∠ACD＋∠ACB＝∠CBD＋∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠CBD.∴△ACD∽△DBC.∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BC)，即CD2＝BC·AD.(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF.∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF.∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA.∴eq\f(S△ABG,S△DBA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\