浙江省十校聯(lián)盟2022-2023學年高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

浙江省十校聯(lián)盟2022年10月高三聯(lián)考數(shù)學試題卷考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4．考試結束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合并集的定義作答即可【詳解】故選：C2.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求得復數(shù)z，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念即可求得答案.【詳解】由題意得，，故，故選：D3.展開式中的系數(shù)為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡已知代數(shù)式，利用二項式展開式的通項公式可以求出展開式中的系數(shù)．【詳解】因為，則展開式中含的項為；展開式中含的項為，故的系數(shù)為，故選：C．4.源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀獲得了長足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學實驗提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進行科學實驗．在某次太空旅行中，宇航員們負責的科學實驗要經過5道程序，其中兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（）A.18種 B.36種 C.72種 D.108種【答案】B【解析】【分析】先排兩道程序有種放法，再排剩余的3道程序有種放法，再由分步計數(shù)原理即可得出答案.【詳解】先排兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩個放，共有種放法；再排剩余的3道程序，共有種放法；則共有種放法.故選：B.5.設平面向量，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】將兩邊平方，化簡后即可得，由此即可選出答案.【詳解】因為，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C.6.同時具有以下性質：“①最小正周期是π：②在區(qū)間上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的周期性和單調性逐一分析判斷即可.【詳解】解：對于A，函數(shù)的最小正周期，故A不符合題意；對于B，函數(shù)的最小正周期，當，，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故B符合題意；對于C，函數(shù)的最小正周期，當，，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故C不符題意；對于D，函數(shù)的最小正周期，當，，所以函數(shù)在區(qū)間上不具有單調性，故D不符題意.故選：B.7.已知定義在上的函數(shù)滿足．若函數(shù)與的圖像的交點為，，…，，則（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】A【解析】【分析】由題意可知函數(shù)與都關于點點對稱，則可知，，由此即可得處答案.【詳解】由題意函數(shù)滿足，則函數(shù)關于點點對稱，記，則，則所以函數(shù)也關于點點對稱，則其交點，，…，也關于點點對稱，即，，所以.故選：A8.在中，，．若空間點滿足，則直線與平面所成角的正切的最大值是（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】設，易知點在以為旋轉軸，底面圓半徑為的圓柱上，以所在平面為，建立空間直角坐標，則平面的法向量，設則，記直線與平面所成角為,則，令，利用換元法可得，又，則的最大值為，由此即可求出答案.【詳解】過點作與點，過點作與點，設，則，又，則，則點在以為旋轉軸，底面圓半徑為的圓柱上，如圖所示：以所在平面為，建立空間直角坐標，則平面的法向量為：，，設，則，記直線與平面所成角為,則，因為，所以，令，則，則，，又，在上單調遞減。在上單調遞增，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，又，所以直線與平面所成角的最大值為，此時，故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知甲、乙兩名同學在高三的6次數(shù)學測試成績統(tǒng)計的折線圖如下，則下列說法正確的是（）．A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則C.甲成績的極差大于乙成績的極差D甲成績比乙成績穩(wěn)定【答案】AD【解析】【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，由平均數(shù)的計算公式以及方差的計算公式結合極差的定義對四個選項逐一判斷即可．【詳解】解：由折線圖可知，甲同學除第二次考試成績略低于乙同學，其他次考試成績都高于乙同學，所以，故選項A正確；由折線圖的變化趨勢可知，甲同學的成績比乙同學的成績穩(wěn)定，所以，故選項B錯誤，選項D正確；極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差，所以甲同學成績的極差小于乙同學成績的極差，故選項C錯誤．故選：AD．10.某車間加工同一型號零件，第一、二臺車床加工的零件分別占總數(shù)的40%，60%，各自產品中的次品率分別為6%，5%.記“任取一個零件為第i臺車床加工”為事件，“任取一個零件是次品”為事件B，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)全概率概率公式及條件概率概率公式計算可得；【詳解】解：依題意，，，，故C正確；所以，所以，故A錯誤；因為，所以，故B正確；所以，故D正確；故選：BCD11.如圖，已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，其頂點都在同一球面上，且該球的表面積為，則側棱長為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)球的表面積公式可求得球的半徑；作出截面，設外接球球心為，棱臺底面的中心分別為，分別討論在四邊形內和在四邊形外兩種情況，結合勾股定理可求得棱臺的高，進而可得側棱長.【詳解】正四棱臺的外接球表面積，解得：，即球的半徑為；，，作出截面，設外接球球心為，棱臺底面的中心分別為，若在四邊形內，如下圖所示，，，，，即棱臺側棱長為；若在四邊形外，如下圖所示，，，，，即棱臺側棱長為；綜上所述：側棱長為或.故選：AD.12.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項對直接利用基本不等式即可得證；對于B選項對利用基本不等式可得，由此即可判斷；對于C選項由題意可知，構造函數(shù)，易證函數(shù)在上單調遞增，則可得；對于D選項易證即可得，，則.【詳解】對于A選項：因為，，所以，當且僅當“”，即“”時，等號成立，正確；對于B選項：因為，，所以，當且僅當“”，即“”時，等號成立，所以，錯誤；對于C選項：因為，，且，所以，所以，記，則，易知在上單調遞減，且，所以當時，即函數(shù)在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以，正確；對于D選項：記，則恒成立，且，所以函數(shù)在上單調遞增，又，所以，即當時，，即，因為，，且，所以，所以，又，即，則，所以，正確；故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則．【答案】【解析】【詳解】∵，∴，∴.考點：對數(shù)的計算14.臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險區(qū)的時間為_______小時．【答案】1【解析】【分析】設地東北方向上存在點到的距離為30千米，，結合余弦定理得到，進而結合韋達定理即可求出，從而求出結果.【詳解】設地東北方向上存在點到的距離為30千米，，在中，，故，化簡得，設方程的兩根為，則，，所以，即圖中千米，所以B城市處于危險區(qū)的時間為小時，故答案為：1.15.已知雙曲線恰好滿足下列條件中的兩個：①過點；②漸近線方程為；③離心率．則雙曲線C方程為______．【答案】【解析】【分析】利用漸近線以及離心率的定義，列出方程求解即可.【詳解】若選②③，，得，又，化簡得，可得，不符題意，故選②③錯；若選①③，，得，過點，得，又由，得到，無解，故選①③錯；若選①②，，化簡得，又由且過點，得，解得，故此時，雙曲線C方程為故答案為：16.若對任意，都有（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立，則實數(shù)a的最小值為______．【答案】【解析】【分析】恒成立等價于恒成立，構造函數(shù)，即恒成立，求判斷函數(shù)單調遞增，則有恒成立，即，令，求導求的最大值即可求出的最小值.【詳解】解：因為對任意，恒成立，所以有恒成立；令，即證，則有，所以在上單調遞增，即有在上恒成立，即在上恒成立；令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減；所以，即.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．（1）若，求B的大小；（2）若△ABC不是鈍角三角形，且，求△ABC的面積取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出；（2）先判斷出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面積取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，即.因為A，B，C為△ABC的內角，所以或.因為，所以（不合題意，舍去）.所以，而，所以.【小問2詳解】由（1）可知：或.當時，有，這與△ABC不是鈍角三角形相矛盾，不合題意，舍去；當時，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.而因為，所以（當且僅當時等號成立）.又，所以，所以，即△ABC的面積取值范圍為.18.已知數(shù)列的前n項和為，，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設，記數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用，代入等式，變形后即可得證；（2）由（1）可得，借助即可求出數(shù)列的通項公式，由此即可得出，利用裂項相消，即可求出，即可得證.【小問1詳解】因為當時，，又，所以，即，即，所以數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，當時，，當時，不滿足上式，所以，所以所以數(shù)列的前n項和.19.現(xiàn)將某校高三年級不同分數(shù)段（滿分150分）的學生對數(shù)學感興趣程度進行調查（只有感興趣和不感興趣兩個選項且每人必須選擇其中一項），隨機抽調了50人，各分數(shù)段頻數(shù)（單位：人）及對數(shù)學感興趣人數(shù)如下表：成績頻數(shù)510151055感興趣人數(shù)135745（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“該校高三學生對數(shù)學的興趣程度與成績110分為分界點有關”？成績低于110分成績不低于110分合計感興趣不感興趣合計（2）若在成績?yōu)榉謹?shù)段并且對數(shù)學感興趣的人中隨機選取4人，求成績來自這一分數(shù)段人數(shù)的分布列及數(shù)學期望．附：，．0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認為“該校高三學生對數(shù)學的興趣程度與成績110分為分界點有關”（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，則可計算出，再與7.879比較，即可得出答案；（2）有題意可知的取值可以為：0,1,2,3，分別求出其概率，則可寫出分布列，由期望公式計算出期望.【小問1詳解】由題意2×2列聯(lián)表如下：成績低于110分成績不低于110分合計感興趣91625不感興趣21425合計302050，所以有的把握認為“該校高三學生對數(shù)學的興趣程度與成績110分為分界點有關”；【小問2詳解】成績?yōu)榉謹?shù)段并且對數(shù)學感興趣的有3人，成績?yōu)榉謹?shù)段并且對數(shù)學感興趣的有5人，從中隨機選取4人，成績來自這一分數(shù)段人數(shù)的取值可以為：0,1,2,3，，，，，所以的分布列為：012320.在斜三棱柱中，，，．（1）證明：在底面ABC上的射影是線段BC中點；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)勾股定理可證，結合三線合一可證平面、平面，再根據(jù)線面垂直的性質和判定證明；（2）建系，分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】取的中點，連接由題意可得：，則∴，則∵，則又∵為等邊三角形且為的中點，則，且平面∴平面平面，則又∵且為的中點，則，且平面∴平面平面，則，且平面∴平面即在底面ABC上的射影是線段BC中點M【小問2詳解】如圖，以M為坐標原點建立空間直角坐標系，則可得：∴設平面法向量，則令，則，即平面的法向量∴即平面與平面夾角的余弦值為【點睛】21.如圖，已知拋物線的焦點F，且經過點，．（1）求p和m的值；（2）點M，N在C上，且．過點A作，D為垂足，證明：存在定點Q，使得為定值．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由拋物線定義有求，由在拋物線上求m即可.（2）令，，，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應用韋達定理，根據(jù)及向量垂直的坐標表示列方程，求k、n數(shù)量關系，確定所過定點，再由易知在以為直徑的圓上，即可證結論.【小問1詳解】由拋物線定義知：，則，又在拋物線上，則，可得.小問2詳解】設，，由（1）知：，所以，，又，所以，令直線，聯(lián)立，整理得，且，所以，，則，，綜上，，當時，過定點；當時，過定點，即共線，不合題意；所以直線過定點，又，故在以為直徑的圓上，而中點為，即為定值，得證.22.已知函數(shù)與有相同的最大值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求實數(shù)的值；（2）證明：，都有；（3）若直線與曲線有兩個不同的交點，，求證：