云南省大理州2023−2024學年高二下學期普通高中教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷含答案

/云南省大理州2023?2024學年高二下學期普通高中教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設，則的虛部是（

）A．1 B．-1 C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，已知兩點，點為動點，且直線與的斜率之積為，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．34 B．39 C．42 D．455．若，則（

）A． B． C． D．6．已知向量滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知菱形，將沿對折至，使，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的導數(shù)為，若方程有解，則稱函數(shù)是“T函數(shù)”，則下列函數(shù)中，不能稱為“函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．小華到大理旅游，對于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個景點，下列各事件關(guān)系中正確的是（

）A．事件“至少選擇其中一個景點”與事件“至多選擇其中一個景點”為互斥事件B．事件“兩個景點均未選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件C．事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”為互斥事件D．事件“兩個景點均選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件10．已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于對稱C．的圖象關(guān)于對稱D．在上單調(diào)遞增11．已知為坐標原點，曲線圖象酷似一顆“紅心”（如圖）.對于曲線C，下列結(jié)論正確的是：（

）

A．曲線恰好經(jīng)過6個整點（即橫?縱坐標均為整數(shù)的點）B．曲線上存在一點使得C．曲線上存在一點使得D．曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3三、填空題（本大題共3小題）12．某年級有男生490人，女生510人，為了解學生身高，按性別進行分層，并通過分層隨機抽樣的方法得到樣本容量為100的樣本數(shù)據(jù)，若抽樣時在各層中按比例分配樣本，并得到樣本中男生?女生的平均身高分別為和，在這種情況下，可估計該年級全體學生的平均身高為.13．設分別是橢圓的左?右焦點，過的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為.14．對函數(shù)做如下操作：先在軸找初始點，然后作在點處切線，切線與軸交于點，再作在點處切線，切線與軸交于點，再作在點處切線，依次類推.現(xiàn)已知初始點為，若按上述過程操作，則，所得三角形的面積為.（用含有的代數(shù)式表示）四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角的對邊分別為.(1)求的值；(2)若的面積為，求的周長.16．已知，分別是數(shù)列和的前項和，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.17．如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點，點為線段上一點，.

(1)證明：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，試求的值.18．已知函數(shù)為函數(shù)的極值點.(1)求實數(shù)的值，并求出的極值；(2)若時，關(guān)于的方程有兩個不相等實數(shù)根.=1\*GB3①求實數(shù)的范圍；②求證.19．已知定點，直線，動圓過點且與直線相切，動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線C的方程；(2)若為正數(shù)，圓與曲線只有一個交點，求正數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下所得到半徑最大的圓記為圓，點是曲線上一點，且，過作圓的兩條切線，分別交軸于兩點，求面積的最小值.

參考答案1．【答案】A【分析】化簡求出，根據(jù)虛部概念得解.【詳解】，則的虛部為1．故選A.2．【答案】D【分析】求出兩個集合，后求補集再求交集即可.【詳解】，．令，解得．故，.故選D．3．【答案】D【分析】先設點再根據(jù)斜率公式計算即可.【詳解】設，可得,x不為0，所以.故選D.4．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和即可求解.【詳解】由成等差數(shù)列，則，即，故.故選B.5．【答案】B【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系式化簡已知得的值，再利用二倍角公式求解.【詳解】根據(jù)題意，，即，解得或（舍），所以.故選B.6．【答案】B【分析】首先求出，再將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運算律求出，最后根據(jù)投影向量的定義計算可得.【詳解】因為，所以，又，所以，即，即，所以，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選B.7．【答案】C【分析】證明為二面角的平面角，根據(jù)余弦定理可得，設球的半徑為R，利用勾股定理從而可得外接球的半徑，即可由表面積公式求解．【詳解】如圖，取的中點，連接，

由題意，菱形，所以，所以為二面角的平面角，,,故，所以，因為是邊長為的等邊三角形，則其外接圓的半徑，過點作與平面的垂線，垂足為,則在直線上，且，設球的半徑為，設到平面的距離為，連接，可得，即，解得，所以外接球的表面積為．故選C.8．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，若方程有解，則函數(shù)是“T函數(shù)”，依次判斷選項即可.【詳解】對于A，，則，令，解得：，則函數(shù)是“T函數(shù)”；對于B，，則，令，所以，則在上單調(diào)遞增，，，根據(jù)零點存在定理可得：存在，使得，即方程有解，則函數(shù)是“T函數(shù)”；對于C，，則，因為，則，即方程無解，則不是“T函數(shù)”.對于D，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增；由于，，所以存在，使得，即有解，則函數(shù)是“T函數(shù)”故選C.9．【答案】CD【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案.【詳解】對于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個景點，可能的結(jié)果有：兩個景點都不選擇；選擇一個景點；選擇兩個景點；事件“至少選擇其中一個景點”包括選擇一個景點和選擇兩個景點，事件“至多選擇其中一個景點”包括兩個景點都不選擇和選擇一個景點，所以事件“至少選擇其中一個景點”與事件“至多選擇其中一個景點”兩事件可能同時發(fā)生，A錯誤；事件“兩個景點均未選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”兩事件可能同時發(fā)生，B錯誤；事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”不能同時發(fā)生，C正確；事件“兩個景點均選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”不能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，D正確.故選：CD.10．【答案】BC【分析】對于A，根據(jù)平移可得，再根據(jù)誘導公式求解即可；對于BC，代入表達式求解函數(shù)值即可；對于D，利用整體法即可求解.【詳解】由題意，，對于A，，故A錯誤；對于B，由，故B正確；對于C，由，故C正確；對于D，由，解得，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為（不能再擴大），故D錯誤.故選BC.11．【答案】ABD【分析】通過對曲線方程特點分析，分，，三種情況下，曲線圖象經(jīng)過的點，即可判斷A,B項，對于C項，考慮方程變形后，利用基本不等式即可判斷排除C；對于D項，由A項得到的整點圍成的圖形面積之和即可判斷.【詳解】對于A，當時，代入方程得，，即曲線經(jīng)過點；當時，方程可整理成：，由解得：，又，故只能取1，此時代入方程得，，解得或，即曲線經(jīng)過；由曲線方程的特征易得曲線關(guān)于軸對稱，可知曲線還經(jīng)過，故曲線共經(jīng)過6個整數(shù)點，即A正確；對于B，當時，方程為，，即得或，即曲線經(jīng)過點，此時,故B正確；對于C，當時，由可得，，當且僅當時取等號，解得，即曲線在軸右側(cè)區(qū)域內(nèi)的任意點，都滿足，根據(jù)對稱性，曲線上任意一點到原點距離都不超過，故C錯誤；對于D，

如圖，由上分析知，曲線經(jīng)過點,則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積,即D正確.故選ABD.12．【答案】164.9【分析】由抽樣比例，得到男生人數(shù)和女生人數(shù)，再由分層抽樣的平均值公式計算平均身高.【詳解】通過分層隨機抽樣的方法得到樣本容量為100的樣本數(shù)據(jù)，男生抽取的人數(shù)為，女生抽取的人數(shù)為．樣本中男生?女生的平均身高分別為和，可估計該年級全體學生的平均身高為.故答案為：164.9.13．【答案】【分析】設，則，根據(jù)橢圓定義表示，再根據(jù)勾股定理建立關(guān)系，解得離心率.【詳解】設，則，根據(jù)橢圓定義，因此，，又因為，所以，即，解得，則則在中，，即，所以故答案為：.14．【答案】（也可寫為）.【分析】先得到，求導，根據(jù)導數(shù)幾何意義得到切線方程，求出，，依次求解，得到，，，，從而求出的面積為.【詳解】因為，所以，，故，在處的切線方程為，令得，故，則，故，故，故在處的切線方程為，令得，即，依次類推，，，又，故的面積為.故答案為：，.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角關(guān)系定理化簡即得；（2）利用三角形面積求出的值，再由余弦定理求出的值，即得的周長.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，因,則有，，因，可知，可得.（2）由（1）可知：，則，因為的面積為，可得，由余弦定理可得，解得，，所以的周長為.16．【答案】(1)，(2)【分析】（1）對于，看出為等差數(shù)列，用等差數(shù)列知識求出通項公式即可；對于，化簡變形得到，用等比數(shù)列的知識性質(zhì)解題即可.（2）用錯位相減法解題即可.【詳解】（1）由可知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列由，解得，所以.由，則，兩式相減并整理得：，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，由得，所以.（2）由（1）可得，所以，則，所以，所以．17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用建立空間直角坐標系，用向量法解題，只需要證明即可;（2）建立空間直角坐標系以后，寫出關(guān)鍵點坐標，取出平面的一個法向量，求出平面的一個法向量，運用余弦值為構(gòu)造方程，解出即可.【詳解】（1）因為，則，即，如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，則，又因為，可得，所以.

（2）假設存在，易知平面的一個法向量為因為，設是平面的一個法向量，則，令，可得，可得，則，化簡得，解得或，因為，可得.18．【答案】(1)，極小值為0，無極大值(2)=1\*GB3①；=2\*GB3②證明見解析【分析】（1）先求導函數(shù)，再根據(jù)導數(shù)正負得出單調(diào)性，再求出極值即可；（2）應用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點個數(shù)求參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性證明不等式即可.【詳解】（1）由已知：，依題意：，解得，此時，當時，則單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故是函數(shù)唯一的極小值點，則，無極大值.（2）=1\*GB3①由（1），時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，故.又，則，由方程有兩解可得，=2\*GB3②由題意可知，要證，即證，由于且時單調(diào)遞減即證，由于，即證令所以在單調(diào)遞減，所以，所以成立，所以原命題成立，即成立.19．【答案】(1)(2)(3)8【分析】（1）利用拋物線的定義理解動點軌跡，易得曲線方程；（2）將圓與拋物線方程聯(lián)立消元求出的值，由題意即可求得參數(shù)的范圍；（3）設點，分別求出直線的方程，運用同構(gòu)思想求出和，繼而求得，最后