【素養(yǎng)目標】5.3.1 幾何圖形問題 教案（表格式） 2024-2025學年北師大數(shù)學上冊

3一元一次方程的應(yīng)用第1課時幾何圖形問題教學目標課題第1課時幾何圖形問題授課人素養(yǎng)目標1.能根據(jù)幾何圖形問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，感悟數(shù)學模型的思想。2.通過對幾何圖形問題的解決，體會利用方程解決問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系。3.經(jīng)歷運用方程解決幾何圖形問題的過程，感受數(shù)學與實際的聯(lián)系，加強應(yīng)用意識。教學重點尋找?guī)缀螆D形問題中的等量關(guān)系，建立方程。教學難點抓住幾何圖形變化中的不變量，確定等量關(guān)系。教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設(shè)情境，導入新課設(shè)計意圖借助橡皮泥的變化，激發(fā)學生的學習興趣，引導學生關(guān)注其中的數(shù)量關(guān)系，從而引出本節(jié)課的課題?！厩榫骋搿咳鐖D，用一塊橡皮泥先捏出一個“瘦高”的圓柱，然后再讓這個“瘦高”的圓柱“變矮”，變成一個“矮胖”的圓柱，請思考下列幾個問題：（1）在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化了？還有哪些量改變了？（2）在這個變化過程中，什么量沒有變化呢？接下來這節(jié)課我們就來學習一元一次方程的應(yīng)用。【教學建議】教師可事先準備一塊橡皮泥作為演示道具，指定學生代表回答問題，并帶學生回顧圓柱的體積公式，為后續(xù)學習做準備?；顒佣簡栴}引入，合作探究設(shè)計意圖借助幾何圖形問題，通過分析的方式，培養(yǎng)學生從問題中找等量關(guān)系、抽象出方程模型、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，感受方程模型在解決實際問題中的作用，增強模型觀念與應(yīng)用意識。探究點利用一元一次方程解決幾何圖形問題1.圖形的等積變化問題某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經(jīng)市場調(diào)研決定對該產(chǎn)品外包裝進行改造，計劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?？?）這個問題中包含哪些量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？圓柱形易拉罐改造前后的底面半徑、高、容積。（2）設(shè)新包裝的高度為xcm，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎？（3）根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？設(shè)新包裝的高度為xcm。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：解這個方程，得x=14.52。因此，易拉罐的高度變?yōu)?4.52cm。思考（1）根據(jù)問題列方程時的關(guān)鍵是什么？列方程時，關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系。（2）用方程解決實際問題的基本步驟是什么？理解題意，尋找等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程，解方程，作答。2.圖形的等長變化例（教材P147例1）用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形。（1）如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？（2）如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？此時的長方形與（1）中的長方形相比，面積有什么變化？（3）如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米？正方形的面積與（2）中長方形的面積相比又有什么變化？分析提問：①本題涉及哪些量？鐵絲的長，長方形的長、寬、周長、面積。②如圖，題中圍長方形的過程中有什么沒有發(fā)生變化？③題中有怎樣的等量關(guān)系？等量關(guān)系：（長+寬）×2=周長（周長就是鐵絲的長度）。④如圖，結(jié)合（1）（2）問題意，若設(shè)長方形的寬為xm，則長方形的長可怎么表示？試用含x的代數(shù)式在下面圖中表示出來。（1）（2）解：（1）設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為（x+1.4）m。根據(jù)題意，得2（x+1.4）+2x=10。解這個方程，得x=1.8。1.8+1.4=3.2。此時長方形的長為3.2m，寬為1.8m。（2）設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為（x+0.8）m。根據(jù)題意，得2（x+0.8）+2x=10。解這個方程，得x=2.1。2.1+0.8=2.9。此時長方形的長為2.9m，寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09（m2），（1）中長方形的面積為3.2×1.8=5.76（m2）。此時長方形的面積比（1）中長方形的面積增大6.09-5.76=0.33（m2）。（3）設(shè)正方形的邊長為xm。根據(jù)題意，得4x=10。解這個方程，得x=2.5。正方形的邊長為2.5m，面積為2.5×2.5=6.25（m2），比（2）中長方形的面積增大6.25-6.09=0.16（m2）。思考在上面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量？列方程的思路是什么？與同伴進行交流。所列方程的兩邊分別表示長方形的周長和鐵絲的長度，列方程的思路是先設(shè)一邊長為未知數(shù)，再用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出周長，根據(jù)周長等于鐵絲的長度10m這個等量關(guān)系列出方程。歸納總結(jié)：周長一定的長方形，長和寬的差值越小，長方形的面積越大；當長和寬相等時（即為正方形時），長方形（正方形）的面積最大。周長一定的長方形，長和寬的差值越小，長方形的面積越大；當長和寬相等時（即為正方形時），長方形（正方形）的面積最大?！緦?yīng)訓練】教材P149隨堂練習。【教學建議】指定學生代表回答，教師可沿用活動一中的引入酌情說明，引導學生總結(jié)用方程解決實際問題的基本步驟?！窘虒W建議】教學時可讓學生先分組獨立完成本例，然后請各組代表匯報三個小問題的解答情況，最后組織學生開展討論：解這道題的關(guān)鍵是什么？從解這道題中你有哪些收獲或體驗？鼓勵學生通過獨立思考發(fā)現(xiàn)：圍成的長方形的長和寬在發(fā)生變化，但在圍的過程中，長方形的周長不變，由此便可建立“等量關(guān)系”。指定學生代表回答分析提出的問題，鼓勵學生用不同的方式列出方程?！窘虒W建議】根據(jù)計算，教師引導學生發(fā)現(xiàn)隨著長方形長與寬的變化，長方形的面積也在發(fā)生變化，并引導學生嘗試總結(jié)其中的規(guī)律?；顒尤褐R延伸，鞏固升華設(shè)計意圖通過例題與練習使學生進一步體會從問題中尋找隱含的等量關(guān)系，鞏固提高利用方程解決實際問題的能力。例直徑為30cm、高為50cm的圓柱形瓶里裝滿了飲料，現(xiàn)將飲料倒入底面直徑為10cm的圓柱形水杯，剛好倒?jié)M30杯，則水杯的高度是多少？分析：等量關(guān)系是飲料的體積不變，設(shè)水杯高度為未知數(shù)列方程，求解即可?！緦?yīng)訓練】一個長方形的周長是40cm，若將長減少6cm，寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則長方形的長、寬各為多少厘米？分析：等量關(guān)系是正方形的邊長相等，可設(shè)長為未知數(shù)列方程求解?！窘虒W建議】提醒學生：注意“裝滿”“倒?jié)M”的含義，倒飲料過程中飲料的體積沒有發(fā)生變化，可據(jù)此等量關(guān)系列出方程，還要注意水杯數(shù)量?！窘虒W建議】酌情提醒學生：正方形的邊長相等是隱含的等量關(guān)系。鼓勵學生用不同方式列方程，還可設(shè)寬為未知數(shù)列方程，或者設(shè)正方形的邊長為未知數(shù)根據(jù)周長列方程?；顒铀模赫n堂總結(jié)【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.用方程解決實際問題的基本步驟是什么？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P154～155習題5.3第1，3，4，5題。板書設(shè)計3一元一次方程的應(yīng)用第1課時幾何圖形問題1.等積變化。2.等長變化。教學反思本節(jié)課以橡皮泥的變化作為引入，激發(fā)學生學習興趣，再通過梳理分析問題中的各種量，將思考的過程用填空的形式呈現(xiàn)，讓學生了解運用方程解決實際問題的思路和方法，最重要的是抓住等量關(guān)系，使學生體會方程模型對于解決實際問題的作用，加強模型觀念。后續(xù)通過例題與練習，幫學生掌握用方程解決一般幾何圖形問題，對幾何圖形問題有大致的分類意識，知道如何找到等量關(guān)系列出方程，提高應(yīng)用意識。解題大招一利用去分母解一元一次方程一般幾何圖形問題的大致類別解決方案等體積變形以體積為不變量，用不同方式表示出體積，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解等面積變形以面積為不變量，用不同方式表示出面積，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解等周長變形以周長為不變量，用不同方式表示出周長，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解例（1）有一塊邊長為4cm的正方體形橡皮泥，要用它來捏一個長、寬分別為8cm，2cm的長方體橡皮泥，則它的高為4cm。（2）如圖，小明將一張正方形紙片剪去一個寬為6cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為8cm的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為144cm2。（3）用一根120cm長的鐵絲圍成一個長方形，使該長方形的長是寬的2倍，則這個長方形的長為40cm，寬為20cm?！窘馕觥浚?）設(shè)高為xcm，則43=8×2x。解這個方程，得x=4。故高為4cm。（2）設(shè)正方形的邊長為xcm，則6x=8（x-6）。解這個方程，得x=24。6×24=144。故每一個長條的面積為144cm2。（3）設(shè)寬為xcm，則長為2xcm，2×2x+2x=120。解這個方程，得x=20。2×20=40。故長方形的長為40cm，寬為20cm。培優(yōu)點利用一元一次方程解決拼接圖形問題例如圖，周長為68的長方形ABCD被分成7個相同的小長方形，則長方形ABC