2023~2024學(xué)年安徽高三第二學(xué)期高考數(shù)學(xué)試卷4月帶解析

2023-2024學(xué)年安徽省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.集合，，則（）．A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求出，再根據(jù)交集定義即可求出．【詳解】因?yàn)椋曰?，所以，故選：A．2.已知m，n是正整數(shù)，的展開(kāi)式中x的系數(shù)為7.則展開(kāi)式中的的系數(shù)最小為（）A.8 B.9 C.10 D.11【正確答案】B【分析】由題意可得，求得最大為12，展開(kāi)式中的的系數(shù)為，由此可求得展開(kāi)式中的的系數(shù)的最小值.【詳解】由題意可得,,故最大為12,此時(shí),、一個(gè)為3,另一個(gè)為4.展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.3.某市商品房調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取n名市民，針對(duì)其居住的戶型結(jié)構(gòu)和是否滿意進(jìn)行了調(diào)查，如圖1，被調(diào)查的所有市民中二居室住戶共100戶，所占比例為，四居室住戶占.如圖2，這是用分層抽樣的方法從所有被調(diào)查的市民對(duì)戶型是否滿意的問(wèn)卷中，抽取20%的調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.被調(diào)查的所有市民中四居室住戶共有150戶C.用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有20戶D.用分層抽樣的方法抽取的市民中對(duì)三居室滿意的有10戶【正確答案】D【分析】根據(jù)餅圖、直方圖分析樣本總量及四居室住戶數(shù)，結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)分析二居室、三居室住戶數(shù)及滿意度即可.【詳解】因?yàn)楸徽{(diào)查的所有市民中二居室住戶共100戶，所占比例為，所以，四居室住戶有戶，三居室住戶有200戶，故A，B正確；用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有戶，故C正確；用分層抽樣的方法抽取的市民中對(duì)三居室滿意的有戶，故D錯(cuò)誤.故選：D4.數(shù)列中，，定義：使為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用換底公式與累乘法把化為，然后根據(jù)為整數(shù)，可得，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解．【詳解】解：，，，又為整數(shù)，必須是2的次冪，即．內(nèi)所有的“幸運(yùn)數(shù)”的和：，故選：D．5.中國(guó)茶文化源遠(yuǎn)流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過(guò)后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經(jīng)過(guò)測(cè)量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間能達(dá)到最佳飲用口感？結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組可得答案.【詳解】由題意可得方程組：，化簡(jiǎn)可得：，所以，大約需要放置能達(dá)到最佳飲用口感．故選：B.6.已知圓的半徑為，點(diǎn)滿足，，分別是上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】取的中點(diǎn)為，利用表達(dá)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式計(jì)算，得到，從而得到與反向共線時(shí)取得最小值，當(dāng)與同向共線時(shí)，取得最大值，從而得到取值范圍.【詳解】，設(shè)的中點(diǎn)為，在半徑為的圓中，，得，，，即，當(dāng)與反向共線時(shí)，取得最小值；當(dāng)與同向共線時(shí)，取得最大值；即的取值范圍是；故選：D7.已知函數(shù)，若存在，使得，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)造，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性即可判斷A；由可得，構(gòu)造，對(duì)求導(dǎo)，得出在上單調(diào)遞增，可得即可判斷B；由題意可得，結(jié)合的單調(diào)性可得，可判斷C，D.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，，故，故A錯(cuò)誤；由題意得，所以，因?yàn)?，所以，令，則，且在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，故，故B錯(cuò)誤.又，所以，所以，即，所以，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).8.定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的，都有，，則不等式的解集是A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題目所給條件判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于對(duì)任意的，都有，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，由于函數(shù)是上的偶函數(shù)，故函數(shù)在上遞增，且，由此畫(huà)出函數(shù)大致圖像如下圖所示，由圖可知，不等式的解集是.故選D.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知復(fù)數(shù)、，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則、中至少有個(gè)是D.若且，則【正確答案】ACD【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；利用虛數(shù)不能比較大小可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的三角形式的代數(shù)運(yùn)算結(jié)合反證法可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合C選項(xiàng)可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若、中至少有一個(gè)為虛數(shù)，則、不能比較大小，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，假設(shè)、均不為零，則，，則存在、，使得，，則，因?yàn)?，則、不可能同時(shí)為零，所以，，故假設(shè)不成立，所以，、中至少有一個(gè)為零，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，因?yàn)?，則，由C選項(xiàng)可知，，即，D對(duì).故選：ACD.10.已知定義在上的奇函數(shù)對(duì)任意的有，當(dāng)時(shí)，．函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是周期為4的函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.當(dāng)時(shí)，方程在上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根D.若方程在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則【正確答案】ABC【分析】分析函數(shù)的周期判斷A；確定在區(qū)間上單調(diào)性判斷B；分析的最大值判斷C；由方程有4個(gè)根求出a的范圍判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，，，則，因此函數(shù)是周期為4的函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，由得：，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此函數(shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即方程在上無(wú)解，當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)有，即函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即方程在上無(wú)解，所以當(dāng)時(shí)，方程在上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，C正確；對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而函數(shù)的周期為4，則，，由選項(xiàng)C知，當(dāng)時(shí)，，即方程在上有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即方程在上有一個(gè)根，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，方程在上有兩個(gè)根，要方程在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，必有，即，又，因此當(dāng)時(shí)，方程在上無(wú)解，所以方程在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，如圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長(zhǎng)方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體.已知，則（）A.十面體的上、下底面之間的距離是B.十面體的表面積是C.十面體外接球球心到平面ABE的距離是D.十面體外接球的表面積是【正確答案】ABD【分析】利用勾股定理求得的長(zhǎng)即可判斷選項(xiàng)A；由幾何體的結(jié)構(gòu)特征將側(cè)面積和底面積加起來(lái)即可得出其表面積判斷B；易知長(zhǎng)方體的外接球就是十面體的外接球可求得外接球半徑，計(jì)算可得外接球表面積從而判斷D；根據(jù)十面體外接球球心與外接圓圓心之間的位置關(guān)系，利用勾股定理即可求得其距離，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C.【詳解】由圖2可知，上底面的平面圖如下所示：連接交于點(diǎn)，易知，由勾股定理可得，又因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面，平面，所以，所以，解得，即，所以十面體的上、下底面之間的距離是，即A正確；由，可知的面積為，下底面面積，所以十面體的表面積是，故B正確；因?yàn)槭骟w是將長(zhǎng)方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到的，所以長(zhǎng)方體的外接球就是十面體的外接球；設(shè)十面體的外接球半徑為，則即，所以十面體外接球表面積是，故D正確；由于，所以；設(shè)的外接圓半徑為，則，即，由外接球與平面外接圓之間的關(guān)系可知，十面體外接球球心到平面ABE的距離是，即C錯(cuò)誤；故選：ABD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的周期為4 B.C.在上為單調(diào)遞減函數(shù) D.方程有且僅有四個(gè)不同的解【正確答案】BCD【分析】根據(jù)題意可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱且關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合周期函數(shù)的定義即可判斷A，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合函數(shù)的解析式即可判斷B，判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷D，作出函數(shù)與函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又為偶函數(shù)，所以，即，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，則有，則，所以是以為周期的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞增，又且函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)函數(shù)在上遞增，又因函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，方程根的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖，作出兩函數(shù)的圖象，由圖可知，兩函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有且僅有四個(gè)不同的解，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.中國(guó)書(shū)法一般分為篆書(shū)?隸書(shū)?行書(shū)?楷書(shū)和草書(shū)這5種字體，其中篆書(shū)分大篆和小篆，隸書(shū)分古隸和漢隸，草書(shū)分章草?今草和狂草，行書(shū)分行草和行楷，楷書(shū)分魏碑和唐楷.為了弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某書(shū)法協(xié)會(huì)采用楷書(shū)?隸書(shū)和草書(shū)3種字體書(shū)寫(xiě)6個(gè)福字，其中隸書(shū)字體的福字分別用古隸和漢隸書(shū)寫(xiě)，草書(shū)字體的福字分別用章草?今草和狂草書(shū)寫(xiě)，楷書(shū)字體的福字用唐楷書(shū)寫(xiě).將這6個(gè)福字排成一排，要求相同類型字體的福字不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)__________.【正確答案】120【分析】先排草書(shū)字體的福字，形成4個(gè)空位，利用插空法并結(jié)合分類討論求解即可.【詳解】先將3個(gè)草書(shū)字體的福字排序，共有種排法，形成4個(gè)空位，然后將2個(gè)隸書(shū)和1個(gè)楷書(shū)字體的福字分兩種情況插空：若2個(gè)隸書(shū)和1個(gè)楷書(shū)字體的福字插前3個(gè)空，則有種排法，若2個(gè)隸書(shū)和1個(gè)楷書(shū)字體的福字插后3個(gè)空，則有種排法；若2個(gè)隸書(shū)和1個(gè)楷書(shū)字體的福字插中間的2個(gè)空，其中1個(gè)隸書(shū)和1個(gè)楷書(shū)字體的福字綁定一起插空，則有種排法;則符合要求的排法一共有種.故120.14.著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，其中開(kāi)普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且太陽(yáng)中心處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.記地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道為橢圓，在地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若地球軌道與太陽(yáng)中心的最遠(yuǎn)距離與最近距離之比為，則的離心率為_(kāi)_____【正確答案】【分析】設(shè)橢圓的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為，進(jìn)而得，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為，所以地球軌道與太陽(yáng)中心的最遠(yuǎn)距離為，最近距離為，所以，即，故的離心率為故15.已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是______．【正確答案】【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，可求出當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為，然后根據(jù)在一點(diǎn)處的切線方程的求法，即可求出曲線在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程是，即.故本題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，在一點(diǎn)處的切線方程的求法，同時(shí)考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.16.如圖所示，設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)三角形，為除去后剩下三個(gè)三角形內(nèi)切圓面積之和，求_____.【正確答案】．【分析】第一個(gè)中點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)為，對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓半徑，從而求得，再根據(jù)相似的性質(zhì)可得，依次類推，從而根據(jù)無(wú)窮小數(shù)列即可求解.【詳解】記第一個(gè)中點(diǎn)三角形為正三角形△，則△邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓半徑為，所以，因?yàn)椤髋c△相似，并且相似比是，則面積的比是，所以，因?yàn)檎髋c正△的面積的比也是，所以，……所以．故答案為.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17已知數(shù)列滿足，且)，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的首項(xiàng)即可求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】在數(shù)列中，由得，而，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，因成等差數(shù)列，即，有，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，有，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.設(shè)函數(shù)，若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC外接圓的半徑為R，．（1）若，求B；（2）求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】(1)先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，解出，再用正弦定理解三角形即可；(2)先得出，再利用正弦定理將化為，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出范圍即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得又，所以，解得．又根據(jù)正弦定理，有，，，由，有，得，因?yàn)锳，，所以，∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，因?yàn)?，即，所以，則，，有，所以，所以的取值范圍為．19.2023年3月5日，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在政府工作報(bào)告中指出“著力擴(kuò)大消費(fèi)和有效投資．面對(duì)需求不足甚至出現(xiàn)收縮，推動(dòng)消費(fèi)盡快恢復(fù)．幫扶旅游業(yè)發(fā)展．圍繞補(bǔ)短板、調(diào)結(jié)構(gòu)、增后勁擴(kuò)大有效投資．”某旅游公司為確定接下來(lái)五年的發(fā)展規(guī)劃，對(duì)2013～2022這十年的國(guó)內(nèi)旅客人數(shù)作了初步處理，用和分別表示第年的年份代號(hào)和國(guó)內(nèi)游客人數(shù)（單位：百萬(wàn)人次），得到下面的表格與散點(diǎn)圖．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代碼x12345678910國(guó)內(nèi)游客數(shù)y3262361139904432500055426006287932462530（1）2020年～2022年疫情特殊時(shí)期，旅游業(yè)受到重挫，現(xiàn)剔除這三年的數(shù)據(jù)，再根據(jù)剩余樣本數(shù)據(jù)（，2，3，…，7）建立國(guó)內(nèi)游客人數(shù)關(guān)于年份代號(hào)的一元線性回歸模型；（2）2023年春節(jié)期間旅游市場(chǎng)繁榮火爆，預(yù)計(jì)2023年國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)約4550百萬(wàn)人次，假若2024年～2027年能延續(xù)2013年～2019年的增長(zhǎng)勢(shì)頭，請(qǐng)結(jié)合以上信息預(yù)測(cè)2027年國(guó)內(nèi)游客人數(shù)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：，【正確答案】（1）；（2）6422百萬(wàn)人次.【分析】（1）利用最小二乘法結(jié)合條件可得回歸方程；（2）根據(jù)線性回歸方程，結(jié)合條件即得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，，，所以，，所以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)（，2，3，…，7）建立一元線性回歸模型為；【小問(wèn)2詳解】由可知，年份每增加1年國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)將增加468百萬(wàn)人次，所以預(yù)測(cè)2027年國(guó)內(nèi)游客人數(shù)百萬(wàn)人次.20.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)A.（1）過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）作直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明方程表示什么形狀的曲線.【正確答案】（1）（2），方程表示一條除去了兩點(diǎn)的拋物線【分析】（1）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)建立方程，可解得結(jié)果.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，反映題目條件，得出的方程式，去除不合適的點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由題意，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，所以，不符合題意.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，，，聯(lián)立，得所以所以解得，直線的方程為【小問(wèn)2詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，與軸交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，由題意，則，化簡(jiǎn)得，方程表示一條除去了兩點(diǎn)的拋物線.21.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，與交于點(diǎn)，，，，平面平面，為線段上的一點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）當(dāng)與平面所成的角的正弦值最大時(shí)，求平面