2024-2025學(xué)年浙江省杭州市聯(lián)誼學(xué)校高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1浙江省杭州市聯(lián)誼學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分.）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設(shè).故選：A.2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.為零向量，不能作為基底，A錯(cuò)誤.B.由得，，故，不能作一組基底，B錯(cuò)誤.C.由得為不共線的非零向量，可以作為基底，C正確.D.由得，，故，不能作為一組基底，D錯(cuò)誤.故選：C.3.已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由題設(shè).故選：C.4.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，且為三角形的最大角，所以，則的面積為.故選：D5.已知，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，，所以在上的投影向量為.故選：A.6.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)，∴，∵，∴，即，∴.∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為.故選：B.7.是斜邊上一點(diǎn)，若，則的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，令，由，則，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，則有，即的值是.故選：D.8.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴，，，∴，，，∴.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選，錯(cuò)選得0分.）9.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列正確的是（）A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個(gè)根，則【答案】BC【解析】由題設(shè)，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯(cuò)，B對(duì)；，C對(duì)；若是方程的一個(gè)根，則，，故，D錯(cuò).故選：BC.10.已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序?qū)崝?shù)對(duì)稱(chēng)為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記，則下列命題正確的是（）A.已知，則B.已知，則線段的長(zhǎng)度為1C.已知，則D.已知，則的最大值為【答案】ABD【解析】A：由題設(shè)，所以，對(duì)；B：由題設(shè)，則，對(duì)；C：由題設(shè)，錯(cuò)；D：由題設(shè)，即，由，且時(shí)取等號(hào)，則，故，即時(shí)的最大值為，對(duì).故選：ABD.11.已知銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，下列命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則是等腰三角形C.若，則的取值范圍D.若，則的取值范圍【答案】BCD【解析】由，則，所以，必要性成立，由，又為銳角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要條件，A錯(cuò)；由，又，故，則，又，則或，得或（舍），所以為等腰三角形，B對(duì)；由，又，則，所以，則，故，所以，即，結(jié)合三角形為銳角三角形，可得，故，由，故，C對(duì)；，又，顯然在上單調(diào)遞減，所以，D對(duì).故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】由題設(shè)，且，所以，則.13.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱(chēng)為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為_(kāi)_________.【答案】2【解析】由題設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2.14.已知為單位向量，設(shè)向量，向量夾角為，若，求的取值范圍__________.【答案】【解析】由，所以，故，又，，所以，而，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足.（1）求的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）令且，則，所以，則，可得，所以，則.（2）由，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則，所以，即.16.已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為是外一點(diǎn)，若，且.（1）求角的大??；（2）若，求四邊形面積的最大值.解：（1）由題設(shè)，即，所以，而，故，又，則，故.（2）由（1）易知為等邊三角形，令，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，則，，，故，所以，當(dāng)時(shí)取最大值為.17.在中，為線段上的點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若，求的長(zhǎng)度；（3）若，求的值.解：（1）令，則，而，即.（2）由題意，在、中為斜邊上的中點(diǎn)，所以，，故，，所以，由，所以，故.（3）由（2）易知，則，所以，同理，所以，即，顯然，則.18.杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心，也被形象地稱(chēng)為“杭州之門(mén)”，作為杭州的新地標(biāo)，它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線，更是杭州發(fā)展的重要見(jiàn)證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測(cè)量“杭州之門(mén)”的高度，該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與，測(cè)得米，在兩處測(cè)得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請(qǐng)計(jì)算“杭州之門(mén)”的高度（保留整數(shù)部分）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門(mén)”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接?。?）的整數(shù)結(jié)果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為多少米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結(jié)果保留根式）解：（1）由題設(shè)，所以米.（2）設(shè)米，則，，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.19.如圖，已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn).設(shè)，且.（1）若，求的面積；（2）求的最小值；（3）若，設(shè)的周長(zhǎng)為.（i）求的值；（ii）設(shè)，記，求的值域.解：（1）連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，則，由B，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，得，解得，因此，即，則，由是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，得的面積，由，得，由，得，則，所以的面積.（2）取的中點(diǎn)，連接，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.（3）（i）由，得為的重心，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)，則為BC中點(diǎn)，，因此，由D，G，E三點(diǎn)共線，得，所以.（ii）由正△ABC的邊長(zhǎng)為1，得，，，在△ADE中，，則，由，得，即，因此，又，則，由，，得，，又，則有，而，于是，由，得，則的最小值為，最大值為，即，在上單調(diào)遞增，則，所以的值域?yàn)?浙江省杭州市聯(lián)誼學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分.）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設(shè).故選：A.2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.為零向量，不能作為基底，A錯(cuò)誤.B.由得，，故，不能作一組基底，B錯(cuò)誤.C.由得為不共線的非零向量，可以作為基底，C正確.D.由得，，故，不能作為一組基底，D錯(cuò)誤.故選：C.3.已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由題設(shè).故選：C.4.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，且為三角形的最大角，所以，則的面積為.故選：D5.已知，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，，所以在上的投影向量為.故選：A.6.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)，∴，∵，∴，即，∴.∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為.故選：B.7.是斜邊上一點(diǎn)，若，則的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，令，由，則，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，則有，即的值是.故選：D.8.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴，，，∴，，，∴.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選，錯(cuò)選得0分.）9.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列正確的是（）A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個(gè)根，則【答案】BC【解析】由題設(shè)，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯(cuò)，B對(duì)；，C對(duì)；若是方程的一個(gè)根，則，，故，D錯(cuò).故選：BC.10.已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序?qū)崝?shù)對(duì)稱(chēng)為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記，則下列命題正確的是（）A.已知，則B.已知，則線段的長(zhǎng)度為1C.已知，則D.已知，則的最大值為【答案】ABD【解析】A：由題設(shè)，所以，對(duì)；B：由題設(shè)，則，對(duì)；C：由題設(shè)，錯(cuò)；D：由題設(shè)，即，由，且時(shí)取等號(hào)，則，故，即時(shí)的最大值為，對(duì).故選：ABD.11.已知銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，下列命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則是等腰三角形C.若，則的取值范圍D.若，則的取值范圍【答案】BCD【解析】由，則，所以，必要性成立，由，又為銳角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要條件，A錯(cuò)；由，又，故，則，又，則或，得或（舍），所以為等腰三角形，B對(duì)；由，又，則，所以，則，故，所以，即，結(jié)合三角形為銳角三角形，可得，故，由，故，C對(duì)；，又，顯然在上單調(diào)遞減，所以，D對(duì).故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】由題設(shè)，且，所以，則.13.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱(chēng)為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為_(kāi)_________.【答案】2【解析】由題設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2.14.已知為單位向量，設(shè)向量，向量夾角為，若，求的取值范圍__________.【答案】【解析】由，所以，故，又，，所以，而，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足.（1）求的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）令且，則，所以，則，可得，所以，則.（2）由，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則，所以，即.16.已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為是外一點(diǎn)，若，且.（1）求角的大??；（2）若，求四邊形面積的最大值.解：（1）由題設(shè)，即，所以，而，故，又，則，故.（2）由（1）易知為等邊三角形，令，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，則，，，故，所以，當(dāng)時(shí)取最大值為.17.在中，為線段上的點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若，求的長(zhǎng)度；（3）若，求的值.解：（1）令，則，而，即.（2）由題意，在、中為斜邊上的中點(diǎn)，所以，，故，，所以，由，所以，故.（3）由（2）易知，則，所以，同理，所以，即，顯然，則.18.杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心，也被形象地稱(chēng)為“杭州之門(mén)”，作為杭州的新地標(biāo)，它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線，更是杭州發(fā)展的重要見(jiàn)證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測(cè)量“杭州之門(mén)”的高度，該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與，測(cè)得米，在兩處測(cè)得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請(qǐng)計(jì)算“杭州之門(mén)”的高度（保留整數(shù)部分）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門(mén)”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接?。?）的整數(shù)結(jié)果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為多少米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結(jié)果保留根式）解：（1）由題設(shè)，所以米.（2）設(shè)米，則，，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.19.如圖，已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn).設(shè)，且.（1）若，求的面積；（2）求的最小值；（3）若，設(shè)的周長(zhǎng)為.（i）求的值；（i