2025屆河北省秦皇島市高三第一次模擬數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省秦皇島市2025屆高三第一次模擬數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某籃球興趣小組7名學生參加投籃比賽，每人投10個，投中的個數(shù)分別為：8、5、7、5、8、6、8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)由小到大進行排列為：、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為.故選：D.2.二次函數(shù)的圖像為拋物線，其準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將，化為拋物線的標準方程，當時，，得到，由拋物線的準線方程為；當時，，得到，由拋物線的準線方程為；綜上：其準線方程.故選：C.3.設等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A.18 B.27 C.45 D.63【答案】C【解析】由題意得成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即，解得.故選：C4.某單位計劃從5人中選4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排兩人，則安排方法數(shù)為（）A.30 B.60 C.120 D.180【答案】B【解析】先從5人中選出4人值班，再從4人中選出2人值第三天，剩余2人分別值第一、二天，所以安排方法數(shù)為.故選：B.5.古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點，中心為原點，橢圓的面積為，直線上一點滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，則有：，，，所以，又因為，即，，可得：，解得，故離心率為．故選：B．6.在等邊中，已知點，滿足，，與交于點，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，則，得，，即,則在上的投影向量為，，所以在上的投影向量為.故選：C7.函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.4 C. D.1【答案】C【解析】因為的定義域為，，所以在為增函數(shù)，，所以，又，在為增函數(shù)，所以，即，因為，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：C8.正三棱柱中，，，O為的中點，M為棱上的動點，N為棱上的動點，且，則線段長度的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為正三棱柱中，為的中點，取中點，連接，如圖，以為原點，，，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，因為是棱上一動點，設，且，因為，所以，于是令，.所以，.又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以當時，即線段長度的最小值為當時，，即線段長度的最大值為，所以線段長度的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)滿足，則（）A.的實部為B.的虛部為C.滿足：復數(shù)對應的點所在區(qū)域的面積為D.對應的向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為【答案】AC【解析】由，則，所以的實部為，虛部為，故A正確，B錯誤；因為，則，設，則，即，所以復數(shù)對應的點所在區(qū)域是以原點為圓心，1為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域（包括圓），則所在區(qū)域的面積為，故C正確；如圖，對應的向量為，則向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為，故D錯誤.故選：AC.10.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，其中，且，若邊上的中點為，則（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A：，由正弦定理得，即，，因為，所以，所以，，，故A正確；對于B：由余弦定理知，，因為，，所以，，當且僅當時等號成立，因為，所以的最大值為，故B正確；對于C：由B知，則，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值為，故C錯；對于D：因為為邊上的中線，所以，，得，因為，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.11.在平面直角坐標系中，圓，點為直線上的動點，則（）A.圓上有且僅有兩個點到直線的距離為B.已知點，圓上的動點，則的最小值為C.過點作圓的一條切線，切點為可以為D.過點作圓的兩條切線，切點為，則直線恒過定點【答案】ABD【解析】選項A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個公共點，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個點到直線的距離為，故A正確；選項B，設點關于直線的對稱點，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項C，由切點為，則在中，，當最小時，取最大值，最大，過點作，垂足為，此時最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯誤；選項D，設點，切點，可得切線方程為，由點在切線上，得，同理可得，故點都在直線上，即直線的方程為，又由點在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過定點，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則___________．【答案】【解析】因為，又，所以.故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則正數(shù)ω的取值范圍是____．【答案】【解析】由，可得，即，令，則又在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，又，則正數(shù)ω滿足，則，則，解之得，則正數(shù)ω的取值范圍是.故答案為：14.若函數(shù)的圖象關于對稱，則__________，的最小值為______________．【答案】①.②.【解析】因為函數(shù)的圖象關于對稱，令，可得，可得或，由對稱性可知，方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，可得，所以，，則，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，因為，令，令，所以，.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在及處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三個不同的實根，求c的取值范圍．解：（1）∵，∴，由已知得，是的兩個根，故，解得，；此時，則，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.可知和均為極值點，符合題意，，.（2）由（1）得，，結合（1）可知，該函數(shù)的零點為，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴的極小值為，極大值為，若方程有三個不同的實根，只需，解得，∴a的范圍是.16.某學校組織一項競賽，在初賽中有兩輪答題：第一輪從類的三個問題中隨機選兩題作答，每答對一題得20分，答錯得0分；第二輪從類的分值分別為20，30，40的3個問題中隨機選兩題作答，每答對一題得滿分，答錯得0分.若兩輪總積分不低于90分，則晉級復賽.甲、乙同時參賽，在類的三個問題中，甲每個問題答對的概率均為，乙只能答對兩個問題；在類的3個分值分別為20，30，40的問題中，甲答對的概率分別為1，，，乙答對的概率分別為，，.甲、乙回答任一問題正確與否互不影響.設甲、乙在第一輪的得分分別為，.（1）分別求，的概率分布列；（2）分別計算甲、乙晉級復賽的概率，并請說明誰更容易晉級復賽？解：（1）由已知得，，，，，所以的分布列為02040由已知得，，所以，.所以的分布列為2040（2）甲在第二輪得分分類如下：選20分和30分的題所得分數(shù)為20分和50分，選20分和40分的題所得分數(shù)為20分和60分，選30分和40分題所得分數(shù)為0分、30分、40分和70分，乙在第二輪得分分類如下：選20分和30分的題所得分數(shù)為0分、20分、30分和50分，選20分和40分的題所得分數(shù)為0分、20分、40分和60分，選30分和40分的題所得分數(shù)為0分、30分、40分和70分，由已知及（1）得，甲兩輪的總積分不低于90分的概率為；乙兩輪的總積分不低于90分的概率為，因為，所以甲更容易晉級復賽.17.如圖，在四棱錐中，點為的中點，底面，平面平面．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為底面，且底面，所以，如圖所示，過點作垂足為，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以（2）解：因為且，在直角中，可得又因為，所以，因為，在中，可得,又因為，所以，由且，所以為等腰直角三角形，可得，所以，即，因為底面，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，可得，又因為點為的中點，所以，則，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在的右支上.為原點，且．（1）若點為的中點，求的長度；（2）過作直線與的右支交于兩點，當?shù)拿娣e為時，求直線的方程．解：（1）因為，所以，又因為，所以，又由雙曲線的定義可知，所以，又因為為的中點，為的中點，所以．（2）根據(jù)題意，可設直線聯(lián)立方程化簡得，由題意可知，且，設，所以，所以所以.令，解得（舍）或．當時，，所以直線或．19.數(shù)列：滿足：，，或1．對任意，，都存在，，使得，其中且兩兩不相等．（1）若時，寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列序號；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2；（2）記，若，求的最小值；（3）若，求的最小值．解：（1）結合數(shù)列的定義，對①，，不滿足，故①不符合；對②，當時，存在，同理當時，存在，當時，存在，故②符合；同理對③也滿足，故滿足題目條件的序列號為：②③；（2）當時，設數(shù)列中1，2，3出現(xiàn)的頻次為，由題意知，，假設時，，（對任意），與已知矛盾，故，同理可證，假設，數(shù)列可表示為：，顯然，故，經(jīng)驗證時，顯然符合，所以，，，數(shù)列的最短數(shù)列可表示為：，故；（3）由（2）知，數(shù)列首尾應該滿足，假設中間各出現(xiàn)一次，此時，顯然滿足或1，對或時，顯然滿足（）；對，或時，顯然滿足（）；對時，則可選取，滿足；同理若，則可選取，滿足；如果，則可取，這種情況下每個數(shù)最多被選取一次，因此也成立，故對任意i，j，都存在s，t，使得，其中且兩兩不相等，故的最小值為1008.河北省秦皇島市2025屆高三第一次模擬數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某籃球興趣小組7名學生參加投籃比賽，每人投10個，投中的個數(shù)分別為：8、5、7、5、8、6、8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)由小到大進行排列為：、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為.故選：D.2.二次函數(shù)的圖像為拋物線，其準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將，化為拋物線的標準方程，當時，，得到，由拋物線的準線方程為；當時，，得到，由拋物線的準線方程為；綜上：其準線方程.故選：C.3.設等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A.18 B.27 C.45 D.63【答案】C【解析】由題意得成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即，解得.故選：C4.某單位計劃從5人中選4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排兩人，則安排方法數(shù)為（）A.30 B.60 C.120 D.180【答案】B【解析】先從5人中選出4人值班，再從4人中選出2人值第三天，剩余2人分別值第一、二天，所以安排方法數(shù)為.故選：B.5.古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點，中心為原點，橢圓的面積為，直線上一點滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，則有：，，，所以，又因為，即，，可得：，解得，故離心率為．故選：B．6.在等邊中，已知點，滿足，，與交于點，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，則，得，，即,則在上的投影向量為，，所以在上的投影向量為.故選：C7.函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.4 C. D.1【答案】C【解析】因為的定義域為，，所以在為增函數(shù)，，所以，又，在為增函數(shù)，所以，即，因為，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：C8.正三棱柱中，，，O為的中點，M為棱上的動點，N為棱上的動點，且，則線段長度的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為正三棱柱中，為的中點，取中點，連接，如圖，以為原點，，，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，因為是棱上一動點，設，且，因為，所以，于是令，.所以，.又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以當時，即線段長度的最小值為當時，，即線段長度的最大值為，所以線段長度的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)滿足，則（）A.的實部為B.的虛部為C.滿足：復數(shù)對應的點所在區(qū)域的面積為D.對應的向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為【答案】AC【解析】由，則，所以的實部為，虛部為，故A正確，B錯誤；因為，則，設，則，即，所以復數(shù)對應的點所在區(qū)域是以原點為圓心，1為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域（包括圓），則所在區(qū)域的面積為，故C正確；如圖，對應的向量為，則向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為，故D錯誤.故選：AC.10.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，其中，且，若邊上的中點為，則（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A：，由正弦定理得，即，，因為，所以，所以，，，故A正確；對于B：由余弦定理知，，因為，，所以，，當且僅當時等號成立，因為，所以的最大值為，故B正確；對于C：由B知，則，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值為，故C錯；對于D：因為為邊上的中線，所以，，得，因為，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.11.在平面直角坐標系中，圓，點為直線上的動點，則（）A.圓上有且僅有兩個點到直線的距離為B.已知點，圓上的動點，則的最小值為C.過點作圓的一條切線，切點為可以為D.過點作圓的兩條切線，切點為，則直線恒過定點【答案】ABD【解析】選項A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個公共點，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個點到直線的距離為，故A正確；選項B，設點關于直線的對稱點，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項C，由切點為，則在中，，當最小時，取最大值，最大，過點作，垂足為，此時最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯誤；選項D，設點，切點，可得切線方程為，由點在切線上，得，同理可得，故點都在直線上，即直線的方程為，又由點在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過定點，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則___________．【答案】【解析】因為，又，所以.故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則正數(shù)ω的取值范圍是____．【答案】【解析】由，可得，即，令，則又在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，又，則正數(shù)ω滿足，則，則，解之得，則正數(shù)ω的取值范圍是.故答案為：14.若函數(shù)的圖象關于對稱，則__________，的最小值為______________．【答案】①.②.【解析】因為函數(shù)的圖象關于對稱，令，可得，可得或，由對稱性可知，方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，可得，所以，，則，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，因為，令，令，所以，.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在及處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三個不同的實根，求c的取值范圍．解：（1）∵，∴，由已知得，是的兩個根，故，解得，；此時，則，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.可知和均為極值點，符合題意，，.（2）由（1）得，，結合（1）可知，該函數(shù)的零點為，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴的極小值為，極大值為，若方程有三個不同的實根，只需，解得，∴a的范圍是.16.某學校組織一項競賽，在初賽中有兩輪答題：第一輪從類的三個問題中隨機選兩題作答，每答對一題得20分，答錯得0分；第二輪從類的分值分別為20，30，40的3個問題中隨機選兩題作答，每答對一題得滿分，答錯得0分.若兩輪總積分不低于90分，則晉級復賽.甲、乙同時參賽，在類的三個問題中，甲每個問題答對的概率均為，乙只能答對兩個問題；在類的3個分值分別為20，30，40的問題中，甲答對的概率分別為1，，，乙答對的概率分別為，，.甲、乙回答任一問題正確與否互不影響.設甲、乙在第一輪的得分分別為，.（1）分別求，的概率分布列；（2）分別計算甲、乙晉級復賽的概率，并請說明誰更容易晉級復賽？解：（1）由已知得，，，，，所以的分布列為02040由已知得，，所以，.所以的分布列為2040（2）甲在第二輪得分分類如下：選20分和30分的題所得分數(shù)為20分和50分，選20分和40分的題所得分數(shù)為20分和60分，選30分和40分題所得分數(shù)為0分、30分、40分和70分，乙在第二輪得分分類如下：選20分和30分的題所得分數(shù)為0分、20分、30分和50分，選20分和40分的題所得分數(shù)為0分、20分、40分和60分，選30分和40分的題所得分數(shù)為0分、30分、40分和70分，由已知及（1）得，甲兩輪的總積分不低于90分的概率為；乙兩輪的總積分不低于90分的概率為，因為，所以甲更容易晉級復賽.17.如圖，在四棱錐中，點為的中點，底面，平面平面．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為底面，且底面，所以，如圖所示，過點作垂足為，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，