2025屆河北省石家莊市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省石家莊市2025屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樗怨蔬x：C2.某同學(xué)記錄了3月1日到8日每天的最高溫（單位：℃），分別為，則該組數(shù)的第80百分位數(shù)為（）A.10 B.13 C.13.5 D.14【答案】D【解析】根據(jù)題意將數(shù)據(jù)從小到大排列有共8項(xiàng)數(shù)據(jù)，所以，故第80百分?jǐn)?shù)為14.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以．故選：D．4.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故選：D5.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義得，，所以，故選：C6.已知的數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)為，即對(duì)函數(shù)連續(xù)求階導(dǎo)數(shù).例如，則，，若，則的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A.210 B.255 C.280 D.360【答案】A【解析】由得：，再繼續(xù)求二階導(dǎo)整理得：，求三階導(dǎo)整理得：，此時(shí)可以把求函數(shù)的10階導(dǎo)理解為十次方的二項(xiàng)式展開(kāi)式，則有的系數(shù)是，故選：A.7.在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1：發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，已知接收的信號(hào)為0，則發(fā)送的信號(hào)是1的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)“發(fā)送的信號(hào)為0”，“接收到的信號(hào)為0”，則“發(fā)送的信號(hào)為1”，“接收到的信號(hào)為1”．由題意得，，，，，，．故選：B.8.在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)，向量，且，若為拋物線上一點(diǎn).則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因?yàn)?，所以，所以，即點(diǎn)在直線上，又拋物線，顯然拋物線與直線沒(méi)有交點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)在過(guò)拋物線與點(diǎn)平行的切線上時(shí)，最小，由導(dǎo)數(shù)可得拋物線過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，即，又點(diǎn)在拋物線上，所以，即，所以的最小值為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下選項(xiàng)正確的是（）A.若，則的充要條件是B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為6【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因，則等價(jià)于，等價(jià)于，即，故A正確；對(duì)于B，由可得，當(dāng)時(shí)，等式成立，但與不一定相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?qū)τ冢?，則，于是，故C正確；對(duì)于D，由可理解為復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓，而可看成點(diǎn)到該圓上點(diǎn)的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.10.在正方體中分別是的中點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.異面直線與所成角的余弦值為C.過(guò)三點(diǎn)平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為D.若點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，而，所以，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，則且，故或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，而，故，故，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線與直線交于，連接角于，因?yàn)?，故，同理，故，故，而，，故截面圖形的周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，故的軌跡為球與正方體表面的截線（如圖所示），每段弧的圓心角為，所在圓的半徑為，故三段弧長(zhǎng)和為，故D正確.故選：ABD.11.在重伯努利試儉中，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一半的概率為，下列敘述中正確的是（）A.若為奇數(shù)時(shí)，B.若為偶數(shù)時(shí)，C.若為奇數(shù)時(shí)，隨著的增大而增大D.若為偶數(shù)時(shí)，隨著的增大而增大【答案】BD【解析】當(dāng)

時(shí)，二項(xiàng)分布對(duì)稱，即：,.對(duì)于選項(xiàng)A：由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知：事件

發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一半的概率

等于事件

發(fā)生的次數(shù)少于一半的概率.因?yàn)?/p>

是奇數(shù)，所以事件

發(fā)生的次數(shù)恰好等于一半的概率為0，因此，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)

（

為正整數(shù)），則成功次數(shù)超過(guò)一半的條件為

.由于

，二項(xiàng)分布對(duì)稱，因此：，此外，

為中間項(xiàng)的概率.因此，總概率滿足：，由于

，有：，即：，由于

，因此：，因此，選項(xiàng)B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C：取，，取，，當(dāng)很小，比如時(shí)，很接近于4，于是，所以，故C是錯(cuò)誤的；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)

為偶數(shù)時(shí)，設(shè)

，其中

為正整數(shù)，事件

發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一半意味著

，設(shè)..由于

，且

，我們有：.由于

，則：.因此，

對(duì)于所有

成立.由于

且

，每一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)都是正的，因此

，即

隨著

的增大而增大，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為冪函數(shù)，目，則__________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，由可得，解得，則，于是.故答案：.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方，設(shè)與的面積分別為，則__________.【答案】【解析】已知，則直線，即，將其代入雙曲線方程中得，設(shè)，則，故.故答案為：14.已知方程有且僅有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】（1）當(dāng)時(shí)，方程化為：，此時(shí)無(wú)解，舍去；（2）當(dāng)時(shí)，考慮方程正實(shí)數(shù)根情況，只需研究當(dāng)時(shí)方程解的情況，即此時(shí)方程化為，若此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則需（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程化為，若此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則需（4）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)零點(diǎn)函數(shù)與軸有兩個(gè)零點(diǎn)因?yàn)?，所以即作出函?shù)與函數(shù)圖象，由圖可知兩圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于零，從而方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，綜上，滿足條件的取值范圍為或，即故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求證：；（2）若，求的面積.（1）證明：由題意得：，由余弦定理得，，所以，由于，所以或，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理可得，即，得，由余弦定理可得，代入得，解得舍去），所以，故.16.已知函數(shù).（1）討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若存在實(shí)數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.解：（1）由題意得若，則在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)若，令，得，由于是增函數(shù).所以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，故是的唯一極小值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).（2）設(shè)切點(diǎn)為，由（1）知，因?yàn)檩S為切線，則解得，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故是的唯一極大值點(diǎn).，所以的最大值為1.17.在三棱柱中，，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足.（1）從這5個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，可以構(gòu)成多少個(gè)不同的三棱錐？并列舉所有符合條件的三棱錐；（2）證明：：（3）求直線與平面所成的角.解：（1）構(gòu)成4個(gè)不同的三棱錐，分別是三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐；（2）連接，因?yàn)?，所以同理，取中點(diǎn)，連接，由等腰三角形三線合一,得,又平面平面，所以平面,平面，所以,（3）解法1：依題意，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面為平面的一個(gè)法向量.直線與平面所成的角即直線與直線夾角的余角因?yàn)橛桑?）知，，所以為正三角形，故,故直線與平面所成的角為;解法2：依題意，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，也就是點(diǎn)到平面的距離的，點(diǎn)到平面的距離為1，由（2）知為正三角形，，直線與平面所成角的正弦值是，所以直線與平面所成角為解法3：由（2）知平面，又平面，可得平面平面，在平面內(nèi)，過(guò)作，垂足為因?yàn)槠矫嫫矫妫矫媾c平面，則平面，過(guò)作，可知平面，由此可知兩兩垂直，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.在等邊和等邊中，可求得，則在中，，，可知依題意，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，直線與平面所成角為18.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）連線與軸交于點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)在以為直徑的圓外：（ii）在上是否存在點(diǎn)使得是等邊三角形.若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意得，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）（i）證明：由題意得，，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，此時(shí)以為直徑的圓的方程為，顯然在此圓外；當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由可得，，恒成立，設(shè)，則故在以為直徑的圓外.（ii）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，此時(shí)到距離為1，故不存在等邊三角形，當(dāng)斜率為0時(shí)，易得不存在等邊三角形，當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)中點(diǎn)為，又，由（i）得，，由于在直線上，所以直線的斜率為，所以.，因?yàn)槭堑冗吶切危?，則解得，即，故直線的方程為或.19.已知數(shù)列，其中.（1）若，集合表示集合的非空子集個(gè)數(shù).集合的第個(gè)非空子集中的所有元素之和記為，設(shè).（i）直接寫(xiě)出；（ii）計(jì)算的前項(xiàng)相和；（2）取，在數(shù)列中至少有一項(xiàng)為負(fù)值，且，將數(shù)列各項(xiàng)依次放在正五邊形各頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)一項(xiàng).任意相鄰三個(gè)頂點(diǎn)的三項(xiàng)為，若中間項(xiàng)，則進(jìn)行如下交換，將變換為，直到正五邊形各頂點(diǎn)上的數(shù)均為非負(fù)時(shí)變換終止.求證：對(duì)任何符合條件的，上述變換終止只需進(jìn)行有限多次.解：（1）（i）由則，，因此可得；由則，，因此可得；由則，，因此可得；故；（ii）由題意得集合，所以，解法1：（利用子集構(gòu)成特點(diǎn)）由于集合的每個(gè)元素在其子集中出現(xiàn)的次數(shù)均為，故，所以，所以.解法2：（利用遞推關(guān)系）將集合拆分為集合與，集合的所有非空集合中的元素之和的和為，集合的所有非空子集中的元素之和的和為與集合的所有子集中的元素加上的和，集合共有個(gè)子集，所以.即，易得，累加得，所以.所以，所以.（2）由題意所述的變換不變，且始終為整數(shù)，所以，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，不妨對(duì)進(jìn)行一次操作，此時(shí)五邊形頂點(diǎn)上的數(shù)變?yōu)?，所以有，因?yàn)?，得，又，所以，則經(jīng)過(guò)每一次變換，函數(shù)的值至少減少2，且恒非負(fù)，所以變換只能進(jìn)行有限多次.河北省石家莊市2025屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樗怨蔬x：C2.某同學(xué)記錄了3月1日到8日每天的最高溫（單位：℃），分別為，則該組數(shù)的第80百分位數(shù)為（）A.10 B.13 C.13.5 D.14【答案】D【解析】根據(jù)題意將數(shù)據(jù)從小到大排列有共8項(xiàng)數(shù)據(jù)，所以，故第80百分?jǐn)?shù)為14.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以．故選：D．4.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故選：D5.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義得，，所以，故選：C6.已知的數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)為，即對(duì)函數(shù)連續(xù)求階導(dǎo)數(shù).例如，則，，若，則的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A.210 B.255 C.280 D.360【答案】A【解析】由得：，再繼續(xù)求二階導(dǎo)整理得：，求三階導(dǎo)整理得：，此時(shí)可以把求函數(shù)的10階導(dǎo)理解為十次方的二項(xiàng)式展開(kāi)式，則有的系數(shù)是，故選：A.7.在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1：發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，已知接收的信號(hào)為0，則發(fā)送的信號(hào)是1的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)“發(fā)送的信號(hào)為0”，“接收到的信號(hào)為0”，則“發(fā)送的信號(hào)為1”，“接收到的信號(hào)為1”．由題意得，，，，，，．故選：B.8.在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)，向量，且，若為拋物線上一點(diǎn).則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因?yàn)椋?，所以，即點(diǎn)在直線上，又拋物線，顯然拋物線與直線沒(méi)有交點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)在過(guò)拋物線與點(diǎn)平行的切線上時(shí)，最小，由導(dǎo)數(shù)可得拋物線過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，即，又點(diǎn)在拋物線上，所以，即，所以的最小值為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下選項(xiàng)正確的是（）A.若，則的充要條件是B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為6【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因，則等價(jià)于，等價(jià)于，即，故A正確；對(duì)于B，由可得，當(dāng)時(shí)，等式成立，但與不一定相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?qū)τ冢?，則，于是，故C正確；對(duì)于D，由可理解為復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓，而可看成點(diǎn)到該圓上點(diǎn)的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.10.在正方體中分別是的中點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.異面直線與所成角的余弦值為C.過(guò)三點(diǎn)平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為D.若點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，而，所以，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，則且，故或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，而，故，故，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線與直線交于，連接角于，因?yàn)?，故，同理，故，故，而，，故截面圖形的周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，故的軌跡為球與正方體表面的截線（如圖所示），每段弧的圓心角為，所在圓的半徑為，故三段弧長(zhǎng)和為，故D正確.故選：ABD.11.在重伯努利試儉中，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一半的概率為，下列敘述中正確的是（）A.若為奇數(shù)時(shí)，B.若為偶數(shù)時(shí)，C.若為奇數(shù)時(shí)，隨著的增大而增大D.若為偶數(shù)時(shí)，隨著的增大而增大【答案】BD【解析】當(dāng)

時(shí)，二項(xiàng)分布對(duì)稱，即：,.對(duì)于選項(xiàng)A：由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知：事件

發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一半的概率

等于事件

發(fā)生的次數(shù)少于一半的概率.因?yàn)?/p>

是奇數(shù)，所以事件

發(fā)生的次數(shù)恰好等于一半的概率為0，因此，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)

（

為正整數(shù)），則成功次數(shù)超過(guò)一半的條件為

.由于

，二項(xiàng)分布對(duì)稱，因此：，此外，

為中間項(xiàng)的概率.因此，總概率滿足：，由于

，有：，即：，由于

，因此：，因此，選項(xiàng)B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C：取，，取，，當(dāng)很小，比如時(shí)，很接近于4，于是，所以，故C是錯(cuò)誤的；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)

為偶數(shù)時(shí)，設(shè)

，其中

為正整數(shù)，事件

發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一半意味著

，設(shè)..由于

，且

，我們有：.由于

，則：.因此，

對(duì)于所有

成立.由于

且

，每一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)都是正的，因此

，即

隨著

的增大而增大，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為冪函數(shù)，目，則__________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，由可得，解得，則，于是.故答案：.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方，設(shè)與的面積分別為，則__________.【答案】【解析】已知，則直線，即，將其代入雙曲線方程中得，設(shè)，則，故.故答案為：14.已知方程有且僅有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】（1）當(dāng)時(shí)，方程化為：，此時(shí)無(wú)解，舍去；（2）當(dāng)時(shí)，考慮方程正實(shí)數(shù)根情況，只需研究當(dāng)時(shí)方程解的情況，即此時(shí)方程化為，若此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則需（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程化為，若此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則需（4）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)零點(diǎn)函數(shù)與軸有兩個(gè)零點(diǎn)因?yàn)?，所以即作出函?shù)與函數(shù)圖象，由圖可知兩圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于零，從而方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，綜上，滿足條件的取值范圍為或，即故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求證：；（2）若，求的面積.（1）證明：由題意得：，由余弦定理得，，所以，由于，所以或，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理可得，即，得，由余弦定理可得，代入得，解得舍去），所以，故.16.已知函數(shù).（1）討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若存在實(shí)數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.解：（1）由題意得若，則在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)若，令，得，由于是增函數(shù).所以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，故是的唯一極小值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).（2）設(shè)切點(diǎn)為，由（1）知，因?yàn)檩S為切線，則解得，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故是的唯一極大值點(diǎn).，所以的最大值為1.17.在三棱柱中，，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足.（1）從這5個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，可以構(gòu)成多少個(gè)不同的三棱錐？并列舉所有符合條件的三棱錐；（2）證明：：（3）求直線與平面所成的角.解：（1）構(gòu)成4個(gè)不同的三棱錐，分別是三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐；（2）連接，因?yàn)?，所以同理，取中點(diǎn)，連接，由等腰三角形三線合一,得,又平面平面，所以平面,平面，所以,（3）解法1：依題意，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面為平面的一個(gè)法向量.直線與平面所成的角即直線與直線夾角的余角因?yàn)橛桑?）知，，所以為正三角形，故,故直線與平面所成的角為;解法2：依題意，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，也就是點(diǎn)到平面的距離的，點(diǎn)到平面的距離為1，由（2）知為正三角形，，直線與平面所成角的正弦值是，所以直線與平面所成角為解法3：由（2）知平面，又平面，可得平面平面，在平面內(nèi)，過(guò)作，垂足為因?yàn)槠矫嫫矫?，平面與平面，則平面，過(guò)作，可知平面，由此可知兩兩垂直，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.在等邊和等邊中，可求得，則在中，，，可知依題意，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，為平面的一