2025屆河北省石家莊市普通高中畢業(yè)年級教學質(zhì)量檢測（二）數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省石家莊市2025屆普通高中畢業(yè)年級教學質(zhì)量檢測（二）數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題意，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為集合，所以集合，則.故選：A.3.如果，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，，則，則，即，充分性成立；若，，則，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要條件.故選：C4.已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】設(shè)拋物線的焦點為，由拋物線的定義知，因為點到軸的距離為9，即，所以，解得.故選：D5.已知一個圓柱的底面直徑與其外接球半徑均為2，則該圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，軸截面為，所以圓柱的側(cè)面積為，故選：B.6.如圖，在中，已知，D是BC邊上的一點，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，又因為，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得.故選：D7.設(shè)點為雙曲線右支上的動點，為該雙曲線的右焦點，已知點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點為，由雙曲線的定義得，所以最小值為.故選：B.8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知函數(shù)定義域為，又，故為偶函數(shù)，當時，，所以，令，結(jié)合對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，所以由可得，平方得：，解得或，所以不等式的解集為，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.當研究兩個變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，若相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，則兩個變量的線性相關(guān)程度越弱B.在評估模型擬合效果時，決定系數(shù)越接近1，表示模型對數(shù)據(jù)擬合效果越好C.通過樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線一定經(jīng)過點D.設(shè)關(guān)于分類變量與的獨立性檢驗的原假設(shè)為與無關(guān)，根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗（），沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認為與無關(guān).【答案】BC【解析】因為相關(guān)系數(shù)絕對值越接近1兩個變量的線性相關(guān)程度越強，故A選項錯誤.因為決定系數(shù)越接近1，表示模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好，故B選項正確.因為回歸直線一定經(jīng)過樣本均值點，故C選項正確.因為應(yīng)拒絕原假設(shè)，即認為與有關(guān)聯(lián)，而非無關(guān)，故D選項錯誤.故選：BC10.點在所在平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若，則為的重心C.若，則D.若為邊長為2的正三角形，為的中點，點在線段上運動，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，所以鈍角三角形，故A正確；對于B，因為，取的中點，連接，則有，所以，所以，所以為的重心，故B正確；對于C，因為，，所以點在線段上，如圖所示：取的四等分點，靠近的點為，取的四等分點，靠近的點為，連接則有∥且,所以的高是的高的，所以，故C錯誤；對于D，以為原點，邊所在的直線為軸，邊所在的直線為軸，建立平面坐標系，如圖所示：易知直線的方程為，設(shè)，因為，所以，所以，，又因為，所以當時，取最小值，為；當時，取最大值，為；所以，即，故D正確.故選：ABD.11.函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，的極小值為0B.若有3個零點，，，則C.若，則為奇函數(shù)D.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】對于A，當時，，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以為的極小值，故A錯誤；對于B，由可知是其一個零點，令，令，設(shè)是的兩個根，由韋達定理得，所以，若函數(shù)的3個零點為，，，則，故B正確；對于C，令，當時，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，，因為當時，，當時，，所以，所以，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分（其中14題第一個空2分，第二個空3分）.12.已知為第一象限角，，則__________.【答案】【解析】因為，且為第一象限角，則，所以.故答案為：13.若圓被直線所截得的弦長為10，過點作圓的切線，其中一個切點為，則的值為__________.【答案】【解析】由弦長為，結(jié)合垂徑定理可得：，解得，結(jié)合已知點，可得：所以，故答案為：.14.卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ConvolutionalNeuralNetwork，簡稱CNN）是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種，它在圖象識別中扮演關(guān)鍵角色，即使圖象經(jīng)歷平移，旋轉(zhuǎn)等變換也能準確識別.它的工作原理是用卷積核在原圖上進行步長為1的運動掃描，卷積核與掃描部分的對應(yīng)位置數(shù)字相乘并求和得出新的值，例如下圖中卷積核對一個圖象運算，圖中虛線部分經(jīng)過運算為，，依此規(guī)律完成第1階段的卷積運算，同理完成第2階段的卷積運算，得到卷積結(jié)果為.根據(jù)以上信息卷積核按照步長為1進行運動掃描，一個的圖象，記表示其第行，第列數(shù)據(jù)，滿足，卷積核為，圖象經(jīng)歷__________個階段卷積核運算后，卷積結(jié)果為一個數(shù)值；若滿足（），則__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】①.99②.29【解析】根據(jù)題意，圖象經(jīng)過第1階段后得到圖象，記，表示其第行，第列數(shù)據(jù)，滿足，經(jīng)過第2階段后得到圖象，記，表示其第行，第列數(shù)據(jù)，滿足，00依次類推，經(jīng)過第98階段后得到圖象，如圖經(jīng)過第99階段后得到，則，解得，即，又，所以.故答案為：，29.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，，.（2）由（1），所以①②.①－②得..16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，，，，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點，連接，，又是的中點，則且，由是的中點，底面為矩形，則，故，，所以，所以四邊形為平行四邊形，則，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：底面為矩形，可得，平面平面，平面平面，，平面PAB，所以平面，則，，可以以，，分別為軸，建立空間直角坐標系.則，，，，，，，所以，設(shè)平面EFD的一個法向量為，則，令，則，依題意，可得平面PAB的一個法向量為，故，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：（2）底面為矩形，，平面平面，平面平面，平面，所以平面PAB延長，交于點，連接，過點作，垂足為點，連接.平面，平面，，，平面，平面ADH，，為二面角的平面角，，，，，，，，在中，，，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)，其中.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，為的兩個不同的極值點，求的最小值.解：（1）因為，所以，，令，解得或，令，解得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由題意知：，，有兩個不等正根，，解得：，；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，即的最小值為.18.在一個溫馨的周末，甲同學一家人齊聚在寬敞明亮的客廳里進行擲游戲幣活動，假設(shè)每次擲游戲幣出現(xiàn)正面的概率為，且，每次擲游戲幣的結(jié)果相互獨立.（1）當時，若甲連續(xù)投擲了兩次，求至少出現(xiàn)一次正面向上的概率；（2）若規(guī)定每輪游戲只要連續(xù)不斷的出現(xiàn)三次正面向上，則游戲結(jié)束，每輪最多連續(xù)投擲6次.①甲在一輪游戲中恰好投擲了5次游戲結(jié)束的概率為，求的表達式；②設(shè)甲在一輪游戲中投擲次數(shù)為，求的最大值.解：（1）設(shè)事件表示第次正面向上，其中.且，，設(shè)事件：“至少出現(xiàn)一次正面向上”.（2）①設(shè)事件：“恰好投擲了5次游戲結(jié)束”，則.故.所以.②由題意知，，，..則.令，，當時，，即在上單調(diào)遞減，故，因此，的最大值為.19.已知橢圓的離心率為，，分別為的左，右焦點，點為曲線在第一象限內(nèi)圖象上的一點，的周長為，若為坐標原點，記，，.（1）求的方程及的值；（2）若，為上不同的兩點，滿足，設(shè)，，的面積分別為，，，求證：當變化時，為定值；（3）請?zhí)骄浚喝?，，…，為上個不同點，且，，，其中，…，，點與點重合，當變化時，是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，說明理由.參考公式：.解：（1）設(shè)的半焦距為，則由題意知，故.由的周長為知，即，解得，故C的方程為.由題意知，滿足，即，故.（2）證明：由題意知，設(shè)，，由，同理，，故.根據(jù)（1）中求得的過程，可知即使點在其他象限或者坐標軸上，仍然成立，所以..故.（3）解：由題意知.河北省石家莊市2025屆普通高中畢業(yè)年級教學質(zhì)量檢測（二）數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題意，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為集合，所以集合，則.故選：A.3.如果，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，，則，則，即，充分性成立；若，，則，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要條件.故選：C4.已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】設(shè)拋物線的焦點為，由拋物線的定義知，因為點到軸的距離為9，即，所以，解得.故選：D5.已知一個圓柱的底面直徑與其外接球半徑均為2，則該圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，軸截面為，所以圓柱的側(cè)面積為，故選：B.6.如圖，在中，已知，D是BC邊上的一點，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，又因為，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得.故選：D7.設(shè)點為雙曲線右支上的動點，為該雙曲線的右焦點，已知點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點為，由雙曲線的定義得，所以最小值為.故選：B.8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知函數(shù)定義域為，又，故為偶函數(shù)，當時，，所以，令，結(jié)合對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，所以由可得，平方得：，解得或，所以不等式的解集為，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.當研究兩個變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，若相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，則兩個變量的線性相關(guān)程度越弱B.在評估模型擬合效果時，決定系數(shù)越接近1，表示模型對數(shù)據(jù)擬合效果越好C.通過樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線一定經(jīng)過點D.設(shè)關(guān)于分類變量與的獨立性檢驗的原假設(shè)為與無關(guān)，根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗（），沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認為與無關(guān).【答案】BC【解析】因為相關(guān)系數(shù)絕對值越接近1兩個變量的線性相關(guān)程度越強，故A選項錯誤.因為決定系數(shù)越接近1，表示模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好，故B選項正確.因為回歸直線一定經(jīng)過樣本均值點，故C選項正確.因為應(yīng)拒絕原假設(shè)，即認為與有關(guān)聯(lián)，而非無關(guān)，故D選項錯誤.故選：BC10.點在所在平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若，則為的重心C.若，則D.若為邊長為2的正三角形，為的中點，點在線段上運動，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，所以鈍角三角形，故A正確；對于B，因為，取的中點，連接，則有，所以，所以，所以為的重心，故B正確；對于C，因為，，所以點在線段上，如圖所示：取的四等分點，靠近的點為，取的四等分點，靠近的點為，連接則有∥且,所以的高是的高的，所以，故C錯誤；對于D，以為原點，邊所在的直線為軸，邊所在的直線為軸，建立平面坐標系，如圖所示：易知直線的方程為，設(shè)，因為，所以，所以，，又因為，所以當時，取最小值，為；當時，取最大值，為；所以，即，故D正確.故選：ABD.11.函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，的極小值為0B.若有3個零點，，，則C.若，則為奇函數(shù)D.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】對于A，當時，，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以為的極小值，故A錯誤；對于B，由可知是其一個零點，令，令，設(shè)是的兩個根，由韋達定理得，所以，若函數(shù)的3個零點為，，，則，故B正確；對于C，令，當時，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，，因為當時，，當時，，所以，所以，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分（其中14題第一個空2分，第二個空3分）.12.已知為第一象限角，，則__________.【答案】【解析】因為，且為第一象限角，則，所以.故答案為：13.若圓被直線所截得的弦長為10，過點作圓的切線，其中一個切點為，則的值為__________.【答案】【解析】由弦長為，結(jié)合垂徑定理可得：，解得，結(jié)合已知點，可得：所以，故答案為：.14.卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ConvolutionalNeuralNetwork，簡稱CNN）是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種，它在圖象識別中扮演關(guān)鍵角色，即使圖象經(jīng)歷平移，旋轉(zhuǎn)等變換也能準確識別.它的工作原理是用卷積核在原圖上進行步長為1的運動掃描，卷積核與掃描部分的對應(yīng)位置數(shù)字相乘并求和得出新的值，例如下圖中卷積核對一個圖象運算，圖中虛線部分經(jīng)過運算為，，依此規(guī)律完成第1階段的卷積運算，同理完成第2階段的卷積運算，得到卷積結(jié)果為.根據(jù)以上信息卷積核按照步長為1進行運動掃描，一個的圖象，記表示其第行，第列數(shù)據(jù)，滿足，卷積核為，圖象經(jīng)歷__________個階段卷積核運算后，卷積結(jié)果為一個數(shù)值；若滿足（），則__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】①.99②.29【解析】根據(jù)題意，圖象經(jīng)過第1階段后得到圖象，記，表示其第行，第列數(shù)據(jù)，滿足，經(jīng)過第2階段后得到圖象，記，表示其第行，第列數(shù)據(jù)，滿足，00依次類推，經(jīng)過第98階段后得到圖象，如圖經(jīng)過第99階段后得到，則，解得，即，又，所以.故答案為：，29.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，，.（2）由（1），所以①②.①－②得..16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，，，，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點，連接，，又是的中點，則且，由是的中點，底面為矩形，則，故，，所以，所以四邊形為平行四邊形，則，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：底面為矩形，可得，平面平面，平面平面，，平面PAB，所以平面，則，，可以以，，分別為軸，建立空間直角坐標系.則，，，，，，，所以，設(shè)平面EFD的一個法向量為，則，令，則，依題意，可得平面PAB的一個法向量為，故，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：（2）底面為矩形，，平面平面，平面平面，平面，所以平面PAB延長，交于點，連接，過點作，垂足為點，連接.平面，平面，，，平面，平面ADH，，為二面角的平面角，，，，，，，，在中，，，所以平面與平面的