2025屆河南省部分學(xué)校高三階段性測試（五）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省部分學(xué)校2025屆高三階段性測試（五）數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.2.設(shè)集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，則，此時(shí)，，則，不合題意；若，則或，當(dāng)時(shí)，，，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，則，符合題意；根據(jù)集合元素間的互異性可知，綜上所述：.故選：A.3.采用隨機(jī)抽樣抽到一個(gè)容量為100

的樣本，由樣本數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)1015x252010若用每組的中點(diǎn)值來代表該組數(shù)據(jù)，則估計(jì)總體的平均數(shù)為（）A.42 B.44 C.46 D.48【答案】C【解析】由已知得，估計(jì)總體的平均數(shù)為．故選：C．4.以坐標(biāo)原點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將該拋物線向右平移1個(gè)單位長度，所得拋物線以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，故拋物線的方程為，再將其向左平移1個(gè)單位長度，得原拋物線的方程為.故選：B.5.已知圓錐的高為4，側(cè)面積是底面積的3倍，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意知，所以，又，所以，所以圓錐的體積．故選：D6.已知函數(shù)，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知得的最小正周期：，因?yàn)椋?，而，所以的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以．不妨令，若，則，符合題意，若，則，不符合題意，故．故選：C7.已知正方體的棱長為常數(shù)，點(diǎn)P在線段上（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P且垂直于的平面截正方體所得截面的周長為y，若，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)平面和平面分別與交于點(diǎn)Q，R，當(dāng)點(diǎn)P在線段AQ和線段上時(shí)，截面是正三角形，當(dāng)點(diǎn)P越靠近點(diǎn)A或越靠近點(diǎn)時(shí)，截面周長越小，且變化是線性的．當(dāng)點(diǎn)P在線段QR上（不含點(diǎn)Q，R）時(shí)，截面是六邊形EFGHMN，且，，，，所以，所以，所以六邊形EFGHMN的周長與的周長相等．綜上可知y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為D．故選：D8.已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則l的方程為，由，得，設(shè)，，則，①．因?yàn)椋寓冢散佗诳傻?，再結(jié)合，，得，解得．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若向量，，，則（）A. B.C. D.在上的投影向量是【答案】CD【解析】因?yàn)橄蛄?，，，?duì)于A，，故

A

錯(cuò)誤；對(duì)于B，，與不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，，故C正確；對(duì)于D，在上的投影向量為，故D正確．故選：CD.10.記等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，已知，且，，成等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.，，成等比數(shù)列B.若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為C.若，則存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，D.若，則【答案】BCD【解析】因?yàn)?，且，，成等差?shù)列，所以，所以，解得或.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，所以，所以的前項(xiàng)和為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，由于呈指數(shù)增長，而呈線性增長，因此當(dāng)足夠大時(shí)，必有，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則稱是“T函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.是T函數(shù)B.若是定義域?yàn)榈腡函數(shù)，則C.若對(duì)任意成遞增等差數(shù)列的4個(gè)數(shù)，，，，都有,則是T函數(shù)D.若是定義域?yàn)榈腡函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意得，，所以是T函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，因?yàn)槭荰函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，，成遞增的等差數(shù)列，故可設(shè)：，，，，，考慮函數(shù)，因?yàn)椋?，但，，所以不是T函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭荰函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，任意選取，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，左邊是關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)直線的性質(zhì)知，這里的是任意選取的，所以，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，且，則______．【答案】【解析】因，則，，又，則，又，則.故答案為：13.五人計(jì)劃假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四個(gè)景點(diǎn)供選擇，若每人隨機(jī)選一個(gè)景點(diǎn)，則僅有兩個(gè)景點(diǎn)被選到的概率為_____.【答案】【解析】五個(gè)人任意選擇景點(diǎn)，不同的選擇方案有：種；若僅有兩個(gè)景點(diǎn)被選到，則不同的選擇方案有：種，僅有兩個(gè)景點(diǎn)被選到的概率.故答案為：.14.設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則______．【答案】12【解析】因?yàn)?，所以該式的前?xiàng)都為，后項(xiàng)都為，所以，，所以且，得，因?yàn)椋?，所以，所以，故．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且，求．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)?，化簡得，因?yàn)?，則，可得，且，所以．（2）因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，則，可得，所以．由余弦定理可得，因?yàn)椋瑒t，整理得，即，解得或．16.如圖，在三棱臺(tái)中，平面ABC，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：平面AMC；（2）求平面和平面AMC夾角的余弦值．（1）證明：如圖，連接，由題意知平面，所以，又，，所以，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又，，所以平面，所以．因?yàn)椋云矫鍭MC．（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，取，由（1）知平面AMC的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以平面和平面AMC夾角的余弦值為．17.在一次軍事演習(xí)中，某炮兵部隊(duì)有甲、乙、丙三門火炮對(duì)敵方目標(biāo)M進(jìn)行射擊，現(xiàn)設(shè)計(jì)了以下規(guī)則：每次讓一門火炮對(duì)M射擊一次，如果沒有擊中M就換另一門火炮進(jìn)行射擊，如果擊中M或甲、乙、丙都射擊過一次就停止射擊．已知甲、乙、丙每次射擊擊中M的概率分別為，，，且每次射擊相互獨(dú)立．（1）若按甲、乙、丙的順序進(jìn)行射擊，且，，，求M被擊中的概率；（2）若安排乙第二個(gè)射擊，且，要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該安排哪一門火炮第一個(gè)射擊？解：（1）設(shè)事件A表示“M被擊中”，則．（2）設(shè)射擊的總次數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3．若按甲、乙、丙的順序射擊，則，，，所以．若按丙、乙、甲的順序射擊，同理得．因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，所以要使射擊總次?shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該讓甲先射擊．18.已知，函數(shù)在處取得極值．（1）求a；（2）證明：對(duì)任意的m，，都有；（3）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求k的最小整數(shù)值．（1）解：，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，所以，解得．經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，符合題意，故．（2）對(duì)任意的m，，設(shè)，則，由（1）知，則上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即，故．?）存在實(shí)數(shù)，使得成立，即成立．令，，則，，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．又，，故存在唯一的，使得，即．當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，結(jié)合，得，故k的最小整數(shù)值為5．19.已知雙曲線C：的離心率為，且C經(jīng)過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）作C在點(diǎn)P處的切線l，設(shè)l與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)Q，R，求；（3）將橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，記C上的所有格點(diǎn)為，，，…，，證明：為定值．解：（1）由題意得，解得，所以C的方程為．（2）當(dāng)時(shí)，由得，所以，所以l的斜率為，l的方程為，即，由得C的漸近線方程為，聯(lián)立與，解得，所以．（3）在方程中，令，得，令，得，則．因?yàn)椋?，得是C上的一個(gè)格點(diǎn)，，得是C上的一個(gè)格點(diǎn)．按這種構(gòu)造方式，由可以得到一系列格點(diǎn)．下面證明C上的任意一個(gè)格點(diǎn)都滿足該式：任取兩個(gè)由上述方式得到的相鄰格點(diǎn)和，假設(shè)在點(diǎn)和之間存在另外的格點(diǎn)，即存在，，滿足．因?yàn)槭荂上的格點(diǎn)，所以，所以，得，設(shè)，，則．由點(diǎn)，在C上，可得，，且，所以，，再由，，，，得，，故也是C上的格點(diǎn)．另一方面，因?yàn)?，，所以，即，所以．而，即．顯然，C上不存在格點(diǎn)滿足該式，矛盾，假設(shè)不成立，故C上的所有格點(diǎn)都滿足．由，，得．所以所以，為定值．河南省部分學(xué)校2025屆高三階段性測試（五）數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.2.設(shè)集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，則，此時(shí)，，則，不合題意；若，則或，當(dāng)時(shí)，，，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，則，符合題意；根據(jù)集合元素間的互異性可知，綜上所述：.故選：A.3.采用隨機(jī)抽樣抽到一個(gè)容量為100

的樣本，由樣本數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)1015x252010若用每組的中點(diǎn)值來代表該組數(shù)據(jù)，則估計(jì)總體的平均數(shù)為（）A.42 B.44 C.46 D.48【答案】C【解析】由已知得，估計(jì)總體的平均數(shù)為．故選：C．4.以坐標(biāo)原點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將該拋物線向右平移1個(gè)單位長度，所得拋物線以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，故拋物線的方程為，再將其向左平移1個(gè)單位長度，得原拋物線的方程為.故選：B.5.已知圓錐的高為4，側(cè)面積是底面積的3倍，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意知，所以，又，所以，所以圓錐的體積．故選：D6.已知函數(shù)，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知得的最小正周期：，因?yàn)椋?，而，所以的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以．不妨令，若，則，符合題意，若，則，不符合題意，故．故選：C7.已知正方體的棱長為常數(shù)，點(diǎn)P在線段上（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P且垂直于的平面截正方體所得截面的周長為y，若，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)平面和平面分別與交于點(diǎn)Q，R，當(dāng)點(diǎn)P在線段AQ和線段上時(shí)，截面是正三角形，當(dāng)點(diǎn)P越靠近點(diǎn)A或越靠近點(diǎn)時(shí)，截面周長越小，且變化是線性的．當(dāng)點(diǎn)P在線段QR上（不含點(diǎn)Q，R）時(shí)，截面是六邊形EFGHMN，且，，，，所以，所以，所以六邊形EFGHMN的周長與的周長相等．綜上可知y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為D．故選：D8.已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則l的方程為，由，得，設(shè)，，則，①．因?yàn)椋寓冢散佗诳傻?，再結(jié)合，，得，解得．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若向量，，，則（）A. B.C. D.在上的投影向量是【答案】CD【解析】因?yàn)橄蛄?，，，?duì)于A，，故

A

錯(cuò)誤；對(duì)于B，，與不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，，故C正確；對(duì)于D，在上的投影向量為，故D正確．故選：CD.10.記等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，已知，且，，成等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.，，成等比數(shù)列B.若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為C.若，則存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，D.若，則【答案】BCD【解析】因?yàn)?，且，，成等差?shù)列，所以，所以，解得或.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，所以，所以的前項(xiàng)和為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，由于呈指數(shù)增長，而呈線性增長，因此當(dāng)足夠大時(shí)，必有，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則稱是“T函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.是T函數(shù)B.若是定義域?yàn)榈腡函數(shù)，則C.若對(duì)任意成遞增等差數(shù)列的4個(gè)數(shù)，，，，都有,則是T函數(shù)D.若是定義域?yàn)榈腡函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意得，，所以是T函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，因?yàn)槭荰函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，成遞增的等差數(shù)列，故可設(shè)：，，，，，考慮函數(shù)，因?yàn)?，所以，但，，所以不是T函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭荰函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，任意選取，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，左邊是關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)直線的性質(zhì)知，這里的是任意選取的，所以，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，且，則______．【答案】【解析】因，則，，又，則，又，則.故答案為：13.五人計(jì)劃假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四個(gè)景點(diǎn)供選擇，若每人隨機(jī)選一個(gè)景點(diǎn)，則僅有兩個(gè)景點(diǎn)被選到的概率為_____.【答案】【解析】五個(gè)人任意選擇景點(diǎn)，不同的選擇方案有：種；若僅有兩個(gè)景點(diǎn)被選到，則不同的選擇方案有：種，僅有兩個(gè)景點(diǎn)被選到的概率.故答案為：.14.設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則______．【答案】12【解析】因?yàn)?，所以該式的前?xiàng)都為，后項(xiàng)都為，所以，，所以且，得，因?yàn)椋?，所以，所以，故．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且，求．解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，又因?yàn)椋喌?，因?yàn)?，則，可得，且，所以．（2）因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，則，可得，所以．由余弦定理可得，因?yàn)椋瑒t，整理得，即，解得或．16.如圖，在三棱臺(tái)中，平面ABC，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：平面AMC；（2）求平面和平面AMC夾角的余弦值．（1）證明：如圖，連接，由題意知平面，所以，又，，所以，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又，，所以平面，所以．因?yàn)椋云矫鍭MC．（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，取，由（1）知平面AMC的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以平面和平面AMC夾角的余弦值為．17.在一次軍事演習(xí)中，某炮兵部隊(duì)有甲、乙、丙三門火炮對(duì)敵方目標(biāo)M進(jìn)行射擊，現(xiàn)設(shè)計(jì)了以下規(guī)則：每次讓一門火炮對(duì)M射擊一次，如果沒有擊中M就換另一門火炮進(jìn)行射擊，如果擊中M或甲、乙、丙都射擊過一次就停止射擊．已知甲、乙、丙每次射擊擊中M的概率分別為，，，且每次射擊相互獨(dú)立．（1）若按甲、乙、丙的順序進(jìn)行射擊，且，，，求M被擊中的概率；（2）若安排乙第二個(gè)射擊，且，要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該安排哪一門火炮第一個(gè)射擊？解：（1）設(shè)事件A表示“M被擊中”，則．（2）設(shè)射擊的總次數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3．若按甲、乙、丙的順序射擊，則，，，所以．若按丙、乙、甲的順序射擊，同