2025屆河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（五）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（五）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求的否定是：.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則所以.故選：C3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，所以在上的投影向量為.故選：C4.已知均為正數(shù)，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】由均為正數(shù)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D5.同時(shí)滿足：①偶數(shù)；②沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；③個(gè)位數(shù)不為0，這三個(gè)條件的數(shù)有（）A.64個(gè) B.128個(gè) C.196個(gè) D.256個(gè)【答案】D【解析】個(gè)位數(shù)的選擇：由于是偶數(shù)且個(gè)位不能為0，個(gè)位只能是2、4、6、8中的一個(gè)，共有4種選擇.百位數(shù)的選擇：百位不能為0，且不能與個(gè)位數(shù)字重復(fù).因此，對(duì)于每個(gè)個(gè)位數(shù)，百位有8種選擇（1-9中排除個(gè)位數(shù)）.十位數(shù)的選擇：十位可以是0-9中排除百位和個(gè)位已經(jīng)使用的數(shù)字，剩下的8種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理同時(shí)滿足題設(shè)三個(gè)條件得數(shù)得總個(gè)數(shù)為種.故選：D.6.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C7.已知過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線與圓交于，兩點(diǎn)（為圓心），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線l的方程為：，圓心到直線距離，弦長(zhǎng)，所以，當(dāng)時(shí)，面積S最大，這時(shí)，整理得，解得，所以直線的斜率為．故選：B8.已知橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)分別為，離心率分別為是的一個(gè)公共點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由，得，，由，得，在中，，由余弦定理得，由橢圓定義得，即，由雙曲線定義得，即，所以.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.近些年食品安全問(wèn)題日益突出，為了達(dá)到宣傳食品安全防范意識(shí)的目的，某市組織全市中學(xué)生食品安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．某高中采用分層抽樣的方式從該校的高一?二?三年級(jí)中抽取10名同學(xué)作為代表隊(duì)參賽，已知該校高一?二?三年級(jí)的人數(shù)比例為，統(tǒng)計(jì)并記錄抽取到的10名同學(xué)的成績(jī)（滿分100分）為：，則（）A.中位數(shù)為90 B.分位數(shù)為92C.方差為58 D.代表隊(duì)中高三同學(xué)有4人【答案】AC【解析】將10名同學(xué)的成績(jī)從小到大排列為：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，對(duì)于A，中位數(shù)為，A正確；對(duì)于B，由，得分位數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平均數(shù)為，方差，C正確；對(duì)于D，由分層抽樣，得高三年級(jí)的同學(xué)有人，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為2B.為圖象的一條對(duì)稱軸C.在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減D.在區(qū)間上恰有8個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則為圖象的一條對(duì)稱軸，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整數(shù)值有8個(gè)，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，則（）A.B.是奇函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，D.（，且）【答案】ACD【解析】A：令，則，對(duì)；B：令，則，故，而且，若，則，錯(cuò)；C：當(dāng)，則，若，，則，所以，即，即是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故，所以，對(duì)；D：令，，則，即，所以，令，則，所以且，則，所以，即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，所以，又且，則，，所以，對(duì).故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【解析】拋物線化為：，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：13.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則__________．【答案】【解析】在中，由及余弦定理，得，由正弦定理得故答案為：14.光學(xué)是物理學(xué)的重要研究領(lǐng)域，點(diǎn)光源是抽象化的物理概念，指從一個(gè)點(diǎn)向周圍空間均勻發(fā)光的光源.如圖1所示，有一點(diǎn)光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出長(zhǎng)方形的影像，此時(shí)點(diǎn)光源發(fā)光所形成的空間圖形是以為頂點(diǎn)，以長(zhǎng)方形為底面的四棱錐.已知，，，直線平行于屏幕邊界.如圖2所示，將圖1的屏幕以直線為旋轉(zhuǎn)軸向箭頭方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，屏幕上映出的影像從長(zhǎng)方形變成了梯形，則四棱錐的體積為_(kāi)_____.【答案】72【解析】重新作出棱錐，如圖，分別在上且，平面與平面所成二面角是，，因?yàn)椋蔷匦?，則是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，，，又因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，所以，設(shè)，連接，所以是平面與平面所成二面角的平面角，即，易得，，，，，所以，，即，，所以，從而，中由正弦定理有，，所以，解得，同理得，所以是中點(diǎn)，所以是的中位線，，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，過(guò)作平面的垂直，則垂足在上，，所以，從而到平面的距離為，，所以，故答案為：72．四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟．15.在幾何體中，為等邊三角形，底面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，記平面和平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在等腰梯形中，由，得，而為的中點(diǎn)，則，四邊形為平行四邊形，于，又平面平面，因此平面，而平面，平面平面，則，又平面，所以直線平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，由為等邊三角形，得，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，令，解得或（舍去），所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，解得，即；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，，令，解得（舍去）或，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，解得，即.綜上所述，的取值范圍是.17.已知甲和乙配合做壓軸題，從4道壓軸題（每題均為2問(wèn)）中隨機(jī)選擇3道，甲做第一問(wèn)，乙做第二問(wèn).4道題中甲會(huì)做其中3道題的第一問(wèn)，若甲能做出第一問(wèn)，則乙做出第二問(wèn)的概率是；若甲做不出第一問(wèn)，則乙也做不出第二問(wèn)．（1）求甲和乙配合做出2道題的概率；（2）記甲和乙配合做出題目的個(gè)數(shù)為，求的分布列和期望．解：（1）甲乙配合做出2道題的事件為，則需要抽中2個(gè)或3個(gè)甲會(huì)做的題，且乙做對(duì)其中2道，因此，所以甲和乙配合做出2道題的概率為．（2）依題意，隨機(jī)變量可能的取值為，可得，，，．所以的分布列為0123數(shù)學(xué)期望.18.已知數(shù)列滿足，且．（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：．（附：當(dāng)時(shí)，）證明：（1）由題意可得.構(gòu)造函數(shù)，則，在單調(diào)遞增.所以，即任意時(shí)，.，，且，且，故.（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，且，所以，綜合①②可知，對(duì)任意，成立.，，由，則，即，，數(shù)列為遞增數(shù)列，，即.（3）要證，由，故即證.當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，由題附結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，，所以，即，由，故在式兩邊同除以得，所以，即，，，由，可得數(shù)列是正項(xiàng)遞減數(shù)列，又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)遞增數(shù)列，所以，則，又，，，綜上所述，對(duì)任意，都有，故，得證.19.給定平面上一些點(diǎn)的集合D及若干個(gè)點(diǎn)若對(duì)于為定值，我們就稱為一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)集.（1）判斷集合與點(diǎn)構(gòu)成的是不是穩(wěn)定點(diǎn)集，并說(shuō)明理由；（2）判斷集合以及點(diǎn)構(gòu)成的是不是穩(wěn)定點(diǎn)集，并說(shuō)明理由；（3）若集合及單位圓中的內(nèi)接2024邊形的頂點(diǎn)，，，構(gòu)成的是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)集，求的值.解：（1）不是穩(wěn)定點(diǎn)集，理由如下：取，則；取，則，故不是穩(wěn)定點(diǎn)集.（2）是穩(wěn)定點(diǎn)集，理由如下：設(shè)，，則，則，為定值，故是穩(wěn)定點(diǎn)集.（3）因?yàn)槭欠€(wěn)定點(diǎn)集，設(shè)是單位圓上任意一點(diǎn)，所以為定值，所以，因?yàn)?，故，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以為定值，因?yàn)槭菃挝粓A上任意一點(diǎn)，所以，故.河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（五）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求的否定是：.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則所以.故選：C3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，所以在上的投影向量為.故選：C4.已知均為正數(shù)，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】由均為正數(shù)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D5.同時(shí)滿足：①偶數(shù)；②沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；③個(gè)位數(shù)不為0，這三個(gè)條件的數(shù)有（）A.64個(gè) B.128個(gè) C.196個(gè) D.256個(gè)【答案】D【解析】個(gè)位數(shù)的選擇：由于是偶數(shù)且個(gè)位不能為0，個(gè)位只能是2、4、6、8中的一個(gè)，共有4種選擇.百位數(shù)的選擇：百位不能為0，且不能與個(gè)位數(shù)字重復(fù).因此，對(duì)于每個(gè)個(gè)位數(shù)，百位有8種選擇（1-9中排除個(gè)位數(shù)）.十位數(shù)的選擇：十位可以是0-9中排除百位和個(gè)位已經(jīng)使用的數(shù)字，剩下的8種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理同時(shí)滿足題設(shè)三個(gè)條件得數(shù)得總個(gè)數(shù)為種.故選：D.6.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C7.已知過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線與圓交于，兩點(diǎn)（為圓心），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線l的方程為：，圓心到直線距離，弦長(zhǎng)，所以，當(dāng)時(shí)，面積S最大，這時(shí)，整理得，解得，所以直線的斜率為．故選：B8.已知橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)分別為，離心率分別為是的一個(gè)公共點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由，得，，由，得，在中，，由余弦定理得，由橢圓定義得，即，由雙曲線定義得，即，所以.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.近些年食品安全問(wèn)題日益突出，為了達(dá)到宣傳食品安全防范意識(shí)的目的，某市組織全市中學(xué)生食品安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．某高中采用分層抽樣的方式從該校的高一?二?三年級(jí)中抽取10名同學(xué)作為代表隊(duì)參賽，已知該校高一?二?三年級(jí)的人數(shù)比例為，統(tǒng)計(jì)并記錄抽取到的10名同學(xué)的成績(jī)（滿分100分）為：，則（）A.中位數(shù)為90 B.分位數(shù)為92C.方差為58 D.代表隊(duì)中高三同學(xué)有4人【答案】AC【解析】將10名同學(xué)的成績(jī)從小到大排列為：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，對(duì)于A，中位數(shù)為，A正確；對(duì)于B，由，得分位數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平均數(shù)為，方差，C正確；對(duì)于D，由分層抽樣，得高三年級(jí)的同學(xué)有人，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為2B.為圖象的一條對(duì)稱軸C.在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減D.在區(qū)間上恰有8個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則為圖象的一條對(duì)稱軸，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整數(shù)值有8個(gè)，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，則（）A.B.是奇函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，D.（，且）【答案】ACD【解析】A：令，則，對(duì)；B：令，則，故，而且，若，則，錯(cuò)；C：當(dāng)，則，若，，則，所以，即，即是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故，所以，對(duì)；D：令，，則，即，所以，令，則，所以且，則，所以，即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，所以，又且，則，，所以，對(duì).故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【解析】拋物線化為：，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：13.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則__________．【答案】【解析】在中，由及余弦定理，得，由正弦定理得故答案為：14.光學(xué)是物理學(xué)的重要研究領(lǐng)域，點(diǎn)光源是抽象化的物理概念，指從一個(gè)點(diǎn)向周圍空間均勻發(fā)光的光源.如圖1所示，有一點(diǎn)光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出長(zhǎng)方形的影像，此時(shí)點(diǎn)光源發(fā)光所形成的空間圖形是以為頂點(diǎn)，以長(zhǎng)方形為底面的四棱錐.已知，，，直線平行于屏幕邊界.如圖2所示，將圖1的屏幕以直線為旋轉(zhuǎn)軸向箭頭方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，屏幕上映出的影像從長(zhǎng)方形變成了梯形，則四棱錐的體積為_(kāi)_____.【答案】72【解析】重新作出棱錐，如圖，分別在上且，平面與平面所成二面角是，，因?yàn)椋蔷匦?，則是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，，，又因?yàn)椋矫?，所以平面，而平面，所以，設(shè)，連接，所以是平面與平面所成二面角的平面角，即，易得，，，，，所以，，即，，所以，從而，中由正弦定理有，，所以，解得，同理得，所以是中點(diǎn)，所以是的中位線，，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，過(guò)作平面的垂直，則垂足在上，，所以，從而到平面的距離為，，所以，故答案為：72．四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟．15.在幾何體中，為等邊三角形，底面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，記平面和平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在等腰梯形中，由，得，而為的中點(diǎn)，則，四邊形為平行四邊形，于，又平面平面，因此平面，而平面，平面平面，則，又平面，所以直線平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，由為等邊三角形，得，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，，令，解得或（舍去），所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，解得，即；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，解得（舍去）或，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，解得，即.綜上所述，的取值范圍是.17.已知甲和乙配合做壓軸題，從4道壓軸題（每題均為2問(wèn)）中隨機(jī)選擇3道，甲做第一問(wèn)，乙做第二問(wèn).4道題中甲會(huì)做其中3道題的第一問(wèn)，若甲能做出第一問(wèn)，則乙做出第二問(wèn)的