2025屆江蘇省蘇州市九校高三下學(xué)期決勝高考大聯(lián)考一數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省蘇州市九校2025屆高三下學(xué)期決勝高考大聯(lián)考一數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則，故選：A．2.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，所以在上的投影向量為，故選：B.3.某普通高中高二年級學(xué)生參加體育學(xué)業(yè)水平考試立定跳遠(yuǎn)項目模擬測試，甲、乙兩位同學(xué)連續(xù)5次的測試數(shù)據(jù)如下表單位：甲210220216220230乙215212216223249下列說法錯誤的是（）A.甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)的眾數(shù)為220 B.乙同學(xué)測試數(shù)據(jù)的極差為37C.甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)的分位數(shù)為220 D.乙同學(xué)測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)為223【答案】C【解析】對于A，220出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以為眾數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以極差為37，故B正確；對于C，將甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)從小到大排列：.因為，所以分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，所以，，即．故選：B．5.已知，分別為橢圓的左，右焦點，為上的一點，且，，，則的短軸長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，所以的短軸長為.故選：B．6.已知圓錐的底面半徑為3，圓錐內(nèi)的最大球的表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由球的表面積公式，即圓錐內(nèi)的最大球的直徑為，圓錐軸截面如圖，則，，因為，所以，設(shè)，則，，則，在中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積為．故選：B．7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上有最大值沒有最小值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，則，因為在上有最大值沒有最小值，所以，，又因為的圖象關(guān)于直線對稱，則，，解得，，所以當(dāng)時，符合要求.故選：D．8.若的三個內(nèi)角均小于120°，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個向量，向量，滿足，且，，則的最小值是（）A.9 B. C.6 D.【答案】C【解析】設(shè)，，，，，，，則，，，所以，因為為等邊三角形，由題意，等邊的費馬點為的中心，此時取最小值，所以，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，（）（為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以，，所以，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，因，，因為，所以，C正確；對于D，若，則，所以點到點的距離小于等于，故點在以為圓心，為半徑的圓上或圓內(nèi)，所以原點到的距離的最大值為原點到圓心的距離加半徑，所以，D正確，故選：ACD．10.已知是拋物線的焦點，M，N是C上的點，O為坐標(biāo)原點．則（）A.B.若，則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為2C.以MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切D.當(dāng)時，【答案】ABD【解析】由題意可得，解得，A正確；如圖，作準(zhǔn)線，垂足為，作準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線性質(zhì)得，所以線段MN的中點到準(zhǔn)線的距離為，所以線段MN的中點到軸的距離為，B正確：由B可知，的中點到準(zhǔn)線的距離，以為直徑的圓的半徑為，當(dāng)時，圓與準(zhǔn)線相切，所以只有當(dāng)線段MN過拋物線焦點時，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，否則不正確，C錯誤；設(shè)，，若．則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等．故選ABD．11.在經(jīng)濟增長模型中，假設(shè)某種經(jīng)濟指標(biāo)的增長與一種特殊函數(shù)關(guān)系密切相關(guān)．定義增長正弦函數(shù)為，增長余弦函數(shù)為，增長正切函數(shù)．則（）A.增長余弦函數(shù)是偶函數(shù)B.增長正弦函數(shù)是增函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，，故增長余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；對于B，的定義域為，為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，故B正確；對于C，若，則，解得，所以，故C錯誤；對于D，，=,，，,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，取到最小值.故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.已知，則__________．【答案】【解析】因為為展開式中的系數(shù)，展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)，所以．故答案為：.13.已知函數(shù)的定義域為R，．若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則__________．【答案】2【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，則，所以為周期函數(shù)，且周期為4，因為，所以為周期函數(shù)，且周期為4，所以．故答案為：214.如圖，一圓形紙片的圓心為，半徑為，以為中心作正六邊形，以正六邊形的各邊為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點恰好落在圓上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖形如圖所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺．若該正六棱臺的高為，則其體積為__________．【答案】【解析】如圖，以為底邊的等腰三角形的中位線為，連接，分別交，與點，，則，分別為，的中點，設(shè)，則由中位線和正六邊形性質(zhì)得，，，折疊后形成的正六棱臺如圖所示，由正六邊形性質(zhì)得，，，連接，則是正六棱臺的高，即，過點作，交于點，由正六棱臺結(jié)構(gòu)特征可知平面，平面，，在中，，解得，正六棱臺的上下底面的邊長分別為和，正六棱錐上底面面積為，下底面面積為，該正六棱臺的體積為．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的前項和；（2）證明：．（1）解：由，取倒數(shù)可得，令，化簡可得，則，解得，由，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，可得，則.（2）證明：由（1）可得，則，由，則，，由函數(shù)上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，由在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，所以.16.如圖，在直四棱柱中，，，，．點在棱上，平面與棱交于點．（1）求證：；（2）若與平面所成角的正弦值是，求三角形的面積．（1）解：在直四棱柱中中，平面，平面，，連接，，，，又，，，，平面，，平面，平面，．（2）解：以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，平面的法向量為，，則，解得，則，，，設(shè)，，因為四點共面，則，，解得，，，，為棱的中點．所以，，，，所以，所以三角形的面積．17.已知雙曲線過點，，是雙曲線的左右頂點，且．（1）求雙曲線的方程：（2）直線過點交雙曲線于點，，直線，交于點，求的最大值．解：（1）因為，是雙曲線左右頂點，且，即，得，將點代入雙曲線方程得，解得，所以雙曲線方程為．（2）由已知可得直線的斜率不為零，所以設(shè)直線，，，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去得，方程的判別式，由韋達定理得，，且，直線，直線，聯(lián)立直線與直線方程，解得，即直線與直線交點在直線上，點關(guān)于直線的對稱點，所以，所以，當(dāng)點在直線與直線的交點時，即點、、共線時，取到最大值．18.甲，乙兩名圍棋學(xué)員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽中當(dāng)一方比另一方多兩分比賽中止，多得兩分的一方鴍得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨立．（1）若，，，求進行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；（2）當(dāng)時，（i）若比賽最多進行6局（若到第6局時未分出勝負(fù)，也結(jié)束比賽），求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)的分布列及期望的最大值；（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用，表示），無需寫出過程．解：（1）4局比賽結(jié)束后甲學(xué)員贏得比賽，甲乙學(xué)員的得分情況為2：0，3：1，若甲乙學(xué)員得分情況為2：0，概率，若甲乙學(xué)員得分情況為3：1，概率，所以4局比賽結(jié)束甲學(xué)員贏得比賽的概率為．（2）（i）因為，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得X的所有可能取值為2，4，6，則，，，所以X的分布列為：X246P所以X的期望，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以，所以．故的最大值為；（ii）記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M，當(dāng)甲，乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，所以，所以，即，因為，所以．19.設(shè)函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，區(qū)間是的一個非空子集．若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，存在實數(shù)，使得，且使得成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為上的“函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是上的“函數(shù)”．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：，．解：（1）因為，則，因為，．又，所以，所以對于任意恒成立．故是上的“函數(shù)”．（2）（?。蓷l件得對任意的恒成立，即任意的恒成立．①當(dāng)時，對一切成立．②當(dāng)時，恒成立．設(shè)，則對任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞減，可得．③當(dāng)時，由恒成立．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，可得．綜上所述，的范圍是．（ⅱ）證明：由（?。┲畬?，．下面證：，，即證，．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立．所以時，不等式成立．所以，成立．江蘇省蘇州市九校2025屆高三下學(xué)期決勝高考大聯(lián)考一數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則，故選：A．2.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，所以在上的投影向量為，故選：B.3.某普通高中高二年級學(xué)生參加體育學(xué)業(yè)水平考試立定跳遠(yuǎn)項目模擬測試，甲、乙兩位同學(xué)連續(xù)5次的測試數(shù)據(jù)如下表單位：甲210220216220230乙215212216223249下列說法錯誤的是（）A.甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)的眾數(shù)為220 B.乙同學(xué)測試數(shù)據(jù)的極差為37C.甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)的分位數(shù)為220 D.乙同學(xué)測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)為223【答案】C【解析】對于A，220出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以為眾數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以極差為37，故B正確；對于C，將甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)從小到大排列：.因為，所以分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，所以，，即．故選：B．5.已知，分別為橢圓的左，右焦點，為上的一點，且，，，則的短軸長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，所以的短軸長為.故選：B．6.已知圓錐的底面半徑為3，圓錐內(nèi)的最大球的表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由球的表面積公式，即圓錐內(nèi)的最大球的直徑為，圓錐軸截面如圖，則，，因為，所以，設(shè)，則，，則，在中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積為．故選：B．7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上有最大值沒有最小值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，則，因為在上有最大值沒有最小值，所以，，又因為的圖象關(guān)于直線對稱，則，，解得，，所以當(dāng)時，符合要求.故選：D．8.若的三個內(nèi)角均小于120°，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個向量，向量，滿足，且，，則的最小值是（）A.9 B. C.6 D.【答案】C【解析】設(shè)，，，，，，，則，，，所以，因為為等邊三角形，由題意，等邊的費馬點為的中心，此時取最小值，所以，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，（）（為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以，，所以，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，因，，因為，所以，C正確；對于D，若，則，所以點到點的距離小于等于，故點在以為圓心，為半徑的圓上或圓內(nèi)，所以原點到的距離的最大值為原點到圓心的距離加半徑，所以，D正確，故選：ACD．10.已知是拋物線的焦點，M，N是C上的點，O為坐標(biāo)原點．則（）A.B.若，則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為2C.以MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切D.當(dāng)時，【答案】ABD【解析】由題意可得，解得，A正確；如圖，作準(zhǔn)線，垂足為，作準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線性質(zhì)得，所以線段MN的中點到準(zhǔn)線的距離為，所以線段MN的中點到軸的距離為，B正確：由B可知，的中點到準(zhǔn)線的距離，以為直徑的圓的半徑為，當(dāng)時，圓與準(zhǔn)線相切，所以只有當(dāng)線段MN過拋物線焦點時，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，否則不正確，C錯誤；設(shè)，，若．則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等．故選ABD．11.在經(jīng)濟增長模型中，假設(shè)某種經(jīng)濟指標(biāo)的增長與一種特殊函數(shù)關(guān)系密切相關(guān)．定義增長正弦函數(shù)為，增長余弦函數(shù)為，增長正切函數(shù)．則（）A.增長余弦函數(shù)是偶函數(shù)B.增長正弦函數(shù)是增函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，，故增長余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；對于B，的定義域為，為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，故B正確；對于C，若，則，解得，所以，故C錯誤；對于D，，=,，，,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，取到最小值.故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.已知，則__________．【答案】【解析】因為為展開式中的系數(shù)，展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)，所以．故答案為：.13.已知函數(shù)的定義域為R，．若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則__________．【答案】2【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，則，所以為周期函數(shù)，且周期為4，因為，所以為周期函數(shù)，且周期為4，所以．故答案為：214.如圖，一圓形紙片的圓心為，半徑為，以為中心作正六邊形，以正六邊形的各邊為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點恰好落在圓上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖形如圖所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺．若該正六棱臺的高為，則其體積為__________．【答案】【解析】如圖，以為底邊的等腰三角形的中位線為，連接，分別交，與點，，則，分別為，的中點，設(shè)，則由中位線和正六邊形性質(zhì)得，，，折疊后形成的正六棱臺如圖所示，由正六邊形性質(zhì)得，，，連接，則是正六棱臺的高，即，過點作，交于點，由正六棱臺結(jié)構(gòu)特征可知平面，平面，，在中，，解得，正六棱臺的上下底面的邊長分別為和，正六棱錐上底面面積為，下底面面積為，該正六棱臺的體積為．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的前項和；（2）證明：．（1）解：由，取倒數(shù)可得，令，化簡可得，則，解得，由，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，可得，則.（2）證明：由（1）可得，則，由，則，，由函數(shù)上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，由在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，所以.16.如圖，在直四棱柱中，，，，．點在棱上，平面與棱交于點．（1）求證：；（2）若與平面所成角的正弦值是，求三角形的面積．（1）解：在直四棱柱中中，平面，平面，，連接，，，，又，，，，平面，，平面，平面，．（2）解：以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，平面的法向量為，，則，解得，則，，，設(shè)，，因為四點共面，則，，解得，，，，為棱的中點．所以，，，，所以，所以三角形的面積．17.已知雙曲線過點，，是雙曲線的左右頂點，且．（1）求雙曲線的方程：（2）直線過點交雙曲線于點，，直線，交于點，求的最大值．解：（1）因為，是雙曲線左右頂點，且，即，得，將點代入雙曲線方程得，解得，所以雙曲線方程為．（2）由已知可得直線的斜率不為零，所以設(shè)直線，，，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去得，方程的判別式，由韋達定理得，，且，直線，直線，聯(lián)立直線與直線方程，解得，即直線與直線交點在直線上，點關(guān)于直線的對稱點，所以，所以，當(dāng)點在直線與直線的交點時，即點、、共線時，取到最大值．18.甲，乙兩名圍棋學(xué)員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽中當(dāng)一方比另一方多兩分比賽中止，多得兩分的一方鴍得比賽．已