湖北省部分高中2024-2025學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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文檔簡介

2025年湖北省部分高中春季高一年級期中聯(lián)考數(shù)學本試卷共4頁,19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后,請將答題卡上交.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.下列命題中正確的是()A.若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合B.模相等的兩個平行向量是相等向量C.零向量沒有方向D.若,是兩個平行向量,則,也是共線向量【答案】D【解析】【分析】由相等向量、零向量及共線向量的概念逐個判斷即可.【詳解】對于AB,兩個向量大小相等,方向相同即為相等向量,故AB錯誤;對于C,零向量的方向是任意,故C錯,對于D,平行向量又稱共線向量,正確,故選:D2.已知,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式和三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解:因為,所以,.故選:D3.若,是平面內(nèi)一組不共線的向量,則下列各組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A.與 B.與C.與 D.與【答案】D【解析】【分析】分別驗證四個選項中的兩向量是否共線即可選出正確答案.【詳解】因為,是平面內(nèi)一組不共線的向量,設(shè),無解,,能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底,所以A選項錯誤;設(shè),則,無解,不平行,能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底,所以B選項錯誤;設(shè),則,無解,能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底,所以C選項錯誤;,,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底,D選項正確;故選:D.4.將函數(shù)的圖象縱坐標不變,橫坐標縮小為原來倍,然后再向左平移個單位長度后,得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的值可以為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由誘導公式及兩角差的正弦公式得出,再根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換得出,由關(guān)于軸對稱,即可求解.【詳解】,將圖象縱坐標不變,橫坐標縮小為原來倍,然后再向左平移個單位長度后,得,又因為的圖象關(guān)于軸對稱,所以,所以,當時,,故選:B,5.已知,,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出,,再根據(jù)兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】因為,所以,所以,,所以,故選:C.6.已知函數(shù)(,)的圖象如圖所示,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦型函數(shù)圖象的周期性和特殊點值分別求出參數(shù)即可.【詳解】由圖象可知,函數(shù)的最小正周期滿足,即,所以,且,故解得.又由圖象可知,時,,即,則,即,又因為,所以.所以.故選:B.7.在中,角所對的邊分別為,,,已知,,,若滿足題意的三角形有兩個,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意有,利用正弦定理有,即可求解.【詳解】由正弦定理有,又,所以,故選:B.8.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波.我們聽到的每個音都是由純音合成的,純音的數(shù)學模型是函數(shù).音有四要素:音調(diào)、響度、音長和音色,它們都與函數(shù)中的參數(shù)有關(guān),比如:響度與振幅有關(guān),振幅越大響度越大,振幅越小響度越??;音調(diào)與頻率有關(guān),頻率低的聲音低沉,頻率高的聲音尖利.像我們平時聽到樂音不只是一個音在響,而是許多音的結(jié)合,稱為復合音.我們聽到的聲音函數(shù)是.結(jié)合上述材料及所學知識,你認為下列說法中錯誤的是()A.是函數(shù)()的對稱中心B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,滿足題意的的值組成集合,則C.若某聲音甲對應(yīng)函數(shù)近似為,則聲音甲的響度一定比純音響度小D.若某聲音乙對應(yīng)函數(shù)近似為,則聲音乙一定比純音更低沉【答案】C【解析】【分析】對于A:根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心判斷;對于B:觀察函數(shù)單調(diào)性判斷;對于C:確定函數(shù)周期來判斷;對于D:確定函數(shù)頻率來判斷.【詳解】對于A:由正弦函數(shù)的對稱中心可得是函數(shù)()的對稱中心,故A正確;對于B:由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得當時為遞增函數(shù);當時為增函數(shù);當時為增函數(shù);當為增函數(shù),由復合函數(shù)的單調(diào)性可得原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當時,,故B正確;對于C:,即的振幅比的振幅大,又響度與振幅有關(guān),振幅越大響度越大,振幅越小響度越小,所以聲音甲的響度一定比純音響度大,故C錯誤;對于D:因為,所以的一個周期為,假設(shè)存在一個為的一個周期,則,即,所以,因為,,所以不符合題意,所以的最小正周期為,頻率為,的頻率為,,所以聲音乙一定比純音更低沉,故D正確.故選:C二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.若向量,,則()A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積、模長公式、夾角的坐標運算以及投影向量的定義,逐項計算判斷即可.【詳解】對于A,,故A正確;對于B,,所以,故B錯誤;對于C,設(shè)與的夾角為,則,因為,所以,故C正確;對于D,在方向上的投影向量為,故D正確.故選:ACD.10.下列說法正確的是()A.若向量,滿足,則與夾角為鈍角B.,是平面內(nèi)一組不共線的向量,如果,,,則,,三點共線C.在任意銳角中,恒成立D.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心【答案】BC【解析】【分析】由共線反向可判斷A,由向量共線可判斷B,由兩角和的正切公式可判斷C,由二倍角公式及輔助角公式化簡可判斷D.【詳解】對于A,當,共線反向時,夾角為,此時滿足,故A錯誤,對于B:,又有公共點,所以,,三點共線,B正確,對于C:在任意銳角中,由,得:,化簡可得:,C正確,對于D,,顯然對稱中心的縱坐標為,D錯誤,故選:BC11.如圖,已知,,,,其內(nèi)有一點,滿足,過點的直線分別交,于點,.設(shè),(,),則下列說法正確的是()A. B.點為的重心C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A由得,對于B取的中點為,,利用重心的性質(zhì)即可判斷,對于C由,利用三點共線即可判斷,對于D設(shè)中點為,計算,利用重心的性質(zhì)得.【詳解】對于A:由有,故A錯誤;對于B:取的中點為,由又,所以點共線,且為三等分點,即為的重心,故B正確;對于C:由,又三點共線,即,故C正確;對于D:設(shè)中點為,則有,又,即,所以,在中有,又為重心,所以,故D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.當時,不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦線解不等式得解.【詳解】如圖所示,正弦線大于等于的角的終邊在圖中的陰影部分區(qū)域,所以不等式的解集為.故答案為【點睛】本題主要考查正弦線,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知向量,,,若,,則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運算,向量共線及向量垂直的坐標公式列出方程組即可求解.【詳解】由題可得,,,因為,,所以①,②,①②得,故答案為:.14.如圖,半徑為2的圓上的點到直線的最小距離恰好也是2,是圓的任意一直徑,是上動點,則的最小值為_____.【答案】12【解析】【分析】由題意可推得,根據(jù)已知條件得出,,即可得出答案.詳解】由已知可得,,所以由已知可知,,,所以,.故答案為:.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.用“五點法”作函數(shù)(,,)在某一個周期的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),見下表:020(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),直接寫出函數(shù)的解析式,并求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1),().(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可求解析式,整體代入可得減區(qū)間;(2)分離參數(shù)求解最值可得答案或者利用數(shù)形結(jié)合法可得答案.【小問1詳解】由題意知,,令,解得,,即的單調(diào)遞減區(qū)間為().【小問2詳解】解法一:在區(qū)間恒成立,即在區(qū)間恒成立,所以.由于,則,所以.即恒成立,所以,所以的取值范圍為.解法二:在區(qū)間恒成立,即在區(qū)間恒成立,所以,通過題干五點法作圖以及函數(shù)以為周期,作部分簡圖如下:由圖可知:,即的取值范圍為.16.已知向量,滿足.(1)求與的夾角;(2)若,求實數(shù)的值;(3)求與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)(3).【解析】【分析】(1)由數(shù)量積的運算律結(jié)合向量夾角的公式計算可得;(2)由向量垂直數(shù)量積為零計算可得;(3)先由數(shù)量積運算律和模長的計算求出兩向量的模長,再代入夾角公式計算可得.【小問1詳解】記,所成角為,有,則,即,又.所以,又,因為,所以.因為,所以.【小問2詳解】因為,所以,展開得,又由,,得【小問3詳解】因為,∴因為,所以可得.所以與的夾角的余弦值為.17.在中,角,,所對的邊分別為,,,.(1)求角;(2)若,,求的周長.【答案】(1)(2)20【解析】【分析】(1)根據(jù)誘導公式及兩角和與差的正弦公式即可求解;(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求得,再根據(jù)余弦定理得出,即可求解周長.【小問1詳解】由,得,所以又,所以,所以,因為,所以.【小問2詳解】因為,所以,則,又,余弦定理,所以,可得,即,所以,即的周長為20.18.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械游樂設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上旋轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.如圖該摩天輪最高點距離地面高度為,轉(zhuǎn)盤直徑為,開啟時按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙,轉(zhuǎn)一周需要.(1)以軸心為原點,與地面平行的直線為軸,所在的直線為軸建立平面直角坐標系,游客甲坐上摩天輪的座艙,開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為,求在轉(zhuǎn)動一周的過程中,關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)若游客甲在點進入座艙時,游客乙此時恰好在處(軸與圓的交點),(i)在運行一周的過程中,運行兩人首次距離地面的高度相等,求時間;(ii)當座艙距離地面的高度不低于時,能鳥瞰全城壯觀景色,因此這段時間被稱為“震撼時刻”,求游客甲在開始運行一周的過程中,甲處于“震撼時刻”的時間段.【答案】(1)(2)(i);(ii)第六分鐘到第十二分鐘為“震撼時刻”【解析】【分析】(1)設(shè),,,根據(jù)最大值、最小值求,根據(jù)周期求,根據(jù)初始位置求即可;(2)(i)同(1)求出乙的座艙高度與時間函數(shù)為,令即可解方程;(ii)結(jié)合余弦函數(shù)圖象解不等式即可.【小問1詳解】設(shè),,由題意可知,,,則,,又易知,所以,得,又當時,,則,因,則,所以,化簡得.【小問2詳解】(i)設(shè)乙的座艙高度與時間函數(shù)為,同(1)可求得,因為甲乙離地面高度相等,即,可得:,即,可解得,即,故時,有最小值,即當時,甲乙首次高度相等.(ii)由題意易知,所謂“震撼時刻”,即要求,化簡得,因,則,故,則,故第六分鐘到第十二分鐘為“震撼時刻”.19.在非鈍角中,角,,所對的邊分別為,,.(1)證明:;(2)若,.(Ⅰ)求的取值范圍.(Ⅱ)當取得最小值時,(),若在內(nèi)有且只有一個零點,求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(Ⅰ);(Ⅱ)或.【解析】【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換的化簡計算即可證明;(2)(I)根據(jù)正弦定理,由(1),利用三角恒等變換的化簡計算可得,結(jié)合即可求解;(II)易知,則,作出圖形,得函數(shù)的零點依次為,,,……,分別代入建

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