小學(xué)奧數(shù)周期問題五年級

周期問題

一、知識要點(diǎn)

周期問題是指事物在運(yùn)動(dòng)變化的發(fā)展過程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的

時(shí)間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而11平時(shí)解題時(shí)也常常碰到與周期現(xiàn)象

有關(guān)的問題。這些數(shù)學(xué)問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期

的等式相對應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵。

二、精講精練

【例題1】流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅，再4個(gè)黃，再3個(gè)綠，再2個(gè)黑，

再1個(gè)白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此涂下去，到2001個(gè)小球該涂什么顏色？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即5+4+3+

2+1=15個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)周期，不斷循環(huán)。因?yàn)?001+15=133……6,也就是經(jīng)過133個(gè)周期還余6個(gè)，

每個(gè)周期中第6個(gè)是黃的，所以第2001個(gè)球涂黃色。

練習(xí)1：

1.跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏色？

2.有一串珠子，按4個(gè)紅的，3個(gè)白的，2個(gè)黑的順序重復(fù)排列，第160個(gè)是什么顏色？

……，小數(shù)點(diǎn)后面第100個(gè)數(shù)字是多少？

【例題2】有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏

色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？

【思路導(dǎo)航】（I）我們把二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47-?9=5［組）……

2（盞），余下的兩盞是第6組的前兩盞燈，是紅燈，所以最后一盞燈是紅燈；

（2）由于47+9=5（組）……2（盞），所以紅燈共有2X5+2=12（盞），占總數(shù)的12/47；藍(lán)

燈共有4X5=20（盞），占總數(shù)的20/47；黃燈共有3X5=15（盞），占總數(shù)的15/47。

練習(xí)2：

1.有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三而黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之

幾？

2.黑珠和白珠共200。顆，按規(guī)律排列著：oeoooeoooeoo……，第2000顆珠子是什

么顏色的？其中，黑珠共有多少顆？

3.在100米長的跑道兩側(cè)每隔2米站著一個(gè)同學(xué)。這些同學(xué)以一端開始，按先兩個(gè)女生，再一個(gè)

男生的規(guī)律站立著。這些同學(xué)中共有多少個(gè)女生？

【例題3】2(X)1年10月I日是星期一，那么，2002年I月1日是星期幾？

【思路導(dǎo)航】一個(gè)星期是7天，因此7天為一個(gè)周期。10月1日是星期一，是第一個(gè)周期的第

一天，再過7天即10月8日也是星期一。計(jì)算天數(shù)時(shí)為了方便，我們采用“算尾不算頭”的方法，

例如10月8日就用)+7=1.沒有余數(shù)說明8號仍是星期一。題中說從2001年10月1日到2002

年1月1日，要經(jīng)過92天，924-7=13……1.余1天就是從星期一往后數(shù)一天，即星期二。

練習(xí)3：

1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期兒？

2.如果今天是星期五，再過80天是星期幾？

3.以今天為標(biāo)準(zhǔn)，算一算今年自己的生日是星期幾？

【例題4】將奇數(shù)如下圖排列，各列分別用A、B、C、D,

E為代表，問:2001所在的列以哪個(gè)字母為代表?ABCDE

【思路導(dǎo)航】這列數(shù)按每8個(gè)數(shù)一組有規(guī)律排列著。20011357

1513119

是這一列數(shù)中的第1(X)1個(gè)數(shù)，1001+8=125……UP2001是這

17192123

列數(shù)中第126組的第一個(gè)數(shù)，所以它所在的那一列是以字母B

31292725

為代表的。

練習(xí)4：

1.將偶數(shù)2、4、6、8、……按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在

哪一列？

2.把自然數(shù)按下列規(guī)律排列，865排在哪一列？

ABCDEABCD

【例」商是整數(shù)時(shí)，；

8642123

【思110121416654

從豎;24222018欠除得的余數(shù)E789叁出現(xiàn)。我們

可以用1026283032同了。100+6=121110

?????????????????????

余數(shù)；.4、6、5、2、

練習(xí)-.

1.444……4[100個(gè)4]+3當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾?

2.444……4[100個(gè)4]+6當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾?

課后作業(yè)

思考題

所以，一定是每人少拿I個(gè)，有8+1=8個(gè)小朋友，有8X4+4=36個(gè)蘋果。

練習(xí)2：1.給小朋友分梨，如果每人分4個(gè)，則多9個(gè)：如果每人分5個(gè)，則少6個(gè)。有多少個(gè)

小朋友？有多少個(gè)梨？

2.老把一些鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。每人5支則多4支，每人7支則少4支。老師有多少支鉛筆？獎(jiǎng)

給多少個(gè)三好學(xué)生？

【例題3】幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人5個(gè)余10個(gè)；如果分

給小班的學(xué)生每人8個(gè)缺2個(gè)。已知大班比小班多3人，這筐蘋果有多少個(gè)？

【思路導(dǎo)航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣，大班每人5個(gè)就多余3X

5+10=25個(gè)。由于兩班人數(shù)相等，小班每人多分3個(gè)就要多分（25+2）個(gè)蘋果，用（25+2）+（8

-5）就能得到小班同學(xué)的人數(shù)是9人，再用9X8—2就求出了這筐蘋果有多少個(gè)。

練習(xí)3：

1.一些學(xué)生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒有破可搬。

這些學(xué)生有多少人？這批磚有多少塊？

2.老師給幼兒園小朋友分糖，每人3塊還多10塊：如果減少2個(gè)小朋友再分，每人4塊還多7

塊。原來有多少個(gè)小朋友？有多少塊糖？

【例題4】幼兒園教所把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊：如果只分給

中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？

【思路導(dǎo)航】這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友,

平均每人可多分4塊。說明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6+4=1.5倍。因此，這箱餅干分給小班的小朋

友，每位小朋友可多分到6X1.5=9塊，一共可分到6+9=15塊餅干。

練習(xí)4：1.老師把一批書借給甲組同學(xué)，平均每人借4本。如果只借給甲組的女同學(xué)，每人可借

6本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？

2.甲、乙兩組同學(xué)做紅花，每人做8朵，正好送給五年級每個(gè)同學(xué)一朵。如果把這些紅花讓甲組

同學(xué)單獨(dú)做，每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學(xué)單獨(dú)做，每人要做幾朵？

【例題5】全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個(gè)同學(xué)；如果增加?條船，每

條船正好坐6個(gè)同學(xué)。這個(gè)班有多少個(gè)同學(xué)？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個(gè)同學(xué)；每船坐6人，

就要增加一條船，也就是多出6個(gè)同學(xué)。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9+6=15人，15里

面包含5個(gè)(9-6),說明有5條船。知道了有5條船，就可以求全班人數(shù)：9X(5-1)=36人。

練習(xí)5：1.老師把一籃蘋果分給小班的同學(xué)，如果減少一個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)正好分得5個(gè)；如果

增加一個(gè)同學(xué)，正好每人分得4個(gè)。這籃革果一共有多少個(gè)？

2.五年級同學(xué)去劃船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只船上

價(jià)8人。五年級共有多少人？

課后作業(yè)

思考題

第13講長方體和正方體（一）

一、知識要點(diǎn)

在數(shù)學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點(diǎn)：

1.必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2.依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；

3.求?些不規(guī)則的物體體枳時(shí)，可以通過變形的方法來解決。

二、精講精練

【例題1】一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方

厘米？（單位：厘米）

【思路導(dǎo)航】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊的一

/一

長方體體積是10X4X2=80（立方厘米），右邊的長方體的體積是I0X（6-2）

X2=80（立方厘米），整個(gè)零件的體積是80X2=160（立方厘米）；（2）求這產(chǎn)一/

個(gè)零件的表面積，看起來比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下4

的一個(gè)面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相6

等。因此，此零件的表面積就是（10X6+10X4+2X2）X2=232（平方厘米）。想一想：你還能用

別的方法來計(jì)算它的體積嗎？

練習(xí)1：1.一個(gè)長5厘米，寬I座米，高3厘米的長方依，被切去一塊后（如圖），剩下部分的

表面積和體積各是多少？

2.把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原來的

體積。

3.有一個(gè)長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體（如

圖），求切掉正方體后的表面枳和體枳各是多少？

【例題2】有一個(gè)長方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積

和表面積嗎？（單位：厘米）

【思路導(dǎo)航】（1）先求出長方體的體積，8X5X6=240（立方厘米），由于

挖去了一個(gè)孔，所以體積減少了2X2X2=8（立方厘米），這個(gè)零件的體積是240

-8=232（立方厘米）；

8

（2）長方體完整的表面枳是（8X5+8X6+6X5）X2=236（平方厘米），

但由于挖去了一個(gè)孔，它的表面積減少了一個(gè)（2X2）平方厘米的而，同時(shí)又增加了凹進(jìn)去的5個(gè)（2

X2）平方厘米的面,因此，這個(gè)零件的表面積是236+2X2X4=252（平方厘米）。

練習(xí)2：1.有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。

2.有一個(gè)校長是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)楂長是1厘米的正方體后，剩下物

體的體枳和表面枳各是多少？

3.如果把，題中挖下的小正方體粘在另一個(gè)面，（如圖），那么得到的物體的體積和表面積各是

多少？

【例題3】一個(gè)正方體和一個(gè)長方體拼成了一個(gè)新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來的

長方體的表面積增加了5（）平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】?個(gè)正方體卻?個(gè)長方體拼成新的長方體，其表面積比

原來的長方體增加了4塊正方形的面枳，每塊正方形的面積是50+4=12.5

（平方厘米）。正方體有6個(gè)這樣的面，所以，原來正方體的表面積是12.5

X6=75（平方厘米）。

練習(xí)3：1.把兩個(gè)完全一樣的長方體木塊粘成一個(gè)大長方體，這個(gè)大長方體的表面積比原來兩個(gè)

長方體的表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24厘

米，那么它的體積是多少立方厘米？

2.?根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的?端鋸下一個(gè)最大的正方體后,

它的表面枳減少了多少平方厘米？

3.把4塊棱長都是2分米的正方體粘成一個(gè)長方體，它們的表面枳最多會(huì)減少多少平方分米?

【例題4】把11塊相同的長方體磚拼成一個(gè)大長方體。已知每塊磚的體枳是288立方厘米，求

大長方體的表面積。

【思路導(dǎo)航】要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們用a、

b、h分別表示小長方體的長、寬、高，顯然，a=4h,即h=l/4a.2a=3b即b=2/3a,

磚的體積是a*2/3a*l/4a=l/6a3。由l/6a3=288可知,a=12.b=2/3*12=8,h=l/4*12=3o

大長方體的長是12X2=24厘米，寬12厘米，高是8+3=11厘米，表面枳就不難求了。

練習(xí)4：1.一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個(gè)這樣的小正方體所組成R勺大正

方體的表面積是多少平方匣米？

2.一個(gè)長方體的體積是385立方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長方體的表面積。

3.有24個(gè)正方體，每個(gè)正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不司的長方

體？用圖畫出來。

【例題5】一個(gè)長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長方體的長、寬、高以

厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長方體的體積和表面枳各是多少？

【思路導(dǎo)航】長方體的前面和上面的面積是長X寬+長X高=長X(寬+高)，由于此長方體的

長、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=1IX19=1IX(17+2),即長、寬、高分別為

11、17、2厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。

練習(xí)5：1.有一個(gè)長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，旦長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那

么這個(gè)長方體的體積是多少？

2.一個(gè)長方體的長、寬,高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是96立方厘米，求它的表面積。

3.一個(gè)長方體和一個(gè)正方體的棱長之長相等，己知長方體長、寬、高分別是6分米、4分米、25

分米，求正方體體積。

課后作業(yè)

思考題

第14講長方體和正方體（二）

一、知識要點(diǎn)

在長方體、正方體問題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物

體：把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體：把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體積。

解答上述問題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：

1.將?個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體枳不變；

2.兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3.物體浸入水中，排開的水的體枳等于物體的體積。

二、精講精練

【例題1】有兩個(gè)無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘

米，寬32厘米，水面高20厘米：乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒

入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？

【思路導(dǎo)航】由于后來兩個(gè)水箱里的水面的高度?樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水箱并露在?

起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）X水面的高度。這樣，我們只要先求出原來甲

水箱中的體積：40X32X20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面枳和：40X32+30X24=2000

（平方厘米），就能得到后來水面的高度。

練習(xí)1：

1.有兩個(gè)水池，甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長6分米、寬和高都

是4分米?，F(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個(gè)水池中水面同樣高。問水面高多少？

2.有一個(gè)長方體水箱，從面量長40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10座米。放進(jìn)一

個(gè)棱長20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時(shí)水面高多少厘米？

3.一段鋼材長15分米，橫截面面枳是1.2平方分米。如果把它煨燒成一橫截面面積是0.1平方分

米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長,

【例題2］將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一

個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。

【思路導(dǎo)航】因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而54=6X9=6X（3X3）,所以這個(gè)正方體的棱是3

厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的楂長：96=6X（4X4）,楂長是4厘米：150=6X（5X5）,

樓長是5厘米。知道了楂長就可以分別算出它們的體枳，這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。

練習(xí)2：

1.有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米?，F(xiàn)將三

塊鐵熔成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的體積。

2.將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)正方體鐵塊熔成一個(gè)長方體，已知這個(gè)長

方體的長是13厘米，寬7厘米，求它的高。

【例題3】有一個(gè)長方體容器，從里面鼠長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3

分米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水而上升多少分米？

【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是2X2X2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的

空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個(gè)體積除以底面積（5X4）就能得到水上升的高

度了。

練習(xí)3:

1.有一個(gè)小金魚缸，長4分米、寬3分米、水深2分米,把一塊假山石浸入水中后，水面上升0.8

分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？

2.有一個(gè)正方體容器，邊長是24厘米，里面注滿了水。有一根長50厘米，橫截面是12平方厘

米的長方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會(huì)溶出多少立方厘米的水？

【例題4】有一個(gè)長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6

厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？

【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積：30X20X6=3600（立方厘米）。當(dāng)容

器豎起來以后，水流動(dòng)了，但體積沒有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)底面枳是20

X10=200平方匣米的長方伏。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。

練習(xí)4：

1.有兩個(gè)長方體水缸，甲缸長3分米，寬和高都是2分米：乙缸長4分米、寬2分米，里面的水

深1.5分米?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？

2.有一塊邊長2分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煨造成一根長方體，這長方體的截面是一個(gè)長4厘米、

寬2厘米的長方形，求它的長。

【例題5】長方體不同的三個(gè)面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個(gè)長

方體的體積是多少立方匣米？

【思路導(dǎo)航】長方體不同的三個(gè)面的面積分別是長X寬、長X高、寬X高得來的。因此，15X10

X6=（長X寬X高）X（長X寬X高），而15X10X6=900=30X30。所以，這個(gè)長方體的體積是30

立方厘米。

練習(xí)5：

1.-■個(gè)長方體，不同的三個(gè)面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這個(gè)長方

體的體枳是多少立方厘米？

2.一個(gè)長方體，不同的三個(gè)面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長、寬、

高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長方體的體積是多少立方厘米？

課后作業(yè)

思考題

第15講長方體和正方體（三）

一、知識要點(diǎn)

解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實(shí)掌握長方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方法,

仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個(gè)長方體或正方體沿水平方向

或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

二、精講精練

【例題1】一個(gè)棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方

體若干塊，表面積增加多少厘米？

【思路導(dǎo)航】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體，可以按下圖

中的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個(gè)6X6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36義2

X6=432平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。

練習(xí)1：

I.把27塊楂長是1厘米的小正方體堆成?個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面積比原來所有的小

正方體的表面積之和少多少平方厘米？

2.有一個(gè)棱長是1米的正方體木塊，如果把它鋸成體枳相等的8個(gè)小正方體，表面積增加多少平

方米？

3.把一個(gè)正方體的六個(gè)面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4個(gè)同樣的小長方體，沒有涂顏色的

面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？

【例題2】有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個(gè)正方

體木塊原來的表面積是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】把正方體分成兩個(gè)長方體后，增加了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是24+2=12平方厘米,

而正方體有6個(gè)這樣的面。所以原正方體的表面枳是12X6=72平方匣米。

練習(xí)2：

1.把三個(gè)棱長都是2厘米的正方體拼成一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積是多少平方厘米？

2.有一個(gè)正方體木塊，長4分米、寬3分米、高6分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個(gè)長方體，表面積最多

增加多少平方分米？

3.有三塊完全一樣的長方體積木，它們的長是8厘米、寬4厘米、高2厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成

一個(gè)大的反方體，怎樣搭表面枳最大？最大是多少平方厘米?

【例題3】有一個(gè)正方體，棱長是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的

小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？

想一想：在切的過程中，每切一切，就會(huì)增加兩個(gè)3X3平方分米的面，你能用這

種思路來計(jì)算所求問題嗎？

練習(xí)3：

1.用棱長是1厘米的小正方體擺成一個(gè)稍大一些的正方體，至少需要多少個(gè)小正方體？如果要擺

一個(gè)棱長是6厘米的正方體，需要多少個(gè)小正方體？

2.有一個(gè)長方體，長10厘米、寬6厘米、高4厘米，如果把它鋸成棱長是I厘米的小正方體，

一共能鋸多少個(gè)？這些小正方體的表面積和是多少？

3.把24個(gè)棱長是1厘米的小正方體擺成一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積至少是多少平方厘米?

【例題4】?個(gè)正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中:

（1）三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

（2）二個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

（3）一個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

（4）六個(gè)面都沒有涂色的有幾個(gè)？

【思路導(dǎo)航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3X3X3=27個(gè)。

（1）三個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)處，共有8個(gè)；

（2）二個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的楂上，共有IX12=12個(gè)；

（3）一個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個(gè)面上，共有1X6=6個(gè);

（4）六個(gè)面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27—（8+12+6）=1個(gè)。

練習(xí)4：

1.把一個(gè)棱長是5厘米的正方體的六個(gè)面涂滿紅色，然后切成1立方厘米的小正方體，這些小正

力體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個(gè)面都沒有涂色的各有多少個(gè)？

2.把若干個(gè)體積相同的小正方體堆成一個(gè)大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩

面被涂上紅色的小正方體共有24個(gè)，那么，這些小正方體一共有多少個(gè)？

3.把1立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1立方分米的小正方體，在這些小王方體

中，六個(gè)面都沒有涂色的有多少個(gè)？

【例題5】一個(gè)長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個(gè)體積相

等的小長方體，這三個(gè)小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】這個(gè)長方體原來的表面積是(6X5+6X4+5X4)X2=148平方厘米，每切割一刀,

增加2個(gè)面。切成三個(gè)體積相等的小長方體要切2刀，一共增加2X2=4個(gè)面。要求表面積和最大，

應(yīng)該增加4個(gè)6X5=30平方厘米的面。所以，三個(gè)小長方體表面積和最大是148+6X5X4=268平方

匣米。

練習(xí)5：

1.有三塊完全一樣的長方體木塊，每塊長8厘米、寬5厘米、高3厘米。要把它們粘成一個(gè)大的

長方體，這個(gè)長方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？

2.把8個(gè)同樣大小的小正方體拼成一個(gè)大正方體，已知每個(gè)小正方體的表面積是72平方厘米，

拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？

3.把一個(gè)長、寬、高分別為7厘米、6厘米、5厘米的長方體，截成兩個(gè)長方體，使這兩個(gè)長方

體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？

課后作業(yè)

思考題

第16講組合圖形面積（一）

一、知識要點(diǎn)

組合圖形是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組

合，二是重疊組合。由尸組合圖形具有條件相等的特點(diǎn)，往往使得問題的解決無從下手要正確解答

組合圖形的面積，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

1.切實(shí)掌握有關(guān)簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；

2.仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，看清所求圖形是由哪幾個(gè)基本圖形組合而成的；

3.適當(dāng)采用增加輔助線等方法幫助解題；

4,采用割、補(bǔ)、分解、代換等方法，可將復(fù)雜問題變得簡單。

二、精講精練

【例題1】一個(gè)等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個(gè)三角形的面積是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】由于此三角形中只知道最長的邊是12厘米，所以，不能用三角形的*.、.......

*I\、

面積公式來計(jì)算它的面積。我們可以假設(shè)有4個(gè)這樣的三角形，且拼成了下圖正方形。:

顯然，這個(gè)正方形的面積是12X12.那么，一個(gè)三角形的面積就是12X12+4=36平方厘

米。12

練習(xí)1:I.求四邊形ABCD的面積。（單位：厘米）

2.已知正方形ABCD的邊長是7厘米，求正方形EFGH的面積。

3.有一個(gè)梯形,它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米,那么面積就增加4.5

平方厘米。求原來梯形的面積,

【例題2】正圖正方形中套著一個(gè)長方形，正方形的邊長是12厘米，長方形的四個(gè)角的頂點(diǎn)把

正方形的四條邊各分成兩段，其中長的一段是短的2倍。求中間長方形的面枳。

【思路導(dǎo)航】圖中的兩個(gè)小三角形平移后可拼得一個(gè)小正方形，兩個(gè)大三角形平移后可拼得一個(gè)

大正方形。這兩個(gè)正方形的邊長分別是12+（1+2）=4（厘米）和4X2=8（厘米）。中間長I-

方形的面積只要用總面積減去這兩個(gè)拼起來的正方形的面積就可以得到。即：12X12-（4X4/

+8X8）=64（平方厘米）1_\

練習(xí)2：

1.（如下圖）己知大正方形的邊長是12厘米，求中間最小正方形的面積。

2.正圖長方形ABCD的面積是16平方厘米，E、F都是所在邊的中點(diǎn)，求三角形AEF的面枳。

3.求下圖（上右圖）長方形ABCD的面積（單位：厘米）。

【例題3】四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，己知三角形AFH的面積是7平方厘米。

三角形CDH的面積是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】設(shè)大正方形的邊長是a,小正方形的邊長是b。

（1）梯形EFAD的面枳是（a+b）Xb+2.三角形EFC的面枳也是（a+b）Xb+2。所以，兩者

的面積相等。

（2）因?yàn)槿切蜛FH的面積二梯形EFAD的面積一梯形EFHD的面積，而三角

形CDH的面積=三角形EFC的面積一梯形EFHD的面積，所以，三角形CDH的面

積與三角形AFH的面積相等，也是7平方厘米。

練習(xí)3：

1.圖中兩個(gè)正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，求陰影部分的面積。

2.下圖中兩個(gè)完全一樣的三角形重疊在一起，求陰影部分的面枳。（單位：厘米）

3.下圖中，甲三角形的面積比乙三角形的面積大多少平方厘米？

【例題4】下圖中正方形的邊長為8厘米，CE為20厘米，梯形BCDF的面積是多少

平方厘米？

【思路導(dǎo)航】要求梯形的面積，關(guān)鍵是要求出上底FD的長度。連接FC后就能得到一

個(gè)三角形EFC,用三角形EBC的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形EFC的面積:

8X20+2—8X8+2=48平方厘米。FD=48X2+20=4.8厘米，所求梯形的面積就是（4.8+8）

義8+2=51.2平方厘米。

練習(xí)4：

1.如下圖，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求陰影部分的面積。

2.在一個(gè)直角三角形鐵皮上剪下一塊正方形，并使正方形面積盡可能大，正方形的面積是多少？

（單位：厘米）

3.圖中BC=10厘米，EC=8厘米，且陰影部分面積比三角形EFG的面積大10平方厘米。求平行

四邊形的面積。

【例題5】圖中ABCD是長方形，三角形EFD的面枳比三角形ABF的面積大6平方厘米，求

ED的長。

【思路導(dǎo)航】因?yàn)槿切蜤FD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，所以,

三角形BCE的面積比長方形ABCD的面積大6平方厘米。三角形BCE的面積是6X4+6=30平方厘

米，EC的長則是30X2+6=10厘米。因此，ED的長是10—4=6厘米。

練習(xí)5：

1.如圖，平行四邊形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，陰影部分面積比三角

形ADH的面積大8平方厘米。求AH長多少厘米？

2.圖中三個(gè)正方形的邊長分別是1厘米、2厘米和3厘米，求圖中陰影部分的面積。

3.正方形的邊長是2(a+b),已知圖中陰影部分B的面積是7平方厘米，求陰影部分A和C的和

是多少平方厘米？

第17講組合圖形的面積（二）

一、知識要點(diǎn)

在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機(jī)會(huì)很多，解題時(shí)我們還可以記住下面三點(diǎn)：

1.兩個(gè)三角形等底、等高，其面積相等：

2.兩個(gè)三角形底相等，高成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系；

3.兩個(gè)三角形高相等，底成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系。

二、精講精練

【例題1］如圖，ABCD是直角梯形，求陰影部分的畫積和。（單位：厘米）

【思路導(dǎo)航】按照一般解法，首先要求出梯形的面積，然后減去空白部分A4

的面積即得所求面積。其實(shí)，只要連接AC,顯然三角形AEC與三角形DEC同3\\

底等高其面積相等，這樣，我們把兩個(gè)陰影部分合成了一個(gè)三角形ABC。面積占7

BE

是：6X3+2=9平方厘米。

練習(xí)1：

1.求卜圖中陰影部分的面積。

2.求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）

3.下圖的長方形是一塊草坪，中間有兩條寬1米的走道，求植草的面積。

【思路導(dǎo)航1二知形ADC的皿枳是1（

形BCD高的15+10=1.5倍，它們都以BC為邊為底，所以，三角形ABC的面積是

三角形BCD的1.5倍。陰影部分的面積是：7.5+（1+1.5）XI.5=45<,

練習(xí)2：

1.下圖中，三角形ABC的面積是36平方厘米，三角形ABE與三角形AEC的面積相筆，如果

AB=9厘米,FB=FE,求三角形AFE的面積。

2.圖中兩個(gè)正方形的邊長分別是1（）厘米和6