提優(yōu)點(diǎn)17　解析幾何中的同構(gòu)技巧

板塊六平面解析幾何提優(yōu)點(diǎn)17解析幾何中的同構(gòu)技巧知識(shí)拓展1.數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式是指變量不同，但結(jié)構(gòu)相同的兩個(gè)表達(dá)式.解析幾何中，常有一些點(diǎn)、直線、方程具有相同的特征，將這些“形”的共性坐標(biāo)化.根據(jù)式子結(jié)構(gòu)的相似性，對(duì)其進(jìn)行代數(shù)變形的統(tǒng)一構(gòu)造處理，就是同構(gòu).2.解析幾何中的同構(gòu)主要有：(1)點(diǎn)、直線的同構(gòu)，(2)方程的同構(gòu).3.同構(gòu)的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)代數(shù)式子結(jié)構(gòu)的相似性.精準(zhǔn)強(qiáng)化練類型一一次式同構(gòu)類型二二次同構(gòu)類型突破類型一一次式同構(gòu)如圖，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)在直線x＝m(y≠±m(xù)，0<m<1)上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線x2－y2＝1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：直線AB過(guò)某一個(gè)定點(diǎn).例1設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的斜率為k，x2－[kx＋(－kx1＋y1)]2＝1，整理可得(1－k2)x2－2k(y1－kx1)x－(y1－kx1)2－1＝0，∵PA與雙曲線相切，∴Δ＝4k2(y1－kx1)2＋4(1－k2)(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，∴4(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，∵P(m，y0)在切線PA，PB上，∴A，B滿足直線方程y0y＝mx－1，是兩點(diǎn)唯一確定的一條直線，∴AB：y0y＝mx－1，規(guī)律方法(2024·金華調(diào)研改編)已知拋物線C：x2＝4y(p>0)，與圓M：x2＋(y＋4)2＝1.若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.訓(xùn)練1設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，同理，可知直線PB的方程為x2x－2y2－2y＝0.由于點(diǎn)P為這兩條直線的公共點(diǎn)，所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足方程x0x－2y－2y0＝0，所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0.可得x2－2x0x＋4y0＝0，則x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，－5≤y0≤－3，類型二二次同構(gòu)(2024·安陽(yáng)模擬)已知集合Q＝{(x，y)|0<ax2－by2<1(a>0，b>0)}，雙曲線C上的所有點(diǎn)構(gòu)成集合P＝{(x，y)|ax2－by2＝1(a>0，b>0)}，坐標(biāo)平面內(nèi)任意點(diǎn)N(x0，y0)，直線l：ax0x－by0y＝1稱為點(diǎn)N關(guān)于雙曲線C的“相關(guān)直線”.(1)若N∈P，判斷直線l與雙曲線C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；例2直線l與雙曲線C相切.理由如下：∴直線l與雙曲線C相切.(2)若直線l與雙曲線C的一支有2個(gè)交點(diǎn)，求證：N∈Q；∵直線l與雙曲線C的一支有2個(gè)交點(diǎn)，代入雙曲線C：ax2－by2＝1，又M在l上，即ax0x1－by0y1＝1，1.若出現(xiàn)兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的一元二次方程時(shí)，說(shuō)明此兩方程的未知數(shù)是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩根.2.根據(jù)兩同構(gòu)方程未知數(shù)(即元)的意義，常見的二次方程同構(gòu)有兩點(diǎn)坐標(biāo)同構(gòu)、兩直線斜率同構(gòu)、截距同構(gòu)、定比分點(diǎn)同構(gòu)等.規(guī)律方法訓(xùn)練2由|AP|·S2＝|BP|·S1，因此sin∠APQ＝sin∠BPQ，而∠APQ＋∠BPQ＝∠ABP∈(0，π)，有∠APQ＝∠BPQ，于是PQ平分∠APB，直線AP，BP的斜率kAP，kBP互為相反數(shù)，即kAP＋kBP＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，由①－②得2x0(x2－x1)＝4y0(y2－y1)，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】1.如圖，已知拋物線C：x2＝4y，P(1，－2)為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程.化簡(jiǎn)可得AP：x1x－2y－2y1＝0，同理可得直線BP：x2x－2y－2y2＝0，又因?yàn)镻(1，－2)在直線PA，PB上，故直線AB的方程為x－2y＋4＝0.2.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓C：(x＋2)2＋y2＝3的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為P，Q，直線PQ恰為拋物線E：y2＝2px