微專題32 直線與圓

板塊六平面解析幾何微專題32直線與圓高考定位考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).【

真題體驗

】1.(2024·北京卷)圓x2＋y2－2x＋6y＝0的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為√化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以該圓的圓心(1，－3)到直線x－y＋2＝0的距離為2.(2022·北京卷)若直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對稱軸，則a＝√依題意可知圓心坐標(biāo)為(a，0)，又直線2x＋y－1＝0是圓的一條對稱軸，3.(2024·全國甲卷)已知b是a，c的等差中項，直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為√根據(jù)題意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直線ax＋by＋c＝0過點M(1，－2).設(shè)圓x2＋y2＋4y－1＝0的圓心為C，連接CM，則AB⊥CM時，|AB|最小，將圓的方程化為x2＋(y＋2)2＝5，則C(0，－2)，所以|MC|＝1，4.(2023·新高考Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝√如圖，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，2(答案不唯一，可以精準(zhǔn)強(qiáng)化練熱點一直線的方程及應(yīng)用熱點二圓的方程熱點三直線、圓的位置關(guān)系熱點突破熱點四隱圓問題熱點一直線的方程及應(yīng)用(1)(2024·西寧模擬)已知直線l1：ax＋3y－6＝0，直線l2：2x＋(a－1)y－4＝0，則“a＝－2”是“l(fā)1∥l2”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件例1√由l1∥l2可得a(a－1)－3×2＝0，解得a＝3或a＝－2，當(dāng)a＝3時，l1：3x＋3y－6＝0，l2：2x＋2y－4＝0，則l1與l2重合，舍去；故l1∥l2時，a＝－2.√√故選CD.討論兩直線的位置關(guān)系時，要考慮斜率不存在的情況；求解兩條直線平行問題時，要注意排除兩條直線重合的情況.易錯提醒(多選)下列說法錯誤的是A.過點A(－2，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為x＋y＝－5B.直線ax＋y＋1＝0與以A(2，3)，B(－3，2)為端點的線段相交，則a的取值范圍是(－∞，－2]∪[1，＋∞)C.經(jīng)過點P(1，1)，傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tanθ(x－1)D.過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)訓(xùn)練1√對于A中，當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于0時，直線過原點，√可設(shè)直線方程為y＝kx，又直線過點A(－2，－3)，所以A錯誤；直線l：ax＋y＋1＝0過定點P(0，－1)，如圖，直線l的斜率為－a，若直線l與線段AB總有公共點，則－a≤－1或－a≥2，得a≤－2或a≥1，即a的取值范圍是(－∞，－2]∪[1，＋∞)，所以B正確；所以C錯誤；對于D中，由兩點(x1，y1)，(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時，此時過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，當(dāng)x1＝x2時，此時過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為x＝x1或x＝x2，適合上式，所以過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的所有直線的方程為(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正確.熱點二圓的方程(1)(2024·長春三模)經(jīng)過A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三個點的圓的方程為A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1例2√設(shè)經(jīng)過A，B，C三個點的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，且滿足D2＋E2－4F＝4>0，所以經(jīng)過A，B，C三個點的圓的方程為x2＋y2－2y＝0，即為x2＋(y－1)2＝1.(2)(2024·北京西城區(qū)二模)已知圓C經(jīng)過點(－1，0)和(3，0)，且與直線y＝2相切，則圓C的方程為________________.設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，(x－1)2＋y2＝4所以圓C的方程為(x－1)2＋y2＝4.求圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程.(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).規(guī)律方法A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.(x－2)2＋(y－4)2＝16訓(xùn)練2√∵圓C的圓心在直線y＝2x上，∴可設(shè)C(a，2a)，又圓C與x軸的正半軸相切于點A，∴a>0，且圓C的半徑r＝2a，A(a，0).解得a＝6或a＝2，∴A(2，0)或A(6，0)，又點A在直線x－y－4＝0的左上方，∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝16.√(2)已知圓C1：x2＋y2＝4與圓C2關(guān)于直線2x＋y＋5＝0對稱，則圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.(x＋4)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－4)2＋(y－2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 D.(x－2)2＋(y－4)2＝4由題意可得，圓C1的圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑為2，設(shè)圓心C1(0，0)關(guān)于直線2x＋y＋5＝0的對稱點為C2(a，b)，所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.熱點三直線、圓的位置關(guān)系考向1直線與圓的位置關(guān)系例3√√√由題意可知，直線l過定點P(3，4)，圓O的圓心為原點O，半徑為3，設(shè)圓心O到直線l的距離為d.所以點N到l的最大距離為5＋3＝8，故A正確.若l被圓O所截得的弦長最大，則直線l過圓心O，可得－3k＝－4，若M也在圓O上，則直線l與圓O相切或相交，當(dāng)直線l與圓O相切時，點O到l的距離取最大值3，故D正確.√設(shè)過點P與圓C相切的直線PB的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，考向2圓與圓的位置關(guān)系例4√√根據(jù)題意，可得圓O：x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑r＝1，圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圓心為C(a，1)，半徑R＝2.對于B，兩圓內(nèi)切時，圓心距d＝|OC|＝R－r＝1，對于C，若圓O與圓C恰有兩條公切線，則兩圓相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)，對于D，若圓O與圓C相交，則當(dāng)圓O：x2＋y2＝1的圓心O在公共弦上時，公共弦長等于2r＝2，達(dá)到最大值，因此，兩圓相交時，公共弦長的最大值為2，故D正確.規(guī)律方法(1)(多選)(2024·溫州模擬)若圓C與直線3x－4y－12＝0相切，且與圓x2－2x＋y2＝0相切于點A(2，0)，則圓C的半徑為訓(xùn)練3√圓x2－2x＋y2＝0的圓心為(1，0)，半徑為1，√圓C與圓x2－2x＋y2＝0相切于點A(2，0)，則圓心在x軸，設(shè)圓心為(a，0)，√對于A，由圓C：x2＋y2－4x－2y－13＝0，可化為(x－2)2＋(y－1)2＝18，√√所以圓O與圓C相交，可得兩圓有兩條公共切線，所以C錯誤；所以D正確.熱點四隱圓問題在解決某些解析幾何問題時，題設(shè)條件看似與圓毫無關(guān)系，但通過對題目條件的分析、轉(zhuǎn)化后，會發(fā)現(xiàn)此問題與圓有關(guān)，進(jìn)而利用圓的性質(zhì)解題，一般我們稱之為隱圓問題.直線x＋ky－2＝0恒過定點N(2，0)，又易知兩直線垂直，故P點軌跡是以(0，0)為圓心，2為半徑的圓，除去與x軸的交點，于是得x2＋y2＝4(x≠±2)，例5√直線kx－y＋2k＝0恒過定點M(－2，0)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與圓O：x2＋y2＝4相切時，∠OAP最大，因為|OA|＝4，AP′為切線，點P′為切點，(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，點A(0，2)，若圓C上存在點M，滿足|MA|2＋|MO|2＝10，則實數(shù)a的取值范圍是________.設(shè)M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10可得[0，3]x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，即x2＋(y－1)2＝4，則點M在圓x2＋(y－1)2＝4上，由題目條件可知點M在圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，解得0≤a≤3.規(guī)律方法訓(xùn)練4√√√即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，化簡可得(x－3)2＋y2＝8，即點P的軌跡方程為(x－3)2＋y2＝8，A正確；∵直線AB過圓(x－3)2＋y2＝8的圓心，∴點P到直線AB的距離的最大值為圓當(dāng)∠PAB最大時，則PA為圓(x－3)2＋y2＝8的切線，直線AC的方程為7x－y＋7＝0，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√1.在△ABC中，已知點A(5，－2)，B(7，3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則直線MN的方程為 A.5x－2y－5＝0 B.2x－5y－5＝0 C.5x－2y＋5＝0 D.2x－5y＋5＝0√2.(2024·大連模擬)過點(－1，1)和(1，3)，且圓心在x軸上的圓的方程為 A.x2＋y2＝4 B.(x－2)2＋y2＝8 C.(x－1)2＋y2＝5 D.(x－2)2＋y2＝10設(shè)該圓圓心為(a，0)，半徑為r，則該圓方程為(x－a)2＋y2＝r2，√3.直線l：x＋my＋1－m＝0與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置關(guān)系是A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定已知直線l：x＋my＋1－m＝0過定點(－1，1)，將點(－1，1)代入圓的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知點(－1，1)在圓內(nèi)，所以直線l：x＋my＋1－m＝0與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交.√4.(2024·北京石景山區(qū)模擬)直線y＝kx＋1與圓x2＋(y＋1)2＝16相交于A，B兩點，則線段AB的長度可能為 A.5 B.7 C.9

D.14直線y＝kx＋1恒過點(0，1)，且點(0，1)在圓x2＋(y＋1)2＝16內(nèi)，當(dāng)點(0，1)是弦AB的中點時，此時弦長最短，√5.折紙藝術(shù)是我國民間的傳統(tǒng)文化，將一矩形OABC紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，將矩形折疊，使O點落在線段BC上，設(shè)折痕所在直線的斜率為k，則k的取值范圍是 A.[0，1] B.[0，2] C.[－1，0] D.[－2，0]如圖，要想使折疊后的O點落在線段BC上，可取BC上任意一點D，作線段OD的垂直平分線l，以l為折痕可使點O與D重合，k即為直線l的斜率.當(dāng)折疊后點O與C重合時，k＝0，所以－2≤k≤0，則k的取值范圍是[－2，0]，故選D.以經(jīng)過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線y軸，建立直角坐標(biāo)系，√則A(－1，0)，B(1，0)，則有|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2，如圖所示.當(dāng)點P為圓與x軸的交點(靠近原點)時，此時，|OP|取最小值，7.(2024·嘉興二模)已知圓C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圓C上存在點P使得PA⊥PB，則r的取值范圍為 A.(0，5] B.[5，15] C.[10，15] D.[15，＋∞) 如圖，由PA⊥PB可知點P的軌跡是以AB為直徑的圓，設(shè)為圓M，√因A(－6，0)，B(0，8)，故圓M：(x＋3)2＋(y－4)2＝25.依題意知圓M與圓C至少有一個公共點.因C(5，－2)，M(－3，4)，由|r－5|≤|CM|≤5＋r，解得5≤r≤15.如圖，圓C：x2＋y2＝4的圓心到直線l：y＝x＋4的距離√∠APB最大，不妨設(shè)切線為PE，PF(其中E，F(xiàn)為切點)，9.(2024·西安調(diào)研)已知直線l：ax＋(2a＋3)y－3＝0，直線n：(a－2)x＋ay－1＝0，則√√√對于A，當(dāng)a＝－2時，l：2x＋y＋3＝0，則1×5＋11×(－1)＝－6≠0，故l⊥n不成立，B錯誤；對于C，當(dāng)l∥n時，a2＝(2a＋3)(a－2)，則a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＝0，可得a＝3或a＝－2，當(dāng)a＝3時，l：x＋3y－1＝0，n：x＋3y－1＝0，兩直線重合，排除a＝3；當(dāng)a＝－2時，由A選項的分析知l∥n成立，對于D，坐標(biāo)原點(0，0)到直線n的距離10.(2024·邵陽模擬)設(shè)點P(x，y)為圓C：x2＋y2＝1上一點，已知點A(4，0)，B(5，0)，則下列結(jié)論正確的有√√設(shè)x＋y＝t，即x＋y－t＝0，B錯誤；11.已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，點M是直線l：y＝－x－1上的動點，過點