事件的關系和運算 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修二

10.1.2事件的關系和運算1.認識事件之間的關系和運算.(重點)2.掌握事件的交（并）運算公式.(難點）3.能夠判斷隨機事件是否為互斥事件.從前面的學習中可以看到，我們在一個隨機試驗中可以定義很多隨機事件．這些事件有的簡單，有的復雜．我們希望從簡單事件的概率推算出復雜事件的概率，所以需要研究事件之間的關系和運算．

在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，例如：

“點數(shù)為i”，i=1，2，3，4，5，6；D1＝“點數(shù)不大于3”；D2＝“點數(shù)大于3”；E1＝“點數(shù)為1或2”；E2＝“點數(shù)為2或3”；F＝“點數(shù)為偶數(shù)”；G＝“點數(shù)為奇數(shù)”.

請用集合的形式表示這些事件。借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

用集合表示上面的事件，則C1={1}C2={2}C3={3}C4={4}C5={5}C6={6}D1={1,2,3}D2={4,5,6}E1={1,2}E2={2,3}F={2,4,6}G={1,3,5}

如果事件C1發(fā)生,那么事件G一定發(fā)生.這時我們說事件G包含事件C1.1.包含關系

一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，記作B?A(或A?B).

特別地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.可以用圖10.1-4表示.ABΩ

事件D1、E1、E2之間有什么關系？事件C2、E1、E2之間有什么關系？事件C3和C4能同時發(fā)生嗎？事件F和G呢？事件E1和E2至少有一個發(fā)生，相當于D1發(fā)生.

事件F和G兩者只能發(fā)生其中之一.事件C3和C4不能同時發(fā)生事件E1和E2同時發(fā)生，相當于事件C2發(fā)生.思考2.并事件

一般地，若事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作A?B(或A+B)

可以用圖10.1-5中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個并事件表示.ABΩ圖10.1-53.交事件

一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作A?B(或AB)

可以用圖10.1-6中的藍色區(qū)域表示這個交事件表示.ABΩ圖10.1-64.互斥事件

一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A?B是一個不可能事件，即A?B=?則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）.

可以用圖10.1-7表示這兩個事件互斥.ABΩ圖10.1-75.對立事件

一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A?B=Ω,且A?B=?，那么稱事件A與事件B互為對立.事件A的對立事件記為.

可以用圖10.1-8表示.Ω圖10.1-8A事件的關系或運算的含義，以及相應的符號表示如下事件的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A?B或A+B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A?B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A?B=?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A?B=?，A?B=Ω知識歸納

類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.例如，對于三個事件A，B，C，A?B?C（或A+B+C）發(fā)生當且僅當A，B，C中至少一個發(fā)生，A?B?C（或ABC)發(fā)生當且僅當A，B，C同時發(fā)生，等等.知識歸納1.判斷正誤：（1）在一次試驗中，兩個互斥事件有可能有一個發(fā)生（

）（2）若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件是對立事件.（

）（3）若事件A?B是必然事件，則事件A和事件B是對立事件（

）2.拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點數(shù)是2或3”為事件B，則（

）A.A?BB.A=BC.A?B表示向上的點數(shù)是1或2或3D.A?B表示向上的點數(shù)是1或2或3

√××C小試牛刀

D小試牛刀

乙甲解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài),則可以用(x1,x2)表示這個并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效,則樣本空間Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

例2

一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球。設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N“兩個球顏色不同”。（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關系？解：（1）所有的試驗結果如右圖所示。用數(shù)組（x1,x2）表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}121214121314212324313234414243事件R1=“第一次摸到紅球”，即x1=1或2，于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}事件R2=“第二次摸到紅球”，即x2=1或2于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}同理，有R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2)，(2，1），(3，4)，(4，3)}N={（1，3)，(1，4）,(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}

因為R∩G=?，所以事件R與事件G互斥因為M∪N=Ω，M∩N=?，所以事件M與事件N互為對立事件.（3）因為R∪G=M，所以事件M是事件R與事件G的并事件，

因為R1∩R2=R，所以事件R是事件R1與事件R2的交事件.

2.在含10件次品的100件產品中，抽查10件產品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品BB3.從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內任取2個球，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是(

)A.“至少有1個紅球”與“都是黑球”B.“恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球”C.“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球”D.“都是紅球”與“都是黑球”4.(鏈接教材P235練習T1)一個人連續(xù)射擊目標2次，則下列選項中與“至少有一次擊中”為對立事件的是(

)A.兩次均擊中

B.恰有一次擊中C.第一次擊中

D.兩次均未擊中DD5.一個射擊手進行一次射擊，設事件A表示“命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)”，事件B表示“命中的環(huán)數(shù)為10環(huán)”，事件C表示“命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)”，事件D表示“命中的環(huán)數(shù)為6，7，8，9，10環(huán)”.判斷下列各對事件是不是互斥事件，是不是對立事件，并說明理由.（1）事件A與B；（2）事件A與C；（3）事件C與D.解：（1）不是互斥事件，也不是對立事件.理由：事件A“命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)”包含事件B“命中的環(huán)數(shù)為10環(huán)”，當一次射擊命中10環(huán)時，二者能夠同時發(fā)生.（2）是互斥事件，但不是對立事件.理由：事件A“命中的環(huán)數(shù)