事件的關系和運算高一下學期數學人教A版（2019）必修二

10.1.2事件的關系和運算

1.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，并能對事件類型作出正確的判斷.2.能結合實例進行隨機事件的并、交運算.想一想：拋擲一枚骰子，記事件A“出現奇數點”，事件B“出現偶數點”，事件A與事件B有什么關系？能否同時發(fā)生？大力出奇跡！探究：在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數，可以定義許多隨機事件，如：Ci=“點數為i”，i=1，2，3，4，5，6；D1=“點數不大于3”；D2=“點數大于3”；E1=“點數為1或2”;E2=“點數為2或3”;F=“點數為偶數”；G=“點數為奇數”；.....你能用集合的形式表示這些事件，并借助集合與集合的關系和運算，發(fā)現這些事件之間的聯(lián)系嗎？（一）事件的關系或運算思考1：用集合的形式表示事件C1=“點數為1”和事件G=“點數為奇數”，借助集合與集合的關系和運算，發(fā)現這兩個事件之間的聯(lián)系.用集合的形式表示：事件C1={1}和事件G={1，3，5}顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生.用集合表示就是

，也就是說，事件G包含事件C1.

1.包含關系思考2：用集合的形式表示事件D1=“點數不大于3”、事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”，借助集合與集合的關系和運算，發(fā)現這些事件之間的聯(lián)系.用集合的形式表示：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}顯然，事件E1和事件E2至少有一個發(fā)生，相當于事件D1發(fā)生.用集合表示就是{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即E1∪E2=D1這時我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件.一般地，若事件A和事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們就稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作A∪B（或A+B）（如下圖所示：綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個并事件）BA2.并事件思考3：用集合的形式表示事件E1=“點數為1或2”、事件E2=“點數為2或3”和事件C2=“點數為2”，借助集合與集合的關系和運算，發(fā)現這些事件之間的聯(lián)系.用集合的形式表示：E1={1,2}，E2={2,3}和C2={2}顯然事件E1和E2同時發(fā)生相當于事件C2發(fā)生.用集合表示即{1,2}∩{2,3}={2}這時我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件.一般地，若事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們就稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作A∩B（或AB）（如下圖所示的藍色區(qū)域）AB3.交事件思考4：用集合的形式表示事件C3=“點數為3”和事件C4=“點數為4”，借助集合與集合的關系和運算，發(fā)現這些事件之間的聯(lián)系.用集合的形式表示：事件C3={3}，事件C4={4}顯然，事件C3與事件C4不可能同時發(fā)生.即C3∩C4＝?,這時我們稱事件C3與事件C4互斥.4.互斥事件一般地，若事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B=?，我們就稱事件A與事件B互斥（或互不相容）（如下圖所示）AB思考5：用集合的形式表示事件F=“點數為偶數”和事件G=“點數為奇數”，借助集合與集合的關系和運算，發(fā)現這些事件之間的聯(lián)系.在任何一次試驗中，事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一.用集合可以表示為{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=?，即F∩G=?且F∪G=Ω.我們稱事件F與事件G互為對立事件.事件D1與D2也有這種關系.5.對立事件

A事件的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生并事件（和事件）交事件（積事件）互斥（互不相容）互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A與B不能同時發(fā)生A與B同時發(fā)生A與B至少一個發(fā)生A∩B=?A∪B=Ω，且A∩B=?事件的關系或運算類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.例如，對于三個事件A,B,C,A∪B∪C（或A+B+C）發(fā)生當且僅當A,B,C中至少一個發(fā)生，A∩B∩C（或ABC）發(fā)生當且僅當A,B,C同時發(fā)生，等等.知識歸納例1.如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A=“甲元件正?！保珺=“乙元件正?！?（1）寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；（2）用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并說明它們的含義及關系.乙甲解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài)，則可以用（x1,x2)表示這個并聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}（2）根據題意，可得（3）A∪B={（0,1），（1,0），（1,1）}

A={（0,1），（1,0）}，B={（0,1），（1,1）}

例2.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N“兩個球顏色不同”.（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關系？解：（1）所有的試驗結果如右圖所示.用數組（x1,x2）表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}121214121314212324313234414243例2.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N“兩個球顏色不同”.（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；事件R1=“第一次摸到紅球”，即x1=1或2于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}事件R2=“第二次摸到紅球”，即x2=1或2于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}同理，于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2)，(2，1），(3，4)，(4，3)}N={（1，3)，(1，4）,(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N“兩個球顏色不同”.

因為R∩G=?，所以事件R與事件G互斥,因為M∪N=Ω，M∩N=?，所以事件M與事件N互為對立事件.（3）因為R∪G=M，所以事件M是事件R與事件G的并事件，

因為R1∩R2=R，所以事件R是事件R1與事件R2的交事件.設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N“兩個球顏色不同”.（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關系？1.投擲一枚骰子，下列事件：A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{點數小于3}，D＝{點數不大于2}，E＝{點數是3的倍數}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.解：(1)A∩B＝?，BC＝{出現2點}．(2)A∪B＝{出現1，2，3，4，5或6點}，B＋C＝{出現1，2，4或6點}．(3)D＝{點數小于或等于2}＝{出現1或2點}；AC＝{出現1點}．2.某人打靶時連續(xù)射擊2次，下列事件中與事件“至少有一次中靶”的互為對立的是().A.至多一次中靶

B.兩次都中靶C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶[變式]某人連續(xù)射擊3次，則事件“至少擊中兩次”的對立事件是()A．恰有一次擊中

B．三次都沒擊中C．三次都擊中

D．至多擊中一次DD3.把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(

)A.對立事件B.互斥但不對立事件C.不可能事件D.以上都不對B事件的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A?B并事件