2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第37講空間幾何體的三視圖直觀圖表面積和體積課時(shí)達(dá)標(biāo)文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第37講空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積和體積課時(shí)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．下列說法正確的是()A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)D解析由棱柱和棱錐的概念可知A，B，C項(xiàng)均錯(cuò)誤．由于棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的截面與底面之間的部分，故棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不行能是()D解析由幾何體的正視圖和側(cè)視圖，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)中的俯視圖知，若為D項(xiàng)，則正視圖應(yīng)為，故D項(xiàng)不行能．故選D.3．(2024·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4C解析由三視圖可知該幾何體底面為一個(gè)直角梯形，且有一棱與底面垂直，因此在四個(gè)側(cè)面中有3個(gè)直角三角形．故選C.4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A．2＋eq\r(5) B．2＋2eq\r(5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(2,3)B解析三棱錐的高為1，底面為等腰三角形，如圖，因此表面積是eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×2＝2＋2eq\r(5).故選B.5．已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，依據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得出這個(gè)幾何體的內(nèi)切球半徑是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(4,9)C.eq\r(6)－2 D．3eq\r(6)－6C解析由三視圖可知該幾何體為三棱錐，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則由棱錐的體積公式有eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，其中S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，h＝2，S1，S2，S3，S4分別是三棱錐四個(gè)面的面積，S1＝S2＝S＝2，S3＝S4＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，所以4＝(4＋2eq\r(6))r，解得r＝eq\r(6)－2.6．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36πB解析依題意，題中的幾何體是用一個(gè)平面將一個(gè)底面半徑為3，高為10的圓柱截去一部分后所剩余的部分，可在該幾何體的上方拼接一個(gè)與之完全相同的幾何體，從而形成一個(gè)底面半徑為3，高為10＋4＝14的圓柱，因此該幾何體的體積等于eq\f(1,2)×π×32×14＝63π.故選B.二、填空題7．(2024·江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．解析由題意知所給的幾何體是棱長(zhǎng)均為eq\r(2)的八面體，它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．解析如圖所示：因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)9．某四棱錐的三視圖如圖所示，則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱的長(zhǎng)度是________．解析依據(jù)三視圖可知原幾何體如圖所示，最長(zhǎng)棱為AC，所以AE＝2，EB＝2，ED＝3，DC＝4，所以EC＝5，所以AC＝eq\r(29).答案eq\r(29)三、解答題10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA的長(zhǎng)．解析(1)該四棱錐的俯視圖是邊長(zhǎng)為6cm的正方形(內(nèi)含對(duì)角線)，如圖，其面積為36cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．11．現(xiàn)須要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．AB＝6m，PO1＝解析由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因?yàn)锳1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．12．已知矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝eq\f(3\r(3),2)，M為EF的中點(diǎn)，求多面體M－ABCD的外接球的表面積和體積．解析記多面體M－ABCD的外接球的球心為O，如圖，過點(diǎn)O分別作平面ABCD和平面ABEF的垂線，垂足分別為Q，H，則Q，H分別為矩形ABCD和△ABM外接圓的圓心．連接MH并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)N，連接OM，NQ，AQ.設(shè)球O的半徑為R，球心到平面ABCD的距離為d，即OQ＝d，因?yàn)榫匦蜛BEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AF＝eq\f(3\r(3),2)，M為EF的中點(diǎn)，所以MN＝eq\f(3\r(3),2)，又AB＝3，AD＝2，所以AN＝NB＝eq\f(3,2)，NQ＝1，所以R2＝AN2＋NQ2＋OQ2＝MH2＋OH2，即eq\f(9,4)＋1＋d2＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－d))2，所以d＝eq\f(\r(3),2)，R＝2，所以多面體M－ABCD的外接球的表面積為4πR2＝16π，體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).13．[選做題](2024·陜西西工大附中訓(xùn)練)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(2)m，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是________．解析由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝eq\r(2)m，則AD＝m.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)·m2·m＝eq\f(1,3)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(