第03講異面直線所成的角（核心考點講與練）-高二數(shù)學(xué)考試滿分全（滬教版2020必修三）（原卷版）

第03講異面直線所成的角（核心考點講與練）方法方法技巧求異面直線所成的角的三步曲考點考點考向異面直線所成角的概念及辨析一、單選題1．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）已知異面直線a、b所成角為，P為空間一定點，則過P點且與a、b所成角都是的直線有且僅有（

）條．A．2 B．3 C．4 D．62．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）已知正方體，P為中點，對于下列兩個命題：（1）過點P有且只有一條直線與直線AB，都相交；（2）過點P有且只有一條直線與直線AB，都成45°角．則以下判斷正確的是（

）A．（1）為真命題；（2）為真命題 B．（1）為真命題；（2）為假命題C．（1）為假命題；（2）為真命題 D．（1）為假命題；（2）為假命題二、填空題3．（2021·上?！の挥袑W(xué)高二階段練習(xí)）空間中三條直線兩兩垂直，若直線與直線所成角都為，則_______4．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線．如果直線同時滿足條件：①與異面；②與成定角；③與的距離為定值．那么這樣的直線有__________條．5．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若兩異面直線、所成的角為，過空間內(nèi)一點作與直線、所成角均是的直線，則所作直線的條數(shù)為_________．證明異面直線垂直一、單選題1．（2017·上海交大附中高二期中）如圖，點E為正方形ABCD邊CD上異于點C，D的動點，將△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，則下列說法中正確的有（）①存在點E使得直線SA⊥平面SBC；②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行；④存在點E使得SE⊥BA．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題2．（2022·上海長寧·高二期末）如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；求異面直線所成的角1．（2022·上海·復(fù)旦附中高二期中）如圖所示，在三棱錐中，，、分別為與的中點，，則異面直線與所成角的大小是______．2．（2021·上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，是平行四邊形所在平面外一點，分別是的中點，若，則異面直線與所成角的大小為________.3．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體上，a，b是兩條異面直線的面對角線，則它們所成的角大小可能為___________4．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）正方體的面對角線中，與所成角為的有__________條.5．（2021·上?！とA東師范大學(xué)松江實驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體中，與成角的面對角線的條數(shù)是________6．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期末）空間內(nèi)有三條直線，其中任意兩條都不相交但相互垂直，若直線與這三條直線所成的角的大小都是，則______．7．（2021·上海市建平中學(xué)高二期中）已知圓錐的軸截面是等邊三角形，為底面弧的中點，為母線的中點，則異面直線和所成角的大小為________三、解答題8．（2021·上海浦東新·高二期中）在三棱錐中，，分別是，的中點，已知，，求異面直線，所成角的大小.由異面直線所成的角求其他量一、填空題1．（2021·上海市控江中學(xué)高二期中）異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．2．（2021·上海市洋涇中學(xué)高二期中）已知異面直線所成角為，過空間一點有且僅有條直線與所成角都是，則的取值范圍是___________.3．（2021·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）在空間四邊形中，，?分別是對角線?的中點，若異面直線?所成角的大小為，則的長為___________.4．（2021·上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四面體中，，E、F分別為、的中點，且異面直線與所成的角為，則___________.5．（2019·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）空間四邊形ABCD，AB=CD=8，M?N?P分別為BD?AC?BC的中點，若異面直線AB和CD所成的角為60°，則線段MN的長為___________.6．（2021·上海·華師大二附中高二開學(xué)考試）如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=BD=8，M、N分別為AB、CD的中點，且，則MN等于_____________7．（2021·上海市徐匯中學(xué)高二期中）空間四邊形兩對角線的長分別為6和8﹐所成的角為60°，連接各邊中點所得四邊形的面積是_______________.8．（2021·上海市寶山中學(xué)高二階段練習(xí)）若兩條異面直線所成的角為，則稱這對異面直線為“異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“異面直線對”共有________對.二、解答題9．（2021·上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四棱錐PABCD，底面ABCD為正方形，邊長為3，PD⊥平面ABCD.(1)若PC=5，求四棱錐PABCD的體積；(2)若直線AD與BP的夾角為60°，求PD的長.10．（2020·上海交大附中高二期中）如圖，圓錐的頂點是，底面中心為，是與底面直徑垂直的一條半徑，是母線的中點.（1）求證：與不可能垂直；（2）設(shè)圓錐的高為4，異面直線與所成角的余弦值為，求圓錐的體積.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，已知正方體中，為線段的中點，為線段上的動點，則下列四個結(jié)論正確的是（

）A．存在點，使∥B．存在點，使平面C．與所成的角不可能等于60°D．三棱錐的體積隨動點變化而變化2．（2021··高二階段練習(xí)）如圖，在正方體中，過點A作平面的垂線，垂足為點H，給出以下命題：①H是的垂心；②垂直于平面；③的延長線過點；④直線和所成角的大小為，其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·上海市松江二中高二期中）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點，設(shè)是上的一點，且，則與所成角的大小為（

）A． B． C． D．4．（2021·上海市市西中學(xué)高二期中）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°；④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（

）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④二、填空題5．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習(xí)）如圖甲，將三棱錐P﹣ABC沿三條側(cè)棱剪開后，展開成如圖乙所示的形狀，其中點P1，A，P3共線，點P1，B，P2共線，點P2，C，P3共線，且P1P2=P2P3，則在如圖甲所示的三棱錐P﹣ABC中，PA與BC所成角的大小為___________.6．（2021·上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)高二期中）如圖已知A是所在平面外一點，，E?F分別是的中點，若異面直線與所成角的大小為，則與所成角的大小為___________.7．（2021·上海交大附中高二期中）在長方體中，，，則直線與所成的角的余弦值等于______．8．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）在四面體中，，，、分別是、的中點，且，則與所成角的大小是________.三、解答題9．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）在長方體中，AB＝1，AD＝2，，E、F分別為線段BC、上的點，且CE＝1，CF＝1．(1)求證：平面；(2)求異面直線EF與所成角的余弦值．10．（2021·上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）已知邊長為1的正方形繞邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱體．(1)求該圓柱體的表面積；(2)正方形繞邊逆時針旋轉(zhuǎn)至，求證：．11．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）在長方體中，，過??三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為10.(1)求棱的長；(2)若的中點為，求異面直線與所成角的余弦值.12．（2021·上海大學(xué)附屬南翔高級中學(xué)高二期中）如圖，在正方體中，分別為和的中點.（1）畫出由A，E，F(xiàn)確定的平面截正方體所得的截面，（保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）；（2）求異面直線和所成角的大小.13．（2021·上海浦東新·高二期中）在長方體中（如圖），，，點是棱的中點.(1)求異面直線與所成角的大小；(2)《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，試問四面體是否為鱉臑？并說明理由.14．（2021·上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，是底面邊長為