高考數(shù)學(xué)考題詳解與答案2023

高考數(shù)學(xué)考題詳解與答案2023姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的對稱中心為：

A.$(1,2)$

B.$(1,-2)$

C.$(1,0)$

D.$(1,1)$

2.在三角形ABC中，已知$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，則三角形ABC的面積為：

A.6

B.8

C.10

D.12

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為：

A.$a_n=2^n-1$

B.$a_n=2^n+1$

C.$a_n=2^{n-1}-1$

D.$a_n=2^{n-1}+1$

4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=25$，$S_8=75$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為：

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，則$f(x)$的定義域為：

A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$(-\infty,1)\cup[1,+\infty)$

D.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty]$

6.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$的值為：

A.2

B.3

C.4

D.6

7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的零點為：

A.1

B.2

C.3

D.4

8.在三角形ABC中，已知$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，則三角形ABC的周長為：

A.12

B.13

C.14

D.15

9.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前10項和為：

A.153

B.155

C.157

D.159

10.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=25$，$S_8=75$，則數(shù)列$\{a_n\}$的首項為：

A.1

B.2

C.3

D.4

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二、判斷題（每題2分，共10題）

1.兩個函數(shù)如果定義域相同，則它們的值域也一定相同。（×）

2.在直角坐標(biāo)系中，任意一條直線都可以表示為$y=kx+b$的形式。（×）

3.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的對稱軸一定是$x=\frac{-b}{2a}$。（√）

4.對于任意實數(shù)$x$，都有$x^2\geq0$。（√）

5.平面向量$\mathbf{a}=(1,2)$和$\mathbf=(3,4)$垂直當(dāng)且僅當(dāng)$\mathbf{a}\cdot\mathbf=0$。（√）

6.如果一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，那么它的反函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增。（×）

7.在等差數(shù)列中，中位數(shù)等于平均數(shù)。（√）

8.等比數(shù)列的任意兩項之積等于它們中間項的平方。（√）

9.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$在區(qū)間$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其反函數(shù)也在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增。（×）

10.指數(shù)函數(shù)$y=a^x$（$a>1$）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。（√）

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三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述一元二次方程的解法，并給出一個例子說明。

2.請解釋函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$在$x=1$處的間斷性，并說明為什么。

3.如何判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？請舉例說明。

4.簡述向量加法的三角形法則，并給出一個應(yīng)用實例。

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四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$和$(-\infty,0)$兩個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并解釋為什么函數(shù)在$x=0$處不連續(xù)。

2.論述如何通過數(shù)列的通項公式和前$n$項和的關(guān)系來證明等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并給出具體的證明過程。

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五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像在點$(1,f(1))$處切線斜率為0，則$f(1)$的值為：

A.-2

B.0

C.1

D.2

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的第五項為：

A.8

B.9

C.10

D.11

3.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項為2，公比為$\frac{1}{2}$，則數(shù)列的第四項為：

A.2

B.1

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

4.在三角形ABC中，若$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，則角B為：

A.$30^\circ$

B.$45^\circ$

C.$60^\circ$

D.$90^\circ$

5.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$，則$f(x)$的頂點坐標(biāo)為：

A.$(2,0)$

B.$(0,2)$

C.$(4,0)$

D.$(0,-4)$

6.若數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=20$，$S_8=64$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為：

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，則$f(x)$的定義域為：

A.$[-2,2]$

B.$[-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$

C.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$

D.$[-2,+\infty)$

8.在直角坐標(biāo)系中，點$(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點為：

A.$(2,3)$

B.$(3,2)$

C.$(-2,-3)$

D.$(-3,-2)$

9.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$-8$，公比為$-2$，則數(shù)列的第10項為：

A.$16$

B.$-16$

C.$32$

D.$-32$

10.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)$，則$f'(x)$的表達(dá)式為：

A.$3x^2-6x+4$

B.$3x^2-6x-4$

C.$3x^2+6x+4$

D.$3x^2+6x-4$

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.B

解析：對稱中心為函數(shù)圖像上所有點的對稱中心，對于三次函數(shù)，對稱中心可以通過求導(dǎo)數(shù)為0的點來找到，即$x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)為0，解得$x=1$，將$x=1$代入原函數(shù)得到$y=-2$，所以對稱中心為$(1,-2)$。

2.A

解析：根據(jù)海倫公式，三角形ABC的面積$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s=\frac{a+b+c}{2}$，代入$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$得到$s=6$，計算得到$S=6\sqrt{3}$，即約為$6$。

3.A

解析：通過迭代公式$a_{n+1}=2a_n+1$可以逐步計算出數(shù)列的前幾項，觀察規(guī)律可得通項公式$a_n=2^n-1$。

4.B

解析：等差數(shù)列的前$n$項和$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_5=25$，$S_8=75$解得公差$d=3$。

5.A

解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x\neq1$時有定義，因此定義域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。

6.A

解析：等比數(shù)列的第三項$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$，$a_3=8$解得$q=2$。

7.A

解析：將$x$分別代入$x^3-3x^2+4x-1$得到$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1-1=1$。

8.A

解析：三角形的周長即為三邊之和，$AB+BC+AC=3+4+5=12$。

9.C

解析：使用迭代公式$a_{n+1}=2a_n+1$計算前10項，然后相加得到總和$157$。

10.A

解析：等差數(shù)列的首項$a_1$可以通過前$n$項和$S_n$和公差$d$來求得，代入$S_5=25$，$d=3$解得$a_1=1$。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析：兩個函數(shù)的定義域相同，并不意味著它們的值域相同，因為函數(shù)的值域是由函數(shù)的值決定的。

2.×

解析：直線方程$y=kx+b$的形式是斜截式，但并不是所有直線都可以表示為這種形式，例如垂直于y軸的直線$x=c$。

3.√

解析：二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)可以通過求導(dǎo)數(shù)為0的點來找到，即$x=\frac{-b}{2a}$。

4.√

解析：任何實數(shù)的平方都是非負(fù)的，所以$x^2\geq0$對所有實數(shù)$x$都成立。

5.√

解析：向量的點積為0表示兩個向量垂直，所以如果$\mathbf{a}\cdot\mathbf=0$，則$\mathbf{a}$和$\mathbf$垂直。

6.×

解析：一個函數(shù)的單調(diào)性與其反函數(shù)的單調(diào)性不一定相同。

7.√

解析：等差數(shù)列的中位數(shù)就是中間的項，其值等于平均數(shù)。

8.√

解析：等比數(shù)列中任意兩項之積等于它們中間項的平方，這是因為等比數(shù)列的性質(zhì)。

9.×

解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$在$x=0$處不連續(xù)，因為其反函數(shù)在$x=0$處沒有定義。

10.√

解析：指數(shù)函數(shù)$y=a^x$（$a>1$）在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.解答：一元二次方程的解法包括配方法、公式法、因式分解法等。配方法是通過將方程左邊寫成一個完全平方的形式，然后求解得到兩個根。公式法是使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$來求解。因式分解法是將方程左邊因式分解，然后根據(jù)零因子定理求解。

2.解答：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處的間斷性是跳躍間斷，因為當(dāng)$x$趨近于1時，函數(shù)的左極限和右極限都存在且相等，但函數(shù)值在$x=1$處未定義。

3.解答：判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，可以通過檢查相鄰兩項的差是否為常數(shù)來判斷。等比數(shù)列可以通過檢查相鄰兩項的比是否為常數(shù)來判斷。例如，數(shù)列$\{1,3,5,7,9\}$是等差數(shù)列，因為相鄰兩項的差都是2；數(shù)列$\{1,2,4,8,16\}$是等比數(shù)列，因為相鄰兩項的比都是2。

4.解答：向量加法的三角形法則是將兩個向量的起點相連，然后以這兩個向量的終點為頂點構(gòu)成一個三角形，這個三角形的第三條邊就是兩個向量的和。例如，如果向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf$的起點都是原點，那么向量$\mathbf{a}+\mathbf$的終點就是以$\mathbf{a}$和$\mathbf$為鄰邊的三角形的第三頂點。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.解答：函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，因為當(dāng)$x$增大時，$y$減小。在$(-\infty,0)$上也單調(diào)遞減，因為當(dāng)$x$減小時，$y$增大。函數(shù)在$x=0$處不連續(xù)，因為當(dāng)$x$趨近于0時，無論從左側(cè)還是右側(cè)，$y$的極限都是無窮大。

2.解答：等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，前$n$項和$S_n=\frac{n}{2}