中考數(shù)學(xué)典型大題分類專項(xiàng)訓(xùn)練（無答案）

目錄

第一部分函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題

1.1因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題

1.2因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題

1.3因動點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題

1.4因動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題

1.5因動點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問題

1.6因動點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題

1.7因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題

1.8因動點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題

第二部分圖形運(yùn)動中的函數(shù)關(guān)系問題

2.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

2.2由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

第三部分圖形運(yùn)動中的計(jì)算說理問題

3.1代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題

3.2幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題

第一部分函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題

1.1因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題

例1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=a?+公(心＞0)經(jīng)

過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B,AO=BO=2,N4OB=120°.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)連結(jié)OM,求NAOM的大小；

(3)如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

例2如圖1,已知拋物線y=1x2__Ls+l?+2（b是實(shí)數(shù)且b>2）與X軸的正半

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軸分別交干點(diǎn)A、8（點(diǎn)A侑于點(diǎn)B是彳側(cè)），與y軸的正半軸交千點(diǎn)C.

（1）點(diǎn)8的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含匕的代數(shù)式表示）；

（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC

是以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說

明理由；

（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△QC。、△QOA和AQAB中的

任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由.

例」3如圖1,已知拋物線的方程G：y=-l(x+2)(x-m)(機(jī)＞0)與x軸交于點(diǎn)8、C,

m

與y軸交千點(diǎn)E.日點(diǎn)B在點(diǎn)。的左側(cè).

(1)若拋物線C1過點(diǎn)M(2,2),求實(shí)數(shù)〃，的值；

(2)在(1)的條件下，求ABCE的面積；

(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)”，使得8H+EH最小，求出點(diǎn)〃

的坐標(biāo)；

(4)在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)八使得以點(diǎn)8、C、/為頂點(diǎn)的三角形

與ABCE相似？若存在，求m的直；若不存在，請說明理由.

圖1

例|4如圖1,已知梯形。ABC,拋物線分別過點(diǎn)O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).

(1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)將圖1中梯形QA4C的上下底邊所在的直線QA、8以相同的速度同時向上平移，

分別交拋物線于點(diǎn)Oi、Ai、G、⑤，得到如圖2的梯形OIABIG.設(shè)梯形0質(zhì)出C1的面積

為S,4、&的坐標(biāo)分別為(xi,yi)、(X2,>12).用含S的代數(shù)式表示叼一汨，并求出當(dāng)S=36

時點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(3)在圖1中，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,3),動點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒I個單位長度的

速度沿著線段3C運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以與點(diǎn)尸相同的速度沿著線段0M運(yùn)動.尸、

。兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)歷時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)P、。兩點(diǎn)的運(yùn)動時間

為，，是否存在某一時刻，，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線A3、

例5如圖1,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)「是拋物線上的一個動點(diǎn)，過「作軸，垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以

A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△O4C相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不

存在，請說明理由：

圖1

例6

如圖1?融物線y-aQ一】）（工-5）與工■的交點(diǎn)為M、N.直線（y?AI+b與］，交于

P（-2.0）.與V軸交于C.若A、B兩點(diǎn)在宜線y=匕+6上?且AO?BO-^.AO±BO.

D為線段MN的中點(diǎn)?OH為RtAOPC斜邊上的高.

）H的長度等于▲■=▲?6一▲.

（2）是否存在實(shí)數(shù)a.使得拋物線N-aa+Da-5）上有一點(diǎn)E,滿足以D、N、E為頂點(diǎn)的

三角形與AAOB相似？

若不存在，說明理由：若存在?求所有符合條件的拋物線的解析式,同時探索所求得的拋

物線上是否還有符合條件的￡點(diǎn)（簡要說明理由八井迸一步探索對符合條件的每一個

E點(diǎn).在線NE與直線A8的交點(diǎn)G是否總滿足P8?PGV10&.寫出探索過程.

1.2因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題

例1如圖1,在RtZXABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，

OEL8C交邊4c于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸為射線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)。為邊AC上的一動點(diǎn)，且NPOQ

=90°.

(1)求E￡＞、EC的長;

(2)若BP=2,求CQ的長；

(3)記線段尸。與線段OE的交點(diǎn)為F,若尸為等腰三角形，求BP的長.

例2如圖1,拋物線丁=加+加+6?經(jīng)過A(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線/是拋

物線的對稱軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)點(diǎn)戶是直線/上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△以。的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線/上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合

條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例3如圖1,點(diǎn)4在x軸二，Q4=4,將線段Q4繞點(diǎn)0順時針旋轉(zhuǎn)120°至08的

位置.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A、。、B的拋物線的解析式；

(3)在此拋物線的對稱軸.匕是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、0、8為頂點(diǎn)的三角形是等

腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

份!|4如圖1,已知一次函數(shù)），=一1+7與正比例函數(shù)），=gx的圖象交于點(diǎn)A,且與x軸交

于點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AC_L），軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作直線/〃/軸.動點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1

個單位長的速度，沿。一C—A的路線向點(diǎn)4運(yùn)動；同時直線/從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向

左平移，在平移過程中，直線/交x軸于點(diǎn)R,交線段氏4或線段A。于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)

點(diǎn)A時，點(diǎn)尸和直線/都停止運(yùn)動.在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)尸運(yùn)動的時間為/秒.

①當(dāng)，為何值時，以4、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8?

②是否存在以A、P、。為頂點(diǎn)的三角形是等腰

三角形？若存在，求/的值；若不存在，請說明理由.

例|5如圖1,在矩形A8CD中，（〃?是大于0的常數(shù)），BC=8,E為線段8C

上的動點(diǎn)（不與8、C重合）.連結(jié)。E,作E/LLQE,E/與射線B4交于點(diǎn)凡設(shè)CE=x,

BF=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若用=8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

12

(3)若丁="，要使aoE尸為等腰三角形，，〃的值應(yīng)為多少？

m

B

圖1

例6如圖1,在等腰梯形A5c。中，ADHBC,E是48的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//BC交

8于點(diǎn)尸，A8=4,8c=6,NB=60°.

（1）求點(diǎn)E到8c的距離；

（2）點(diǎn)P為線段上產(chǎn)上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMJ_E尸交BC于M,過M作MN//AB

交折線4OC于N,連結(jié)PM設(shè)EP=x.

①當(dāng)點(diǎn)N在線段A。上時（如圖2）,△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN

的周長；若改變，請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)N在線段。。上時（如圖3）,是否存在點(diǎn)P,使為等腰三角形？若存在，

請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由.

1.3因動點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題

例1如圖1,拋物線y=一_|工一4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)8在點(diǎn)A的右側(cè)),

與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,以8c為一邊，點(diǎn)。為對稱中心作菱形BOEC,點(diǎn)夕是x軸上

的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(肛0),過點(diǎn)尸作x軸的垂線/交拋物線于點(diǎn)Q.

(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段0B上運(yùn)動時，直線/分別交80、8C于點(diǎn)M、N.試探究用為何

值時，四邊形CQM。是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQ8M的形狀，并說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動時，是否存在點(diǎn)Q,使△8。。為直角三角形，若存在，

請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例1如圖1,拋物線丁二一，2一3工+3與X軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)),

84

與y軸交于點(diǎn)C.

(I)求點(diǎn)4、B的坐標(biāo)；

(2)設(shè)。為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACO的面積等于AACB的面積

時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若直線/過點(diǎn)E(4,0),M為直線/上的動點(diǎn)，當(dāng)以4、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三

角形有且只有三個時，求直線/的解析式.

例3在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)），=網(wǎng)/+工-1）的圖象交于點(diǎn)A（1人）

和點(diǎn)B（—1,—2）.

（1）當(dāng)攵=一2時，求反比例函數(shù)的解析式；

（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求火應(yīng)滿足的條件以及x的

取值范圍；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q,當(dāng)△ABQ是以A8為斜邊的直角三角形時，求左

的值.

例4設(shè)直線A丁=加+"與Ny=hr+b2,若/」/2,垂足為”，則稱直線/i

與，2是點(diǎn)”的直角線.

(1)已知直線①)，=一白+2;?y=x+2；?y=2x+2；④y=2x+4和點(diǎn)C(0,2),

則直線和是點(diǎn)C的直角線(填序號即可)；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形0ABe的頂點(diǎn)4(3,0)、8(2,7)、C(0,7),

P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過從P兩點(diǎn)的直線為小過4、P兩點(diǎn)的直線為6,若八與12是點(diǎn)

產(chǎn)的直角線，求直線人與6的解析式.

圖1

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=一竺1■/+網(wǎng)/+病一3加+2與x軸

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的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)。和點(diǎn)A,點(diǎn)8(2,〃)在這條拋物線上.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸在線段04上，從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)尸作x軸的垂線，與直線OB

交于點(diǎn)E,延長PE到點(diǎn)。，使得EO=PE,以PD為斜邊，在P。右側(cè)作等腰直角三角形

PCD(當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，點(diǎn)。、。也隨之運(yùn)動).

①當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時，求OP的長；

②若點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一

個點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)。作勻速運(yùn)動，速度為每秒2個單位(當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時停止運(yùn)動,

點(diǎn)P也停止運(yùn)動).過。作％軸的垂線，與直線A8交于點(diǎn)凡延長QF到點(diǎn)M,使得/M=

QF,以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動時，點(diǎn)M、N也

隨之運(yùn)動).若點(diǎn)P運(yùn)動到，秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線

上，求此刻f的值.

圖1

例6如圖1,已知A、8是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4,M4=l,MB>1.以A

為中心順時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)以8為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C,構(gòu)成△

ABC,設(shè)A6=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面積？

例7如圖1,直線y=-gx+4和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、。，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

（-2,0）.

（1）試說明△A5C是等腰三角形；

（2）動點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)3運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)5出發(fā)沿線段3c向點(diǎn)C

運(yùn)動，運(yùn)動的速度均為每秒1個單位長度.當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，他們都停止運(yùn)動.設(shè)

M運(yùn)動/秒時，△MON的面積為S.

①求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)點(diǎn)M在線段08上運(yùn)動時，是否存在S=4的情形？若存在，求出對應(yīng)的，值；若

不存在請說明理由；

③在運(yùn)動過程中，當(dāng)△MON為直角三角形時，求/的值.

圖1

1.4因動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題

例1如圖1,已知拋物線丁=一1+公+。經(jīng)過4(0,1)、8(4,3)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求tan/ABO的值；

(3)過點(diǎn)B作BCLxfill,垂足為C,在對稱軸的左側(cè)且平行于)，軸的直線交線段AB

于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)若四邊形MNC8為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖1

例2如圖1,在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊

AC向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)。開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2

個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)、P但PD//BC,交A8于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)P。.點(diǎn)P、。分別從點(diǎn)4、

C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為/秒620）.

（1）直接用含f的代數(shù)式分別表示：QB=,PD=；

（2）是否存在，的值，使四力形PDBQ為菱形？若存在，求出f的值；若不存在，說

明理由，并探究如何改變點(diǎn)。的速度（勻速運(yùn)動），使四邊形PQ8Q在某一時刻為菱形，求

點(diǎn)。的速度；

（3）如圖2,在整個運(yùn)動過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長.

PA

例3如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，己知矩形A8CO的三個頂點(diǎn)8(1,0)、C(3,0)、

D(3,4).以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C.動點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)

B運(yùn)動,同時動點(diǎn)。從點(diǎn)C出妥，沿線段向點(diǎn)。運(yùn)動.點(diǎn)P、。的運(yùn)動速度均為每秒1

個單位，運(yùn)動時間為，秒.過點(diǎn)P作PEL4B交AC于點(diǎn)￡

(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)E作E尸_LAD于尸，交拋物線于點(diǎn)G,當(dāng)，為何值時，AACG的面積最大？

最大值為多少？

(3)在動點(diǎn)P、。運(yùn)動的過程中，當(dāng)/為何值時，在矩形ABCO內(nèi)(包括邊界)存在

點(diǎn)，，使以C、Q、E、，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請直接寫出f的值.

例4已知平面直角坐標(biāo)系xo），（如圖1）,一次函數(shù)），=之彳+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,

4

點(diǎn)M在正比例函數(shù)v=3x的圖象上，且M0=M4.二次函數(shù)

2

+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M.

（1）求線段AM的長；

（2）求這個二次函數(shù)的解析式；

（3）如果點(diǎn)8在y軸匕且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)。在一

次函數(shù)），=之工+3的圖象上，且四邊形ABCQ是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

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例5將拋物線ci：y=-Q?+G沿x軸翻折，得到拋物線C2,如圖1所示.

（1）請直接寫出拋物線C2的表達(dá)式；

（2）現(xiàn)將拋物線ci向左平移加個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x

軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、8；將拋物線優(yōu)向右也平移機(jī)個單位長度，平移后得到新拋物

線的頂點(diǎn)為N,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為。、E.

①當(dāng)8、力是線段AE的三等分點(diǎn)時，求〃?的值；

②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E.M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，

請求出此時機(jī)的值；若不存在，請說明理由.

圖1

例6在直角梯形045。中，CB〃0A,NCO4=90°,CB=3,0A=6,BA=3后.分

別以。4、0C邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)已知。、E分別為線段0C、。8上的點(diǎn)，00=5,0E=2EB,直線。石交x軸于

點(diǎn)F.求直線DE的解析式；

(3)點(diǎn)M是(2)中直線OE上的一個動點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)M

使以0、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

例7如圖1,拋物線丁=一一+2工+3與工軸相交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)),

與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D

(1)直接寫出A、8、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

(2)連結(jié)BC,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段8。上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作

PF//DE交拋物線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī).

①用含機(jī)的代數(shù)式表示線段尸尸的長，并求出當(dāng)〃?為何值時，四邊形PEOr為平行四

邊形？

②設(shè)△BC77的面積為S,求S與加的函數(shù)關(guān)系.

1.5因動點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問題

例1已知直線y=3x—3分別與x軸、)，軸交于點(diǎn)A,B,拋物線y=ad+2x+c經(jīng)過

點(diǎn)A,B.

(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)記該拋物線的對稱軸為直線，，點(diǎn)8關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為C,若點(diǎn)。在y軸的正

半軸上，旦四邊形ABC。為梯形.

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為P,其對稱軸與直線y=3x-3交于點(diǎn)E,

若tan/DPE=2，求四邊形BQEP的面積.

7

例2如圖1,把兩個全等的RtAAOB和RlZ\CO。方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直

角邊。4、。。在x軸上.已知點(diǎn)41,2),過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、1y軸于點(diǎn)E、F.拋

物線)，=加+區(qū)+6經(jīng)過0、A、C三點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)尸為線段0C上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,交x軸

于點(diǎn)M問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)若AAOB沿4C方向平移(點(diǎn)4始終在線段4c上，且不與點(diǎn)C重合)，^AOB

在平移的過程中與△COO重疊部分的面積記為S.試探究S是否存在最大值？若存在，求

出這個最大值；若不存在，請說明理由.

傷Ij4已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過4（2,0）、C（0,12）兩點(diǎn),且對稱軸為直線x=4,

設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)艮

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖1,在直線y=2r上是否存在點(diǎn)。，使四邊形OP&）為等腰梯形？若存在，

求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,點(diǎn)M是線段OP上的一個動點(diǎn)（。、尸兩點(diǎn)除外），以每秒應(yīng)個單位長度

的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)。運(yùn)動，過點(diǎn)“作直線MN//X軸，交P8于點(diǎn)M將沿直線MN

對折，得到△PiMN.在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，設(shè)△PiMN與梯形0MN8的重登部分的面

積為S,運(yùn)動時間為r秒，求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式.

圖1圖2

傷115如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y='/+1,點(diǎn)。的

4

坐標(biāo)為(-4,0),平行四邊形OA8C的頂點(diǎn)4,B在拋物線上，A8與y軸交于點(diǎn)M,已知點(diǎn)

。。，y)在拋物線上，點(diǎn)、PQ,0)在x軸上.

(1)寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)四邊形CMQ尸是以M0,PC為腰的梯形時.

①求，關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；

②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時，求，的值.

圖1

例7如圖1,二次函數(shù)丁=12+a+式〃〈0)的圖象與工軸交于4、8兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C(0,-1),△ABC的面積為2.

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)過)，軸上的一點(diǎn)M(0,m)作y軸的垂線，若該垂線與△AEC的外接圓有公共點(diǎn),

求加的取值范圍；

(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)。，使以A、B、C、力為頂點(diǎn)的四邊形為直角

梯形？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1.6因動點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題

例1如圖1,已知拋物線曠=；/+云+。"、c是常數(shù)，且CVO)與上軸交于4、

8兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).

(1)b=,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為(上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示)；

(2)連結(jié)4C,過點(diǎn)A作直線AE//BC,與拋物線交于點(diǎn)E點(diǎn)。是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)

為(2,0),當(dāng)C、。、E三點(diǎn)在同一直線上時，求拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P是％軸下方的拋物線上的一動點(diǎn)，連結(jié)P8、PC.設(shè)△P8C

的面積為S.

①求S的取值范圍；

②若APBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△尸BC共有____個.

傷Ij2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為4(0,1)、8(2,0)、

0(0,0),將此三角板繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到三角形490.

(1)一拋物線經(jīng)過點(diǎn)4、B\B,求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使四邊形PEAB的面

積是△46。面積的4倍？若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，試指出四邊形尸斤48是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條

性質(zhì).

圖1

例3如圖L在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=Lx+l與拋物線尸加+以-3交于4

2

B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線A8下方的拋物線上的一動點(diǎn)（不

與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,作尸。_LA8于點(diǎn)D

（1）求。、6及sin/ACP的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；

②連結(jié)P8,線段尸。把△PD8分成兩個三角形，是否存在適合的機(jī)的值，使這兩個三

角形的面積比為9：10?若存在，直接寫出小的值；若不存在，請說明理由.

例4如圖1,直線/經(jīng)過點(diǎn)A(l,0),且與雙曲線丁=絲(七>0)交于點(diǎn)8(2,1).過點(diǎn)

P(P，〃T)(P>D作x軸的平行線分別交曲線和y=-"(xVO)于M、N兩點(diǎn)?

xx

(1)求利的值及直線I的解析式；

(2)若點(diǎn)尸在直線)，=2上，求證：△PMBs△尸NA；

(3)是否存在實(shí)數(shù)p,使得SMMN=4SMMP?若存在，請求出所有滿足條件的p的值;

若不存在，請說明理由.

圖1

例5如圖1,四邊形0A8C是矩形，點(diǎn)4、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).點(diǎn)。是線段

BC上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)B、。不重合)，過點(diǎn)。作直線丁二一;x+b交折線OA8于點(diǎn)￡

(1)記△ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時,若矩形0ABe關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形0i48G，

試探究四邊形OIABIG與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊

部分的面積；若改變，請說明理由.

例6如圖1,在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,CD是斜邊A8上的高，

點(diǎn)E在斜邊AB上，過點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F,設(shè)AE=x,ZVlE尸的面積

為y.

（1）求線段AO的長：

（2）若EELAB,當(dāng)點(diǎn)E在斜邊A8上移動時，

①求），與K的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；

②當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求出最大值.

（3）若點(diǎn)尸在直內(nèi)邊AC上（點(diǎn)尸與A、。不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動，試問，

是否存在直線E尸將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線求出x的值；若不存

在直線ER請說明理由.

例7如圖1,正方形A8c。中，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(0,10),(8,4),點(diǎn)。在

第一象限.動點(diǎn)P在正方形A8CD的邊上，從點(diǎn)4出發(fā)沿4f勻速運(yùn)動，同時動

點(diǎn)Q以相同速度在工軸上運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)到。點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為/

秒.

(1)當(dāng)P點(diǎn)在邊48上運(yùn)動時，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)x(長度單位)關(guān)于運(yùn)動時間t(秒)的

函數(shù)圖象如圖2所示，請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動時的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動速度；

(2)求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在(1)中當(dāng)/為何值時，的面積最大，并求此時尸點(diǎn)的坐標(biāo).

(4)如果點(diǎn)P、。保持原速度速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A-B-C-D勻速運(yùn)動時，OP與

尸Q能否相等，若能，寫出所有符合條件的，的值；若不能，請說明理由.

1.7因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題

例1如圖1,已知00的半徑長為3,點(diǎn)A是。。上一定點(diǎn)，點(diǎn)P為。0上不同于

點(diǎn)A的動點(diǎn).

（1）當(dāng).■=■!■時，求AP的長；

（2）如果。。過點(diǎn)P、0,且點(diǎn)。在直線4尸上（如圖2）,設(shè)人尸=x,QP=y,求y關(guān)

于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)tanA=±時（如圖3）,存在。M與。。相內(nèi)切，同時與。。

3

相外切，且0M_L0Q,試求。M的半徑的長.

例2如圖1,4（一5,0）,B（—3,0）,點(diǎn)C在），軸的正半軸上，NCBO=45°,CD//AB,

NCD4=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)Q（4,0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個單位長的速度運(yùn)動，運(yùn)動時間

為，秒.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)NBCP=15°時，求，的值；

(3)以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的。尸隨點(diǎn)P的運(yùn)動而變化，當(dāng)。尸與四邊形ABCD

的邊（或邊所在的直線）相切時，求f的值.

例3如圖1,菱形ABCD的邊長為2厘米，ND4B=60°.點(diǎn)P從A出發(fā)，以每

秒石厘米的速度沿AC向C作勻速運(yùn)動；與此同時，點(diǎn)。也從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1厘米的

速度沿射線作勻速運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C時，P、。都停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為f秒.

（1）當(dāng)P異于A、C時，請說明PQ//8C；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運(yùn)動過程中，，為怎樣的值時，0

P與邊BC分別有1個公共點(diǎn)和2個公共點(diǎn)？

1.8因動點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題

例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（—2,0）,8（0,4）,點(diǎn)E在。8上，且/O4E=N

OBA.

（1）如圖1,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）如圖2,將△AE。沿x軸向右平移得到△A￡。，，連結(jié)AB、BE.

①設(shè)其中0VmV2,使用含機(jī)的式子表示A序+B￡2,并求出使/T不+BE?

取得最小值時點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②當(dāng)48+BE取得最小值時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

例2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=加+云+，經(jīng)過4(一2,—4)、0(0,0)、

8(2,0)三點(diǎn).

(1)求拋物線j=avIbxIc的解析式；

(2)若點(diǎn)M是該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值.

圖1

1503如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-f+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求直線AC的解析式及B、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)夕是工軸上的一個動點(diǎn)，過P作直線Z//4C交拋物線于點(diǎn)Q.試探究：隨著點(diǎn)P

的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)。，使以A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存

在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)請?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)使△8QM的周長最小，求出點(diǎn)歷的坐標(biāo).

圖1

第二部分函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題

2.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

傷|]1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)8的坐

標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,0),點(diǎn)P在射線A8上運(yùn)動，連結(jié)CP與)，軸交于點(diǎn)。，連結(jié)

BD.過P、D、8三點(diǎn)作。Q,與)，軸的另一個交點(diǎn)為E,延長OQ交。。于尸，連結(jié)EA

BF.

(1)求直線A8的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段48(不包括A、8兩點(diǎn))上時.

①求證：ZBDE=ZADP；

②設(shè)OE=x,DF=yt請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)請你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在以仄。、尸為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足

兩條直角邊之比為2：1?如果存在，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

圖1

例2在RtZ\ABC中，NC=90。，4C=6,sinB=。，OB的半徑長為1,OB交邊

5

CB于點(diǎn)尸，點(diǎn)。是邊48上的動點(diǎn).

(1)如圖1,將。B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到。M,請判斷(DM與真線AB的位置關(guān)系：

(2)如圖2,在(1)的條件下，當(dāng)△OMP是等腰三角形時，求OA的長；

(3)如圖3,點(diǎn)N是邊上的動點(diǎn)，如果以M?為半徑的。N和以O(shè)A為半徑的。。

傷!|3如圖1,甲、乙兩人分別從4、8兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).甲沿A。

方向、乙沿60方向均以每小時4千米的速度行走，/小時后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn).

（1）請說明甲、乙兩人到達(dá)點(diǎn)。前，MN與A"不可能平行；

（2）當(dāng)，為何值時，△OMNsAOBA?

（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長.設(shè)5=肋\(yùn)巴求$與，之間的函數(shù)關(guān)系式，并

求甲、乙兩人之間距離的最小值.

圖1

例4在RdABC中，N4CB=90°,BC=30,AB=50.點(diǎn)尸是4B邊上任意一點(diǎn)，

直線PEJ_AB,與邊AC或相交于E.點(diǎn)M在線段A尸上，點(diǎn)N在線段B尸上，EM=EN,

sinZEMP=--

13

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時，求CM的長；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)AP=x,BN=y,求y

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)若△AMEs/\ENB(Z\AWE的頂點(diǎn)4、M、E分別與AENB的頂點(diǎn)￡、N、8對應(yīng))，

2.2由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

例J1如圖1,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)

Q1

y=+3的圖像與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)8在二次函數(shù)y=（爐+以+。的圖像上，且該

二次函數(shù)圖像上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形.

（1）試求b、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式；

（2）動點(diǎn)P從4到。，同時動點(diǎn)。從C到4都以每秒1個單位的速度運(yùn)動，問：

①當(dāng)尸運(yùn)動到何處時，由尸QJ_AC?

②當(dāng)P運(yùn)動到何處時，四邊形POCQ的面積最??？此時四邊形POCQ的面積是多少？

圖I

例2如圖1,拋物線__|l一9與x軸交于小B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,聯(lián)

結(jié)8C、AC.

(1)求A8和。。的長；

(2)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(點(diǎn)E與點(diǎn)A、8不重合)，過點(diǎn)E作BC的

平行線交AC于點(diǎn)D.設(shè)AE的長為小，ZXAOE的面積為s,求s關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式，并

寫出自變量機(jī)的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，聯(lián)結(jié)CE,求面積的最大值；此時，求出以點(diǎn)E為圓心,

與8C相切的圓的面積(結(jié)果保留工).

圖1

例3如圖1,圖2,在△ABC中，48=13,BC=14,cosZABC=—.

13

探究如圖1，A〃_L8C于點(diǎn)〃，則A”=,AC=,ZVIBC的面積SAASC=

拓展如圖2,點(diǎn)。在AC上(可與點(diǎn)A、C重合)，分別過點(diǎn)A、。作直線8。的垂線,

垂足為E、F.設(shè)80=斯AE=m,CF=n.(當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時，我們認(rèn)為％ABD=0)

(1)用含x,加或〃的代數(shù)式表示S4ABD及SACBD;

(2)求(〃?+〃)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求(m+〃)的最大值和最小值；

(3)對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點(diǎn)。，指出這樣的x的取值范圍.

發(fā)現(xiàn)請你確定一條直線，使得A、8、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小(不必寫出

過程)，并寫出這個最小值.

傷!I4如圖1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)P在AB上，AP=2.點(diǎn)

E、尸同時從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿剛、尸8以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)A、8勻速運(yùn)動，

點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿A8向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)B時停止，點(diǎn)E也隨之停

止.在點(diǎn)E、尸運(yùn)動過程中，以EF為邊作正方形EFGH,使它與△ABC在線段的同側(cè).設(shè)

E、產(chǎn)運(yùn)動的時間為/秒(f>0),正方形EFG”與△ABC重疊部分的面積為S.

(1)當(dāng)/=1時，正方形EFG”的邊長是；當(dāng)/=3時，正方形EFGH的邊長

是：

(2)當(dāng)1V/W2時，求S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)直接答出：在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)f為何值時，S最大？最大面積是多少？

圖1

傷IJ5如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形.直線1經(jīng)過0、C

兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(11,4),動點(diǎn)P在線段0A上從O出發(fā)以每秒

1個單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A->B->C的

方向向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線O—C—B相交于點(diǎn)M.當(dāng)P、Q兩點(diǎn)

中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒(t>0),△

MPQ的面積為S.

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,直線1的解析式為；

(2)試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.

(3)試求題(2)中當(dāng)t為何值時，S的值最大？最大值是多少？

例6如圖1,矩形48co中，AB=6,8C=2j