流體力學(xué)習(xí)題及答案

第一章緒論

1-1連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的條件是什么？

答：所研究問題中物體的特征尺度L,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于流體分子的平均自由行程1,HP1/L?lo

1-2設(shè)稀薄氣體的分子自由行程是幾米的數(shù)量級(jí)，問下列二種情況連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是否成立？

（1）人造衛(wèi)星在飛離大氣層進(jìn)入稀薄氣體層時(shí)；

<2）假象地球在這樣的稀薄氣體中運(yùn)動(dòng)時(shí)。

答：（1）不成立。

（2）成立。

1-3粘性流體在靜止時(shí)有沒有切應(yīng)力？理想流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)有沒有切應(yīng)力？靜止流體沒有粘

性嗎？

答：（1）由于心=0,因此「二〃蟲=0,沒有剪切應(yīng)力。

dydy

（2）時(shí)于理想流體，由于粘性系數(shù)〃=0,因此丁=〃包=0,沒有剪切應(yīng)力。

dy

（3）粘性是流體的根本屬性。只是在靜止流體中，由于流場的速度為0,流體的粘性沒有

表現(xiàn)出來。

1-4在水池和風(fēng)洞中進(jìn)行船模試驗(yàn)時(shí)，需要測定由下式定義的無因次數(shù)（雷諾數(shù)）Re=—,

v

其中U為試驗(yàn)速度，L為船模長度，卜為流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。如果U=20m/s,L=4m,

溫度由10℃增到40。。時(shí)，分別計(jì)算在水池和風(fēng)洞中試驗(yàn)時(shí)的Re數(shù)。（10。。時(shí)水和空氣

的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為0.013X10T和（）.014x107,40。。時(shí)水和空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為

().0075x1(尸和0.179x1()7)。

UL_20("z/s)x4("z)

7

答:10℃時(shí)水的Re為:V=0.013X10：4(/?2/J)=6.154xl0

Rej

10。。時(shí)空氣的Re為:。鶻憂%=5.73，

v

20(m/s)x4(〃。

Re鳴8

40。。時(shí)水的Re為:-42=1.067xl()

v0.0075xl0(/n/5)

40℃時(shí)空氣的Re為：Re=—=20（加/$）：『?）=4469乂］（）6。

v0.179X10-4（/??2/5）

1-5底面積為1.5，小的薄板在靜水的表面以速度u=i6〃7/s做水平運(yùn)動(dòng)（如圖所示），己

知流體層厚度/?=4mm,設(shè)流體的速度為線性分布14=%,求移動(dòng)平板需要多大的力（其

中水溫為20。。）o

答：平板表面受到剪切應(yīng)力作用，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，剪切應(yīng)力為：了二〃半。

dy

...UdllUEUu

由于〃=—y,得到丁=一,因此獷=〃一。

hdyhh

作用于平板上的粘性切向力為：V=\\TdS=\\/jydS=pv^-S^其中水的密度為:

CQfl11

p=1.0xl03（A:g/w3）；

20。。時(shí)水的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為：v=1.0037x10"（//5）；代入上式得到:

F=1.0X103(^//7?3)X1.0037xlO-6^2/s)x1.5("J)=6.02(N)

O(XM("Z)X

1-6設(shè)物面附近流體的流動(dòng)如圖所示，如果邊界層萬內(nèi)流速按拋物線分布:

v=U2^-^z-,當(dāng)U=20m/s,t)=10c/?7,溫度為15℃,試問流體分別為水和空

I6列

氣時(shí)，作用于壁面OAB上的剪切應(yīng)力。

答：物體表面的剪切應(yīng)力為：r=//

y-0

2

ITdvdyy\\_/22y)、卜_,(2U

由于：丁二丁U2々一不二U不一七，當(dāng)y=0時(shí)，—=-o

2U、U

因II1出H:：r=//---=2pv—o

88

(1)當(dāng)流體為水時(shí)：

15℃時(shí)水的密度「卻運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)i，分別為：

p=1.0xl03（^//n3）,v=1.139x10"（〃//$）,

336

r=2xl.0x\Q（kg/m）x1.139xUF—2/s）x20（〃〃s）/0.1（m）=0.4556（P〃）o

（2）當(dāng)流體為空氣時(shí)：

15℃時(shí)空氣的密度p和運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)v分別為：

p=1.226Rg/）,u=1.455xKT，（蘇/§）,

T=2x1.226（值/加3卜1.455x10-5（W2/J）X20（“〃$）/0.1（利）=7.14x10-3（P〃）。

1-7有一旋轉(zhuǎn)粘度計(jì)如圖所示。同心軸和筒中間注入牛頓流體，筒與軸的間隙5很小，筒以

口等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)間隙中的流體速度沿矢徑方向且為線性分布，/很長，底部影響不計(jì)。

如測得軸的扭矩為M,求流體的粘性系數(shù)。

答：軸承受的剪切應(yīng)力：「二〃”=〃絲：

ay2c）

則軸受到的剪切力為：

眄Id'

F=t-ml1=------；

23

由于軸受到的扭矩為M，貝iJ：

匚dA4口"

F?—=M,即-------=M；

243

所以：

Ll=----ro

3ld'

第二章流體靜力學(xué)

2-1如果地面上空氣壓力為0.101325MPa,求距地面100m和1000m高空處的壓力。

答：取空氣密度為夕=1.226優(yōu)并注意到1(MP〃)=K)6(a)。

(1)100米高空處：

p=p()—pgh=1.01325x10、(Pa)—1.226(Zg/nr9.8l(m/52)xl00(//?)

=101325(P〃)—1203(^)=1.00122xl05(尸a)

(2)1000米高空處:

p=[%-pgh=1.01325x10、(Pci)-\.226(kg/)x9.8l(//z/52)x1000(m)

=101325(Pa)-l2027(Pa)=0.89298xIO5(Pa)

2-2如果海面壓力為一個(gè)工程大氣壓，求潛艇下潛深度為50m、500m和5000m時(shí)所承受海

水的壓力分別為多少？

答：取海水密度為/?=1.025><103(必/〃打，并注意到所求壓力為相對(duì)壓力。

(1)當(dāng)水深為50米時(shí)：

p=pgh=1.025x103Gg/〃尸卜9.81(6//)x50(〃?)=5.028x1O5(P6/)。

(2)當(dāng)水深為500米時(shí)：

p=pgh=1.025x10'kg/〃z')x9.81(〃z/s2)x500&〃)=5.028x1O6(P(7)。

(3)當(dāng)水深為5000米時(shí)：

〃=夕"=1.025xlfpRg/m3)X9.81(〃/S2)X5000?)=5.028乂1。7(&)。

2-3試決定圖示裝置中A,B兩點(diǎn)間的壓力差。已知：h]=500〃"〃，h2=200nv??,

3

h3=150〃〃”,h4=250坂〃，h5=400〃〃〃；酒精重度為=7848N/m,水銀重度

/2=133400N/m\水的重度力二9X10N/m\

答：設(shè)A,B兩點(diǎn)的壓力分別為和，123,4各個(gè)點(diǎn)處的壓力分別為〃1,P”[)3

和〃4。根據(jù)各個(gè)等壓面的關(guān)系有：

Pl=必十八九，

P\=〃2+匕〃2,

〃3=〃2+外力3,

〃3=。4+/2.4,

=/4+%(〃5-〃)

整理得到：

屋=PB+/3(丸-3+72h2-九。，

PA-PB=-八%+力值+為)+%(〃5一九一4)

=-7848x0.15+1334OOx(0.25+0.2)+981Ox(0.4-0.25-0.5)

=55419.3(4)

2?4有閘門如圖所示，其圓心角。=60°,轉(zhuǎn)軸位于水面上。已知閘門寬度為B,半徑為R,

試求閘門受到的合力及合力與自由面的夾角ao

答：（1）求水平分力P、=廣/小5,

由于則九；

”=Rsina,=^RsinaS.=HB=RsinaB因此:

,22

P\=/?一Rsina?RBsina=

2

（2）求垂向分力2=y?V

其中：y=f—.^2-l/?sinez/?cosalB=f---，

[2乃2）^68J

因此R=y?V二度?一,卜8=（0.523—0.217）疥8=0.306冰空。

（3）求合力P

合力大?。篜=場正'=0.484冰23；

合力方向：tan。=?/尸、=0.306/28/0.375冰?B=0.816,8=39.2，

2-5設(shè)水深為/?,試對(duì)下述幾種剖面形狀的柱形水壩，分別計(jì)算水對(duì)單位長度水壩的作用力。

（1）拋物線：z=?x2,（。為常數(shù)）；

（2）正弦曲線：z=asinbx,（b/a<\,a,/?為常數(shù)）。

答：（1）z=ax1,a為常數(shù)。

水平分力：Px=y%S；

其中"二L"，sx=h\=h；因此Pv=y，/7"?二g沿2。

垂直分力：P:=yV；

其中『=5.1=5,而S=/，4—『'addx,并注意到々=痂二，于是得到:

(2)z=as\nhx,(hla<1,a,〃為常數(shù))。

水平分力：P、=yhc-Sx=；?『。

垂直分力：B=y-V；

其中V=S-1=S,而S=〃?％-『Qsin加以，并注意到修='arcsin匕于是得至的

ba

V=工力九一1：asinbxdx=xh-h+—?cosb.q；=xh-h+—cosbxh--

h.haj.1.h\

=—arcsin—+—cosb-—arcsin—

bab{bab

h.h1{―.2a

=—arcsin—+—-h"——

habb

A-arcsin—+yja2-h2

因此，Pz=

2-6試求圖示單位長度水渠壁面所受的靜水作用力。已知水的重度y=9810(N/n?),水渠

左壁為),=—x的直線，右壁為y=V的拋物線。

答：3)水渠左壁面受力

①采用平板公式計(jì)算

作用力大?。篜=7?4?S=9810x'xgx1=6935.67(?7)：

2

作用力方向：垂直作用于平板OA,并指向0A。

作用點(diǎn)：

，,L甘rh6y—x(V2?xl=—,5=V2xl=V2o

y<s212V76

因此，y；=-V2=0.9427(/?)；/?；=y；sin450=-V2x—=-(w)o

f3fJ323

②采用柱面公式計(jì)算

水平分力：R二夕?4?S,=9810乂]乂1*1=4905(N)：

垂直分力：P==y-V=9810x1x1x1x1=4905(N)；

合力：P=4P；+P；=4905x&=6936.72(N).

（2）水渠右壁面受力

水平分力：P、=yh<Sx=9810x-!-xlxlxl=49()5(N)；

垂直分力：E=/V：

11)

而V=S?1=S,S=lxl-fx2^=l——=-

J0J3J3

2

因此R=/-V=98lOx-=6540(^)o

合力：p=』p：+p：=8175(N)°

2-7一圓筒形容器的半徑R,所盛水的高度Ho若該容器以等角速度①繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng),

設(shè)r=0,z=h點(diǎn)的壓力為pO,試求容器內(nèi)水的壓力分布及自由表面方程（設(shè)容器足夠高，旋

轉(zhuǎn)時(shí)水不會(huì)流出）。

答：（1）作用于筒內(nèi)流體的質(zhì)量力包括兩項(xiàng):

第一項(xiàng)：與z碓標(biāo)方向相反的重力，重力加速度為g；

第二項(xiàng)：沿，?坐標(biāo)方向的離心力，離心加速度為0

因此單位質(zhì)量力為:

2

f=cor^er-g?ezf其中：？,、乏分別為小z方向的單位向量。

（2）對(duì)于靜止流體微分方程：7=-Vp,其中壓力梯度：▽〃=???瓦+絲@

pcroz

將質(zhì)量力3和壓力梯度▽口代入，則得到:

21-3P一dp—

p(o-r-er-pg-ez=~er^~ez；

比較方程兩端，則得到：

3P2中

歷二小八瓦二-必。

(3)壓力的全微分：即=辿公+辿dz,將絲=夕］「和攵二一代入其中，有:

drdzdrdz

dp=pcerrdr-pgdz；

將上式兩端同時(shí)積分，得到：

1、,

p=-pc^r-pgz+C,其中。為常數(shù)。

將條件廠=0、Z=/7時(shí)〃=〃0代入上式，則得至IJ:

c=Po+pgh。

即流體內(nèi)部的壓力分布為：

p=-a2/一即一〃0+用〃=〃0+pg(h-z)+-pco-r-；

又由于在自由表面上：p=P。,代入到上述壓力分布式中，則得到：

)))八

—pco~r~+pg(h-z)=0；

該式便是筒內(nèi)流體的自由面方程O

2-8底面積aXa=200X200mm2的正方形容器的質(zhì)量為m1=4kg,水的高度為h=150mm,容

器的質(zhì)量為m2=25kg的重物作用下沿平板滑動(dòng)，設(shè)容器底面與平板間的摩擦系數(shù)為(M3,

試求不使水溢出的最小高度H。

答：(1)求水平加速度包：

建立如圖所示坐標(biāo)系，且設(shè)傾斜后不使水溢出的最小高度為Ho

設(shè)容器內(nèi)水的質(zhì)量為/?,容器和水的總質(zhì)最為加，貝U：

rn\=pcrh=l.Ox10^x0.2x0.2x0.15=6(kg),

〃2=町+，*=4+6=10(kg)o

由牛頓第二定律：

m2g-jjmg=（m+陽2）6，

其中〃=0.13為摩擦系數(shù)，則水平加速度為：

aK-——!——("2。-juin)g=—(25-0.13x10)^=0.667g。

m+m235

(2)求作用于流體上的單位質(zhì)量力：

單位質(zhì)量力為：f=-aj-gk.代入到靜止流體平衡微分方程了=■!"▽〃中，有：

P

p\cxozJ

比較方程兩端，可以得到：

dpdp

瓦二-血，『雙。

(3)求自由表面方程

壓力的全微分為：dp=曳~dx+論dz0

dxdz

在自由液面上，p=p()=const,dp=0。代入到上式中得到：一pcixdx-^pdz=0。

對(duì)其進(jìn)行積分，得到自由表面方程：

axx+gz=C

其中C為常數(shù)。

***(確定常數(shù)C和高度”)：

由于自由表面方程通過兩點(diǎn)：(0,")、(。,4),代入到自由面方程中，則有：

0"4+gH=C(1)

aq+g4=C(2)

將(1)代入到(2)中,得到:

aq+ghi=gH(3)

又由于傾斜前后，水體積(質(zhì)量)保持不變，則有：

22

ah=^a(H+h})

整理得到：hx=2h-H(4)

將(4)代入(3)中，得到:

a,ax4-g(2h-H)=gH,

整理得到：

H=^a+h=°?⑹且xO.2+0.15=0.218(m),

2g2g

即不使水溢出的最小高度為0.218m。

2-9一物體位于互不相容的兩種液體的交界處。若兩液體的重度分別為九，y2(%〉八)，

物體浸入液體片中的體積為V”浸入液體匕中的體積為V2,求物體的浮力。

答：設(shè)微元面積dS上的壓力為〃，其單位外法向量為方，則作用于"S上的流體靜力為

dP=-pndSo

沿物體表面枳分，得到作用于整個(gè)物體表面的流體靜力為A=-目pndSo

S

設(shè)V1部分的表面積為S1,設(shè)V?部分的表面積為S2,兩種液體交界面處物體的截面積為So,

交界面處的壓力為

并建立下述坐標(biāo)系，即取交界面為xoy平面，Z軸垂直向上為正，液體深度。向下為正，顯

然〃=-z。

因此戶=一燈pndS=-jjpndS-jjpndS0

SS|s2

在S］上〃=p()+y/=Po-%z,在$2上〃=〃0-/22；代入到上式中得到:

p=_71z)五ds-jj(Po_r2z)hdS

S\s2

=-JJPo及/S+JJ(/,z)n(is-JJp,)ndS+JJ(72z)?JS

5iSiS2S2

(\

+jj(")日心

在此，需要注意到，由于在交界面上z=(),因此有“伉z)應(yīng)/S=JJ(%z)及/S=0。將這兩

項(xiàng)分別加入到上式的第二個(gè)括號(hào)和第三個(gè)括號(hào)中，則原式成為:

p=-JJP(^dS+0p°EdS+JJ(%z)萬dS+口(7,z)iidS+Jj(/2z>6Z5+JJ(/2z>t/S

IaS2，IySQ\S]S(j

=-gp(/4S+百優(yōu)z>"S+目伍z,dS

SS]+S<)S^+Sq

利用高斯公式，可以得到:

p=一內(nèi)▽(%VV+jffv(Z1z>/V+fffv(Z2z}/V

VV,V>

=0+/M%+%匕1=(%匕+%匕飯

即物體受到的浮力為P=bM+%匕*。

第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

3-1粘性流體平面定常流動(dòng)中是否存在流函數(shù)？

答：對(duì)于粘性流體定常平面流動(dòng)，連續(xù)方程為：

&")?。胸)=0

dxdy

存在函數(shù)：

P(x,y,t)=-pv和Q(x,y,t)=pu,

并且滿足條件：

收)二a⑻

dxdy

因此，存在流函數(shù)，且為：

y,r)=jPdx+Qdy=j一(9"丫+(/cvz)Jy。

3-2軸對(duì)稱流動(dòng)中流函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程？

答：如果流體為不可壓縮流體，流動(dòng)為無旋流動(dòng)，那么流函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方

程。

3-3就下面兩種平面不可壓縮流場的速度分布分別求加速度。

xmy

(1)〃=——1,P=------；----

2萬r+y2期尸+y

GMV-/)-2Ktxy

(2)u=----------V=其中m,K為常數(shù)。

2(/+力2'

(.r+y)

答：(1)流場的加速度表達(dá)式為:

dudududvdvdv

a=—+〃—+v—,a=—+〃—+v—。

xrcitdx為，、Stva.r8)，

由速度分布，可以計(jì)算得到：—=0,—=0,因此:

otot

du_tny2-x2du_m-2xy

&2%卜2+)/尸Qy27(爐+y2y

dv_m-2xydv_mx2

&2%仔+、2—辦24(2

x可

代入到加速度表達(dá)式中:

八mxmy2^-x2mym-Ixy

=0+-------------r----------f-------------rr+-------------r五，

2萬r+y2乃(12+),2y2乃x"+y%+)21

/、

m2x

“為J(?+力2

222222222

2乃x+y2%(x+y)2)x+y24(x+yf

/、2

my

方J(丁+療

（2）由速度分布函數(shù)可以得到:

du_K(y2-x2)dv_-2Kxy

次(x2+_y2)2'&(A2+y2y

包=2KMg2耳，生=2Ky"#；

22

&(x+y)旨+),2)

型=_2的，史=—2K^^^。

&.8+9)3dy(x2+.y2)

代入到加速度表達(dá)式中：

2，

廠廠)，-A-

ax=K?+Kt-2Z2Ktx-’2V

，+嚴(yán)/+yM+?)

crz3x2-y2

?2X7y?7---------------

（八打A2+y2l

2

y72x

=K--(附

F+丁

2

+一：￥(—2K0>y-3x

3+打

-Kt-?A；V-(-23).J—3;

(3}(3)

3?4已知?dú)W拉參數(shù)表示的速度場分布為〃=x+/,v=y+r,試求質(zhì)點(diǎn)位移和速度的拉格朗

日表達(dá)式。已知1=0時(shí)人一4,y=b?

答：(1)流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為：

dx-udt

9

dy=vdt

將速度分布帶入，得到：

dx=(x+t)dt

dy=(y+t\lt

兩個(gè)方程除了自變量之外，完全一致，只需要解一個(gè)即可。將第一個(gè)方程改寫為：

dx

----x=t

dt

該方程為一階非齊次常微分方程，非齊次項(xiàng)為人先求齊次方程的通解，齊次方程為:

dxdx

——=x,即一=dtx

dtx

兩端同時(shí)積分得到：

Inx=/+C,x=Cel。

(2)令非齊次方程的特解為：

對(duì)其兩端求導(dǎo)得到：

dt

將上述/(/)和史旦代入到原非齊次方程中，有：

at

整理得到：

兩端同時(shí)積分：

c⑺邛./力j+v+G

代入到特解中得到：

/(/)=c(/).=[-1/++C,p=-(r+l)+C,^o

(3)將初始條件，=0時(shí)x代入上式，得至I」：

G=4+1，

因此：

—（f）=4+1）+（4+Ip,

同理可得：

y*（f）=-（/+1）+（/?十。

軌跡方程為：

改）=/（。:+）,"?萬=[一G+1）+（6+1）d]+[-?+1）+（/?+1）/]70

（4）用拉格朗日法表達(dá)的速度為：

??）=諷。=（a+f）e吁+（Z?+I）e/Jo

dt

3-5繪出下列流函數(shù)所表示的流動(dòng)圖形（標(biāo)明流動(dòng)方向），計(jì)算其速度、加速度，并求勢函

數(shù)，繪出等勢線。（1）y/=x+y；（2）w=&?、（3）=x/y；（4）y/=x2+y2.

答：（1）夕=x+y

①流動(dòng)圖形：流線方程為x+y=C,流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示；

②速度…喑=1,…皆一

v=ui+vj=7,流場為均勻流動(dòng)：

③加速度：a=a,人i^-a.vy“j=0：

④求速度勢函數(shù)：

由于平均旋轉(zhuǎn)角速度：l=l（（）-o）=o,因此流場為無旋流場，勢函

-2[dxdy）2V7

數(shù)0（%y）存在:

(x?)(x『)

(p(x,y)=fudx+vdy=fudx+

(o.o)(o.o)

⑤等勢線：等勢線如圖中虛線所示（與流線垂直）。

（2）y/=xy

①流動(dòng)圖形：流線方程為xy=C,流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示:

②速度:T=x’

v=ui+vj=xi-yj；

③加速度:

=A-1-y-0=x

dx2y

dv

a=u—+v字=x°_y(T)=y

vdxSy

d=a了+c1yj=xl-；

④求速度勢函數(shù):

由于平均旋轉(zhuǎn)角速度"—=l(o-o)=o,流場為無旋流場，勢函數(shù)

21dxdy

<p(xty)存在:

j.yjy=l(x2-y2)；

(p(xyy)=udx+vdy=xdx-

Z

(o.o)(O.O)(x,0)

⑤等勢線：等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)。

(3)i//=x/y

①流動(dòng)圖形：流線方程為x/y=C,流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示;

②速度：〃=幺匕=1

v-_---b-w---_----

ydxy

XT1

v=ui+vj—i-J

y~y

⑤加速度:

dudux

a=u——+v——=---：

“rdxdyy4

dvdv1

a=u—+v—=——r

vdxdyy

—TtXTI

a=axi+aj=一一-/一一

yy

④求速度勢函數(shù)：

由于口一如一包〕=一二。()，流場為有旋流場，勢函數(shù)°(x,y)不存在.

dyJ)戶

(4)I//=x2+y2

①流動(dòng)圖形：流線方程為一+)，2=。，流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示；

②速度：u=@~=2y,v==-2x,

dydx

v=ui+vj=2yi-2xj。

③加速度：

包

包

-w+V-?

X/-Y4

a△x

竺

私

-〃+Vav-y

y<-

.G

a=axi+ayj=-4xi—4yj；

④求速度勢函數(shù)：

“二二T(程一?)二一20°'為有旋流場'勢函數(shù)。(x,y)不存在°

3-6已知平面不可壓縮流體的速度分布為(1)〃=)，，v=-x；(2)u=x-ytv=x+y；

22

(3)u=x-y+xtv=-(2xy+y).判斷是否存在勢函數(shù)。和流函數(shù)叫若存在，則

求之。

答：(1)〃=y,v=-x

①求速度勢函數(shù)：

公=￥包-生=-(-1-1)="!^=0,為有旋流動(dòng)，勢函數(shù)°(x,y)不存在。

dyJ2

②求流函數(shù)：

由于電+竺=0+0=0,滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)“*,)，)存在:

dxdy

甲＜x,y)=j-vdx+udy=Jxdx+j"y=*2+y2)。

2

(O.O)(o.o)(.r.O)

(2)u=x-y,u=

①求速度勢函數(shù):

1fdvdu

co.=--=---（-1-+--1）=1^0.為有旋流動(dòng)，勢函數(shù)0（x,y）不存在。

21dxdy

②求流函數(shù):

由于=+蘭=1+1=2?！?，不滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程,流函數(shù)獷（x,y）不存在。

dxdy

(3)u=x2-y2+x,i，=一（2砂+），）

①求速度勢函數(shù):

°,/但一絲］［一2），一（一2），）］=0,為無旋流動(dòng)，勢函數(shù)w（x,y）存在:

2\dxdyJ2

(x,y)(x,O)(x,y)]

(p(x,y)=judx+vdy=J\x2+xjdx-j(2xy+y\ly=—(x2+y2)

(O.O)(O,O)(x.o)2

11,1o

=-r+—x~2-xy~——y-

x32’2)

②求流函數(shù):

由于縱+?=（2x+l）-（2x+1）=0,滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)”（x,y）

oxdy

存在:

(*)(?)Rd-y+)必=21),y-Ly\

y/(x,y)=J-vdx+udy=iIxydx+2+X

(x.o)3

(0.0)(0.0)

3-7已知?dú)W技參數(shù)表示的速度分布為〃=4x.u=-A），.求流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡。

答：由軌跡方程包=電=力，并將〃=和u=-A），代入得至ij：

UV

dx=Axdt

dy=-aydt

或者寫成:

dx‘.

—=Adt

x

^=-Adt

y

兩端同時(shí)積分，得到：

]nx=At+C.x=C,eA,

，即

A,

Iny^-At+C2y=C2e~

3-8已知流場的速度分布為〃=x+/,u=-y+Z,求f=0時(shí)通過(-1,1,1)點(diǎn)的流線。

答：將速度分布函數(shù)代入連續(xù)方程:

dudvdw?

—+—+—=0

dxdydz

得到：

生二0

dz

因此可知，速度分布與z坐標(biāo)無關(guān)，流動(dòng)為二維流動(dòng)。由流函數(shù)定義式得到：

(a)(v.O)(.r.y)

"(x,y)=j-vdx+udy=j(y-t}dx+J(x+=(y-r)x+(x+f)y。

(O.O)(0.0)(x.O)

由于流函數(shù)為常數(shù)時(shí)”=Ct表示流線，因此流線方程為：

(y-r)x+(x+r)y=C。

將將條件：當(dāng)，=0,無=一1、y=l代入上式，得。=一2；因此該瞬時(shí)過(一1,1,1)的流線

方程為：

+1=0o

3-9己知平面不可壓縮流體的速度分布為〃=3,v=-2xytf求1=1時(shí)過(-2,1)點(diǎn)的流

線及此時(shí)處在這一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度和軌跡。

答：(1)求流線方程：

由于？■+蘭=2儀-2"=0,流函數(shù)〃(x,y/)存在，且為：

dxoy

(X?)(平)(-M)

y/(x,y.t)=J-vdx-￥tidy=J0?公+Jx2tdy=x2yt；

(O.O)(O.O)(.r.O)

則流線方程為:

x2yt=C；

將條件：當(dāng)1=1時(shí)，x=-2、y=l代入，得C=4；則該瞬時(shí)過將（—2,1）點(diǎn)的流線方程

為:

x2y=4o

（2）求加速度:

dududu=x2+x2t-2xt+(-2xyr)-0=x2(l+2xr)

ar=—+〃—+v—

dtdxdy

dvdvdv

4=——+〃--FV——=-2xy+x2t?(-2yr)+(-2xyt)-(-2xt)=-2xy+2x2yt2

Vdtdxdy

將條件：，=1時(shí)，%=-2、），=1代入，得到該瞬時(shí)過將（一2,1）點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為:

=-12

%=12

（3）軌跡方程:

2

3-10設(shè)不可壓縮流體的速度分布為(1)u=cix2+by2+cz2,v=-dxy-eyz-fax;

(y2Z2(x2z2}

(2)u=In與4Lv=sino其中a>b、c、d、e、f為常數(shù)，試求第三個(gè)

速度分布。

答：（1）將速度分布代入連續(xù)方程：黑+￡+孚=0,得至小

dxdydz

答=ez+（cl-2a）x,

兩端同時(shí)積分得到：

vi(x,y,z)=^ez2-\-(d-2a)xz+C)(x,y)。

（2）將速度分布代入連續(xù)方程：字+2+孚=0,

dxdydz

由于:

dxdy

因此：

生=0

dz

兩端同時(shí)積分得到：

vt(x,y,z)=C2(x,y)?>

3-11有一擴(kuò)大渠道，已知兩壁面交角為1弧度，在兩壁面相交處有一小縫，通過此縫隙流

出的體積流量為。=--t(m/s),試求(1)速度分布；(2)/=()時(shí)壁面上廠=2處的

_2_

速度和加速度。

答：(1)求速度分布：

設(shè)半徑為，,處的徑向速度為匕，周向速度為為。顯然為=0,且匕-S=。：其中：

S=lrl=r,因此徑向速度分布為：

1c](1)

Vr=-Q=-\；

r八2J

(2)求加速度：

(3)當(dāng)，=0時(shí)，在廠=2處：

1(1八]11IflnY17

2UJ4r22\2J32

3-12已知不可壓縮平面勢流的分速度為〃=3辦2—3夕2,(0,0)點(diǎn)上〃=口=(),試求通過

(0。)及(0,1)兩點(diǎn)連線的體積流量。

答：(1)求速度分布：

由平面不可壓縮流體的連續(xù)方程”+?=0,得到:

dxdy

dvdu

=-bax，

dx

兩端同時(shí)對(duì)y積分：

v=-6axy+C(x)：

將條件：在(0,0)點(diǎn)u=()代入上式，得到:

C(x)=0,

因此：

v=-6cixyo

流動(dòng)的速度分布為：

u=3ax~-3ay~,v=-6axy。

(2)求流函數(shù)：

(x.y)(x.O)(x.y)

甲<x、y")=J—vdx-i-udy=|Odx+|(3a/—3ay?yly=3ax~y—ay3<,

(o.o)(o.o)(工0)

(3)求流量：

利用流函數(shù)的性質(zhì)：流場中任意兩點(diǎn)的流函數(shù)之差等于通過兩點(diǎn)之間連線的體積流量。

由于:匕0,0)二°，旦(0.1)=一〃；因此流量為：

Q=^(0.0)-夕(0,1)=0_(-a)=4。

3-13設(shè)流場的速度分布為〃==卬=-2成，其中。為常數(shù)。(1)求線變形速率,

角變形速率，體積膨脹率；(2)問該流場是否為無旋場？若是無旋場求出速度勢。

答：(1)線形變速率為：

dudv3卬_

^=—=a,￡=—=a,s=—=-2a；

XKdx?dydz

角形變速率為：

](dvdu\1(dw執(zhí))八1(du。卬)八

￡、、=------+——=0,￡.=--------+——=0,%=――+―=0；

21sxdy)v-2(Sydz)~21azdx)

體積膨脹率為：

(2)求速度勢：

由于平均角速度的二個(gè)分量分別為:

1(dw=0.嗎」僅一學(xué)

—0,CD.u型—包、=0，

2〔分dz)213zoxJ5[&dy>

因此:

———

CD=①j+(Dyj+①=k=0

即流場為無旋流場，速度勢函數(shù)9存在，且為:

X>z]]

(p(x,y,z)=judx+Jvdy+jwdz=—ax2+-ay2-az2

oco22

3-14設(shè)流場的速度分布為〃=），+2z,u=z+2x,卬=x+2y。試求（1）渦量及渦線方程;

（2）x+y+z=\平面上通過橫截面積"4=1mn?的渦通量。

答：（1）求渦量和渦線方程:

流場的平均旋轉(zhuǎn)角速度m的三個(gè)分量分別為:

1(dwdv

(o=---------(2-I)

21②dz44

3照-豺A）4

&=u型-包1（2T）=；

21drdyJ2

因此平均旋轉(zhuǎn)角速度為:

5=（（7+/+支）；

則渦量為：

C=2cb=(i+j+E)

其三個(gè)分景分別為:

將其代入到渦線方程：W得至u：

%5

dx=dz

dy=dz

兩端同時(shí)積分得到渦線方程：

X=Z+G

y=2+c2

(2)泯通量：

將渦量C在S上積分，得到渦通量為：

J=JJC.GdS=JJ(QJ+C/+C(nJ+nj+n:k\lS

ss

=JJ(Qn+%〃、+Qj達(dá)

5

其中：h=nxi+nvj+n:k,為平面x+y+z=1的單位外法向量。

設(shè)R(ay,z)=_r+y+z-l,貝的

dF?dFdF

——=],—

oxdydz

S平面外法向量五在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為:

V1+1+13

dF

V3

3

1出

Vl+1+1T

因此：

J=JJ(C,n+Q/v+CV〃)/S=J/.?+1?￡+1.

=V3-dS=V3-dA=V3

3-15己知流場的流線為同心圓族，速度分布為：廠45時(shí)，〃=一；y，

v=-x；廠＞5時(shí),

〃=-洛一T，口二一三。試求沿圓周/+)，2=爐的速度環(huán)量,

其中圓的半徑R分

x-+yx"+y

別為(1)R=3,(2)R=5,和(3)/?=l()o

答：(1)極坐標(biāo)下的速度分布：

22

在半徑為的圓周上，vr=0,v0=7w+v；

當(dāng)尸45時(shí)：

11?八

u=——y=——sinc/r,

55

11八

v=—x=-cost/r,

55

222

=VM2+V2=--(sin6?+cos