難點(diǎn)02：總集篇·十六種陰影部分面積法【十六大考點(diǎn)】-2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題系列（原卷版）VIP

休對(duì)故人思故國(guó)，且將新火試新茶。詩(shī)酒趁年華。休對(duì)故人思故國(guó)，且將新火試新茶。詩(shī)酒趁年華。—北宋·蘇軾《望江南·超然臺(tái)作》2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題系列難點(diǎn)02：總集篇·十六種陰影部分面積法【十六大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇本專題是難點(diǎn)02：總集篇·十六種陰影部分面積法。本部分內(nèi)容包括十六種求不規(guī)則或組合平面圖形及陰影部分圖形面積的方法，考點(diǎn)劃分較多，其中大部分考點(diǎn)以思維拓展題型為主，難度極大，綜合性極強(qiáng)，建議作為小升初復(fù)習(xí)難點(diǎn)內(nèi)容，并根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況和總體水平選擇部分進(jìn)行講解，一共劃分為十六個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用?！镜诙磕夸泴?dǎo)航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】面積法其一：相加法 3【考點(diǎn)二】面積法其二：相減法 5【考點(diǎn)三】面積法其三：加減混合法 6【考點(diǎn)四】面積法其四：平移法 8【考點(diǎn)五】面積法其五：拼接法 9【考點(diǎn)六】面積法其六：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法） 10【考點(diǎn)七】面積法其七：割補(bǔ)法 12【考點(diǎn)八】面積法其八：重組法 13【考點(diǎn)九】面積法其九：整體代換法 15【考點(diǎn)十】面積法其十：輔助線法 16【考點(diǎn)十一】面積法其十一：容斥原理 17【考點(diǎn)十二】面積法其十二：差不變?cè)恚ú畈蛔兯枷耄?20【考點(diǎn)十三】面積法其十三：等積變形 22【考點(diǎn)十四】面積法其十四：圖示法 23【考點(diǎn)十五】面積法其十五：平移運(yùn)動(dòng)問(wèn)題＊ 25【考點(diǎn)十六】面積法其十六：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題＊ 26【第三篇】知識(shí)總覽篇【第四篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】面積法其一：相加法?！痉椒c(diǎn)撥】相加法，即加法分割思路，把所求陰影部分面積分割成幾塊能用公式計(jì)算的規(guī)則圖形（三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、圓、扇形），分別計(jì)算出面積，并相加得出陰影部分的面積?！镜湫屠}】1．求組合圖形的面積。（單位：厘米）2．計(jì)算下面圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】計(jì)算出這個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算如圖圖形的周長(zhǎng)和面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算下列各圖形的面積。（單位：cm）【考點(diǎn)二】面積法其二：相減法。【方法點(diǎn)撥】相減法，即減法拓展思路，是把不規(guī)則圖形陰影部分面積拓展到包含陰影部分的規(guī)則圖形中進(jìn)行分析，通過(guò)計(jì)算這個(gè)規(guī)則圖形的面積和規(guī)則圖形中除陰影部分面積之外多余的面積，運(yùn)用“總的”減去“部分的”方法解得答案?！镜湫屠}】求陰影部分的面積（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求下面圖形中陰影部分的面積。（單位︰厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求下圖陰影部分的面積。（單位：分米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求下列圖形陰影部分的面積。（單位：厘米，π取3.14。）【考點(diǎn)三】面積法其三：加減混合法?！痉椒c(diǎn)撥】混合型圖形處理起來(lái)非常困難，可以首先觀察圖形，然后合理分解成部分可求的圖形，最后再相加減。【典型例題】如圖，兩個(gè)正方形拼在一起，求陰影部分的面積。（單位：cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求出涂色部分的面積。（單位：cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求陰影部分的面積。（單位：cm）

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖所示，求圖中陰影部分的面積。（取3.14）【考點(diǎn)四】面積法其四：平移法?！痉椒c(diǎn)撥】平移法，即通過(guò)把部分圖形平行移動(dòng)可以把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐褜W(xué)的規(guī)則圖形，進(jìn)而求出圖形的面積?！镜湫屠}】求陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（π取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求涂色部分的面積。（單位：cm。）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求陰影部分的面積。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】先量出必要的數(shù)據(jù)，再計(jì)算涂色部分的面積。

【考點(diǎn)五】面積法其五：拼接法?！痉椒c(diǎn)撥】拼接法，即在部分扇形半徑相等的情況下，可以通過(guò)移動(dòng)扇形，把扇形拼接成一個(gè)整體?！镜湫屠}】下圖中陰影部分面積之和是多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】計(jì)算下圖中陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算陰影部分面積。（取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求涂色部分的面積。【考點(diǎn)六】面積法其六：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法）。【方法點(diǎn)撥】旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法），即根據(jù)圖形的特征，將原圖的某一部分進(jìn)行翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)，最后得到便于求解的新圖形。【典型例題】如圖，面積為64的四邊形ABCD滿足AD＝AB，∠BAD＝90°，∠C＝90°，AE垂直于CD，AE的長(zhǎng)為多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求如圖陰影部分的面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，求圖中陰影部分面積。（單位：厘米）（小圓半徑為1厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC。將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置。設(shè)，，，求旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積。【考點(diǎn)七】面積法其七：割補(bǔ)法?！痉椒c(diǎn)撥】割補(bǔ)法，即分割拼補(bǔ)的思路，是把不規(guī)則的陰影面積通過(guò)分割和拼補(bǔ)，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形?！镜湫屠}】求下列陰影部分的面積。（單位：cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積（圖中的三角形都是等腰直角三角形）。（單位：分米）

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面圖中涂色部分的面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求圖中陰影部分的面積。

【考點(diǎn)八】面積法其八：重組法?！痉椒c(diǎn)撥】重組法，即根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要把原來(lái)圖形拆開(kāi)，并加以重新組合，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形，然后結(jié)合相減法求出陰影面積?！镜湫屠}】如圖，大圓半徑R=8厘米，小圓的半徑r=4厘米．求陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】看圖計(jì)算。（單位：cm）（1）求圖1陰影部分的面積。（2）如圖2，計(jì)算下列圖形的體積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，正方形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積．【考點(diǎn)九】面積法其九：整體代換法?！痉椒c(diǎn)撥】整體代換法，即通過(guò)平面圖形之間的等量關(guān)系，將圖形面積整體代換，再根據(jù)相應(yīng)面積公式求出面積?！镜湫屠}1】如圖，三角形AOB是直角三角形，其中O為圓心。已知三角形AOB面積是10cm2，求圓形面積。【典型例題2】如圖所示的正方形面積是20平方分米，這個(gè)圓的面積是多少平方分米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖中圓的面積是62.8平方厘米，三角形的面積是多少平方厘米？

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖中正方形部分是一個(gè)水池，其余部分是草坪。已知正方形的面積是225m2，草坪的面積是多少平方米？【考點(diǎn)十】面積法其十：輔助線法?！痉椒c(diǎn)撥】輔助線法，即在通常手段無(wú)法求出陰影部分面積時(shí)，需要嘗試使用添加輔助線的方法解決?！镜湫屠}】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（π取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算下圖中陰影部分的面積。（單位：cm)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】數(shù)學(xué)思考。如圖是一個(gè)正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點(diǎn)，Q為正方形BC邊上的中點(diǎn)，求空白部分的面積。（單位：平方厘米）【考點(diǎn)十一】面積法其十一：容斥原理?！痉椒c(diǎn)撥】容斥原理，即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個(gè)規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，利用分層把重疊部分分出來(lái)，組成重疊圖形各個(gè)規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積。【典型例題1】其一。如圖是兩個(gè)相同的直角梯形疊在一起，陰影部分是一個(gè)不規(guī)則的圖形。（1）利用“轉(zhuǎn)化思想”你知道陰影部分面積和圖中哪部分圖形的面積相等嗎？請(qǐng)將它涂色。（2）請(qǐng)求出陰影部分的面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】?jī)蓚€(gè)完全一樣的直角三角形如下圖疊放，求陰影部分的面積。（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，有兩個(gè)邊長(zhǎng)是8cm的正方形卡片疊在一起，求重疊部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】?jī)蓚€(gè)完全一樣的直角三角形重合部分是三角形HEC（如圖）。已知：AB＝10cm，HE＝5cm，CF＝6cm，圖中陰影部分面積是多少？【典型例題2】如圖（單位：厘米），四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，其中弧AE以點(diǎn)B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑，弧AF的點(diǎn)D為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑。計(jì)算陰影部分的面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA為半徑的圓的一部分，，求圖中陰影部分的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】等腰直角三角形ABC的面積是8平方厘米，求陰影部分的面積．【考點(diǎn)十二】面積法其十二：差不變?cè)恚ú畈蛔兯枷耄！痉椒c(diǎn)撥】差不變思想，即利用等式的性質(zhì)來(lái)求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可?！镜湫屠}1】其一。如下圖，正方形ABFD的邊長(zhǎng)為6cm，F(xiàn)C＝7.5cm，涂色部分甲的面積比涂色部分乙的面積大多少？（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)】看圖計(jì)算。如下圖，ABCD是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面積大20平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？【典型例題2】如圖，三角形ABC是直角三角形，圓的直徑是4厘米，陰影甲－陰影乙＝2.5平方厘米，則三角形中BC邊長(zhǎng)是多少厘米？（π取值為3）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】三角形ABC為直角三角形，AB是圓的直徑，并且AB＝20厘米，如果陰影（I）的面積比陰影（II）的面積大17平方厘米，那么BC的長(zhǎng)度是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖中陰影②比陰影①的面積大10.8平方厘米。BC長(zhǎng)多少厘米？（取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】直角三角形ABC中，陰影甲比乙的面積大28平方厘米，厘米，AB有多長(zhǎng)？【考點(diǎn)十三】面積法其十三：等積變形?！痉椒c(diǎn)撥】等積變形，即利用等底等高，面積相等的特性，將不能求出的圖形轉(zhuǎn)化為面積與之相等的圖形。【典型例題】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E在同一條直線上，且正方形ABCD的面積為8平方厘米，則陰影部分的面積為多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】正方形ABCD和正方形CEFG，已知正方形ABCD的面積是100平方厘米，正方形CEFG的面積是66平方厘米，則圖中陰影部分面積為多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是厘米，求三角形的面積．【考點(diǎn)十四】面積法其十四：圖示法。【方法點(diǎn)撥】圖示法，即先根據(jù)題意，畫出圖形的軌跡，再求面積?！镜湫屠}】在等腰直角三角形中，角C是直角，厘米，以C點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。求線段掃過(guò)的面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，一枚半徑是1厘米的游戲幣沿著邊長(zhǎng)是4厘米的等邊三角形的邊繞一圈，它掃過(guò)的面積是多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一塊長(zhǎng)方形草地的一個(gè)角上有一根木樁，木樁上拴著一只羊，如果拴羊的繩子長(zhǎng)4米，這只羊無(wú)法吃到的草地面積是多少平方米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，空地上有一座長(zhǎng)方形羊圈。這座長(zhǎng)方形羊圈的長(zhǎng)是6米，寬是4米，在羊圈的墻角上栓著一只小羊。（1）栓羊的繩長(zhǎng)是4米，小羊在空地上的活動(dòng)范圍是多少平方米？（2）如果栓羊的繩長(zhǎng)是6米，那么小羊的活動(dòng)范圍增加了多少平方米？【考點(diǎn)十五】面積法其十五：平移運(yùn)動(dòng)問(wèn)題＊?！痉椒c(diǎn)撥】在平移運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖形的形狀與面積都可能會(huì)發(fā)生變化，關(guān)鍵在于理解運(yùn)動(dòng)變換過(guò)程的規(guī)律，畫出不同的示意圖?！镜湫屠}】如圖，三角形ABC中，底和高都是6厘米，點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)以0.5厘米/秒的速度向右平移，形成一個(gè)梯形，經(jīng)過(guò)幾秒后，梯形的面積達(dá)到42平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖所示，正方形和圓相距30厘米，正方形的邊長(zhǎng)和圓的直徑都是10厘米，正方形沿著直線向右做平移運(yùn)動(dòng)，圓沿著直線向左做平移運(yùn)動(dòng)。正方形每秒運(yùn)動(dòng)3厘米，比圓的速度慢。當(dāng)圓和正方形完全重疊時(shí)，沒(méi)有重合部分的面積是多少？正方形與圓同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后完全分開(kāi)經(jīng)過(guò)的時(shí)間是多少秒？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如下圖，同一直線上的直角梯形和長(zhǎng)方形相距10cm。直角梯形上底2cm，下底4cm，高6cm。長(zhǎng)方形長(zhǎng)26cm，寬6cm。現(xiàn)在直角梯形按每秒2cm勻速向右平移。（1）畫出直角梯形平移6秒鐘后的位置，并算一算這時(shí)它與長(zhǎng)方形重疊部分的面積是多少平方厘米？（2）想一想，算一算，在直角梯形平移過(guò)程中，整個(gè)直角梯形與長(zhǎng)方形完全重疊的時(shí)間維持了幾秒？【考點(diǎn)十六】面積法其十六：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題＊。【方法點(diǎn)撥】在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖形的形狀與面積都可能會(huì)發(fā)生變化，關(guān)鍵在于理解運(yùn)動(dòng)變換過(guò)程的規(guī)律，畫出不同的示意圖。【典型例題】躍龍門。如圖，白色部分DEFB是一個(gè)正方形，AE長(zhǎng)4厘米，EC長(zhǎng)8厘米。陰影部分的面積是多少平方厘米？提示：怎樣把兩個(gè)陰影部分拼到一起呢？我們可以這樣思考：（1）將三角形ADE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。這樣兩個(gè)陰影部分就拼到一起了。（2）因?yàn)椋?/p>

），所以組合后的陰影部分是一個(gè)（

）三角形。（3）旋轉(zhuǎn)后的AE長(zhǎng)4厘米，EC長(zhǎng)8厘米，陰影部分的面積是（

）平方厘米。【對(duì)應(yīng)