高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

課題：函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例（n）

課型：新授課

教學(xué)目標(biāo)

能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題，進(jìn)一步感受

運(yùn)用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對(duì)給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡(jiǎn)潔的分析

評(píng)價(jià).

二、教學(xué)重點(diǎn)

重點(diǎn)：利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并對(duì)給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡(jiǎn)潔的分析

評(píng)價(jià).

三、學(xué)法與教學(xué)用具

1.學(xué)法：自主學(xué)習(xí)和嘗試，互動(dòng)式探討.

2.教學(xué)用具：多媒體

四、教學(xué)設(shè)想

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題.

現(xiàn)實(shí)生活中有些實(shí)際問題所涉與的數(shù)學(xué)模型是確定的，但需我們利用問題

中的數(shù)據(jù)與其蘊(yùn)含的關(guān)系來建立.對(duì)于已給定數(shù)學(xué)模型的問題，我們要對(duì)所確

定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的與所供應(yīng)的數(shù)據(jù)的吻合程度.

（二）實(shí)例嘗試，探求新知

例1.一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

1）寫出速度「關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)解析式；

2）寫出汽車行駛路程y關(guān)于時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系式，并作圖象；

3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；

4）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004,試建立汽

車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)S與時(shí)間f的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.

本例所涉與的數(shù)學(xué)模型是確定的，須要利用問題中的數(shù)據(jù)與其蘊(yùn)含的關(guān)系建

立數(shù)學(xué)模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實(shí)際問題.

老師要引導(dǎo)學(xué)生從條塊圖象的獨(dú)立性思索問題，把握函數(shù)模型的特征.

留意培育學(xué)生的讀圖實(shí)力，讓學(xué)生懂得圖象是函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)

形式.

例2.人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題，相識(shí)人口數(shù)量的變更規(guī)

律，可以為有效限制人口增長(zhǎng)供應(yīng)依據(jù).早在1798,英國(guó)經(jīng)濟(jì)家馬爾薩斯就提

出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：

y=y/

其中「表示經(jīng)過的時(shí)間，兒表示，=（）時(shí)的人口數(shù)，「表示人口的年均增長(zhǎng)率.

下表是1950~1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）

年份195531954

人數(shù)55196563660266

年份19551956195719581959

人數(shù)65636599467207

1）假如以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率（精確

到0.0001）,用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模

型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；

2）假如按表中的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口將達(dá)到13億？

探究以下問題：

1）本例中所涉與的數(shù)量有哪些？

2）描述所涉與數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型須要

幾個(gè)因素？

3）依據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？

4）對(duì)于所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)，依據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)函數(shù)模型又應(yīng)做

出如何評(píng)價(jià)？

如何依據(jù)確定的函數(shù)模型具體預(yù)料我國(guó)某個(gè)時(shí)間的人口數(shù)，用的是何種計(jì)算

方法？

本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型y=解決實(shí)際問題的一類問題，

引導(dǎo)學(xué)生相識(shí)到確定具體函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定兩個(gè)參數(shù)為與

完成數(shù)學(xué)模型的確定之后，因?yàn)橛?jì)算較繁，可以借助計(jì)算器.

在驗(yàn)證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學(xué)模型是否吻合時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算

器或計(jì)算機(jī)作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過比較來確

定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學(xué)生相識(shí)到表格也是描述函數(shù)關(guān)系的

一種形式.

引導(dǎo)學(xué)生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對(duì)人口增長(zhǎng)狀況的預(yù)料，實(shí)質(zhì)上是通過求一

個(gè)對(duì)數(shù)值來確定f的近似值.

課堂練習(xí)：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件,

1.2萬件，1.3萬件，為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依

據(jù)用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量f與月份的無關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函

數(shù)或函數(shù)y="'+c（其中a,Ac為常數(shù)）.已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請(qǐng)

問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.

探究以下問題：

1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何依據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？

2）如何對(duì)所確定的函數(shù)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)?

本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導(dǎo)學(xué)生利用待定系數(shù)法確定具體函數(shù)模

型.

引導(dǎo)學(xué)生相識(shí)到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是4月份產(chǎn)量的吻合程度，這也是

對(duì)函數(shù)模評(píng)價(jià)的依據(jù).

本例滲透了數(shù)學(xué)思想方法，要培育學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用.

三.歸納小結(jié)，發(fā)展思維.

利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法；

1）依據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉與的數(shù)量之間的關(guān)系；

2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型；

3）對(duì)所確定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)；

4）依據(jù)實(shí)際問題對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?

通過以上三題的練習(xí)，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實(shí)際問題的一般

方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變更規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的

重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的基本過程如下：

收

集

數(shù)

據(jù)

實(shí)際

不符合實(shí)際

從以上各例體會(huì)到：依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，然后通過視察圖象,

推斷問題適用的函數(shù)模型，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)

法得出具體的函數(shù)解析式