高中數(shù)學(xué)證明線面平行方法

高中數(shù)學(xué)證明線面平行方法

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到證明線面平行的問(wèn)題。

線面平行是指直線和面兩者位于同一平面內(nèi)，且不相交的情況。

證明線面平行，是數(shù)學(xué)中的一種基本證明方法，需要學(xué)生掌握

這種證明方法。本篇文檔將詳細(xì)介紹高中數(shù)學(xué)證明線面平行的

方法。

一、三視圖法

三視圖法是通過(guò)三維圖形的不同投影方式來(lái)確定直線和面

是否平行的一種方法。具體操作如下：

1、確定圖形的三個(gè)視圖：前視圖、俯視圖和左視圖。

2、在三個(gè)視圖中，確定直線的投影，判斷直線在俯視圖

和左視圖上是否平行。

3、在三個(gè)視圖中，確定面的投影，判斷面在俯視圖和左

視圖上是否平行。

4、比較直線和面的平行關(guān)系，即可確定線面是否平行。

下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明三視圖法的具體操作：

例：已知平行六面體ABCD-EFGH,其中EF與GH之間有點(diǎn)

P,連接AP,PDo證明APJ_(EFGH)

解：如圖所示，平行六面體ABCD-EFGH的三視圖如下：

在俯視圖中，AP和PD的投影分別為AP和DP,根據(jù)前

視圖可知，AP和DP是平行的。

在左視圖中，EFGH的投影為EFG，H\根據(jù)前視圖可知，

EF和GH是平行的。

由于AP和DP是平行的，所以AP和EF的夾角等于DP

和GH，的夾角，即L1=L3。同時(shí)，EF與GH在同一平面上，所

以可以通過(guò)后面的知識(shí)推理得出AP_L(EFGH),證畢。

二、截距法

截距法是通過(guò)平面與坐標(biāo)軸的截距關(guān)系來(lái)判斷線面是否平

行的方法。具體操作如下：

1、根據(jù)坐標(biāo)軸構(gòu)造出平面的方程，例如，平面的方程為

ax+by+cz=d。

2、計(jì)算直線的截距，例如，直線的方程為x/a+y/b+z/c=l,

截距為1/a、1/b和1/c。

3、將計(jì)算出來(lái)的直線截距代入平面方程中，得到截距關(guān)

系，例如，l/axa+l/bxb+l/cxc=d/c,可以轉(zhuǎn)化為

a/b+c/a=d/bco

4、比較得到的截距關(guān)系，判斷線面是否平行。

下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明截距法的具體操作：

例：直線L:x=l-2t,y=2+t,z=l+t,與平面n:2x+3y-z+4=0

平行嗎？

解：根據(jù)平面R的方程2x+3y-z+4=0,可以得到以下截距

關(guān)系:2/4+3/4-l/4=l/a,即a=12。

根據(jù)直線L的方程x=l-2t,y=2+t,z=l+t,可以得到以下截

距：1/(-2)>1/1和1/1,代入平面R的方程中，得到以下截距

關(guān)系：(1/(-2))x2+lx3+lx(-l)+4=10/12,即線面不平行。

三、向量法

向量法是通過(guò)向量的內(nèi)積和叉積運(yùn)算來(lái)判斷線面是否平行

的一種方法。具體操作如下：

1、利用向量的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算。

2、計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量。

3、判斷直線的方向向量和平面的法向量是否垂直。

4、判斷結(jié)果的真假，從而確定線面是否平行。

下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明向量法的具體操作：

例：已知直線L的方程是x=l-2t,y=2+t,z=l+t,平面R的

方程是2x+3y-z+4=0,證明直線L與平面JI平行。

解：根據(jù)直線L的方程，可以得到直線的方向向量

d=(-244)o

根據(jù)平面n的方程，可以得到平面的法向量n=(2,3,-l)。

由于直線L與平面K平行，所以直線的方向向量和平面的

法向量應(yīng)該垂直，即d-n=Oo

計(jì)算d-n=(-2zl,l)-(2z3,-l)=(-4+3-l)=-2#0,故直線L與平面n

不平行。

以