高中數(shù)學(xué) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

學(xué)生姓名教師姓名陳傳波班主任

日期時間年級課時

教學(xué)內(nèi)容坐標(biāo)系與參數(shù)方程

【高考考情解讀】高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；

參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)

方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.高

考中以解答題形式出現(xiàn)，中檔難度，分值為10分.

主干知識梳理瞄準(zhǔn)高考

I.直線的極坐標(biāo)方程

若直線過點(diǎn)MS。，為)，且極軸到此直線的角為a,則它的方程為：psin(6—a)=posin(%

—a).

幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程

(1)直線過極點(diǎn)：61=a；

(2)直線過點(diǎn)M(a0)且垂直于極軸：pcos6=a；

(3)直線過M6，&且平行于極軸：psin8=b.

2.圓的極坐標(biāo)方程

若圓心為MSo，%)，半徑為r的圓方程為：

p1-2〃第cos(夕一4))+p9-r2=0.

幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程

(1)圓心位于極點(diǎn)，半徑為廣p=r；

(2)圓心位于M(q0),半徑為r：p=2rcos。；

(3)圓心位于9，半徑為r：p=2rsin9.

3.常見曲線的參數(shù)方程

x=rcos0,

(1)圓/+尸=戶的參數(shù)方程為.八(。為參數(shù)).

y=rsin0

x=x()+rcos8,

(2)圓(x—順)2+。一加)2=戶的參數(shù)方程為.(。為參數(shù)).

y=yo+rs\n0

F2fx=acos仇

(3)橢圓與+方v=1的參數(shù)方程為一八(。為參數(shù)).

\x=2pt1,

(4)拋物線)?=2px的參數(shù)方程為(f為參數(shù)).

ly=2pr

x=xo+fcosa,

(5)過定點(diǎn)P5),和)的傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為,.。為參數(shù)).

J=)'o十fsma

4.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化

把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)丫“as

系中取相同的長度單位.如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直/

角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為a，門和s，夕)，則一x

222

(Afp=x+y

lx=pcos6V/

]y=psin0，tan6=*x#0)

熱點(diǎn)分類突破解析高考

考點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

【例1】在以。為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線/與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是pcos(6+今=3艱

和psin2j=8cos仇直線/與曲線C交于點(diǎn)A、B,求線段AB的長.

探究提高(1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍,

否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一.

⑵在與曲線的方程進(jìn)行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性.

變式訓(xùn)練I(1)(2012?陜西改編)求直線2〃cose=l與圓p=2cos。相交的弦長.

（2）（2012?湖南）在極坐標(biāo)系中，曲線Ci：心「cose+sine）=l與曲線C2：p=“3>0）的一

個交點(diǎn)在極軸上，求。的值.

考點(diǎn)二參數(shù)方程與普通方程的互化

x=f+l,

【例2】（1）（2013?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為。為參數(shù)）,

[y=2f

曲線c的參數(shù)方程為一./（。為參數(shù)）.試求直線/和曲線C的普通方程，并求

y=2tan0

出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

fx=4—2z,v2

（2）已知直線I的參數(shù)方程為（/為參數(shù)），P是橢圓?+產(chǎn)=1上的任意一點(diǎn),

ly=f-2"

求點(diǎn)P到直線/的距離的最大值.

探究提高（1）參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元

法、利用三角恒等式消元等.在參數(shù)方程化為普通方程時，要注意保持同解變形.

（2）參數(shù)方程思想的應(yīng)用，不僅有利于曲線方程的表達(dá)，也成為研究曲線性質(zhì)的有力工

具，如在求軌跡方程、求最值的問題中有廣泛的應(yīng)用.

變型四區(qū)（1）（2013?廣東改編）已知曲線C的參數(shù)方程為r，c°s/（/為參數(shù)），c在

[y=V2sint

點(diǎn)（1,1）處的切線為/,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求/的極

坐標(biāo)方程.

2cost

⑵（2013?課標(biāo)全國H）已知動點(diǎn)P、Q都在曲線C（，為參數(shù)）上，對應(yīng)參數(shù)

分別為f=a與f=2a（0<a<27t）,M為PQ的中點(diǎn).

①求M的軌跡的參數(shù)方程；

②將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).

考點(diǎn)三極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

x=2cosa，

【例3】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為,（a為參數(shù)）.

j>=2+2sina

M是Ci上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足加=2痂，點(diǎn)尸的軌跡為曲線C2.

（1）求C2的參數(shù)方程；

（2）在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線9=/與Ci的異于極點(diǎn)的交

點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求AA

探究提高（1）曲線參數(shù)方程有很多優(yōu)點(diǎn):

①曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)都可用一個參數(shù)表示，變元只有一個.特別對于圓、橢圓、雙曲線

有很大用處.

②很多參數(shù)都有實(shí)際意義，解決問題更方便.比如：

[x=xo+?cosa

直線參數(shù)方程,（a為傾斜角，t為參數(shù)），其中|/|=PM,P（x,y）為動點(diǎn)，

1丫=加十fsina

M（xo,州）為定點(diǎn).

（2）求兩點(diǎn)間距離時，用極坐標(biāo)也比較方便，這兩點(diǎn)與原點(diǎn)共線時，距離為何一分|,這

兩點(diǎn)與原點(diǎn)不共線時，用余弦定理求解.無論哪種情形，用數(shù)形結(jié)合的方法易得解題思

路.

#fx=acos。

變式訓(xùn)練辿（1）（2013?湖北改編）在直角坐標(biāo)系X。），中，橢圓C的參數(shù)方程為,

y=bs\n（p

（°為參數(shù)，a>b>0）,在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系x。），取相同的長度單位，且以原點(diǎn)。為

極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線/與圓O的極坐標(biāo)方程分別為psing+力:乎皿加

為非零常數(shù)）與p=A若直線/經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓。相切，求橢圓C的離心率.

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線Ci的

A_tan<p'

]（0為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為"（cose+sin?）=l,若

{?v-tan2^

曲線Ci與C2相交于A、B兩點(diǎn).

①求線段A8的長；

②求點(diǎn)M（—1,2）到4、8兩點(diǎn)的距離之積.

0規(guī)律，第J

1.解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化

為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認(rèn)識，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是

化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.在涉及圓、橢圓的有關(guān)最值問題時，若能將動點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)

表示出來，借助相應(yīng)的參數(shù)方程，可以有效地簡化運(yùn)算，從而提高解題的速度.

2.極坐標(biāo)方程與普通方程互化核心公式：

rupees0

[y=psin。'tanJ=、(xWO)

3.過點(diǎn)A(po，%)，傾斜角為。的直線方程為psin(。-a)=posinO%—a),特別地，①過點(diǎn)

A(qO),垂直于極軸的直線/的極坐標(biāo)方程為pcos夕=。②平行于極軸且過點(diǎn)A3，今的

直線/的極坐標(biāo)方程為psin6=h.

4.圓心在點(diǎn)A(Po,厭),半徑為尸的圓的方程為戶="2+p3-2"〃ocos(。一代)).

x=xo+fcos0

5.重點(diǎn)掌握直線的參數(shù)方程..八Q為參數(shù))，理解參數(shù)，的幾何意義.

y=yo+fsm8

押題精練

1.在極坐標(biāo)系中，求過圓o=6cos6的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程.

2.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0處，極軸與x軸的正半軸重合，且長

，，，,9

度單位相同.直線/的極坐標(biāo)方程為p=-----/---不，點(diǎn)P(1+cosa,sina),參數(shù)

6sin(0+J

?E[0,27r).

(1)求點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程；

⑵求點(diǎn)P到直線/距離的最大值.

專題突破練

x=2s+19

1.（2013?湖南改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線/1：（5為參數(shù)）和直線

X=Cltf

h：c,a為參數(shù)）平行，求常數(shù)”的值.

3=2L1

2.（2012?江蘇）如圖，在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)

心為直線psin（。一*=一當(dāng)與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程.

x5cos（0f

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓”為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，旦與直線

y=3sin（p

|x=4-2%

Q為參數(shù)）平行的直線的普通方程.

ly=3-r

4.（2013?重慶改編）在直角坐標(biāo)系X。），中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐

[x—t2-,

標(biāo)系.極坐標(biāo)方程為0COS0=4的直線與曲線,相交于A,8兩點(diǎn)，求AB的長.

5.在極坐標(biāo)系中，已知圓p=2cos。與直線3pcose+4psin9+。=0相切，求實(shí)數(shù)a的值.

6.求直線p=荻七而