山東省濰坊青州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁青州一中普通部高二下期4月份段考數(shù)學(xué)試題2025.4第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.已知在等差數(shù)列中，,，則=（）A.8 B.10 C.14 D.16【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)公差為，則，解得，所以.故選：D.2.已知函數(shù)，則（）A.1 B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算律計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：B．3已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令求出，再令即可求解.【詳解】，令可得解得，所以，所以，故選:B.4.李老師教高二甲班和乙班兩個(gè)班的數(shù)學(xué)，這兩個(gè)班的人數(shù)相等．某次聯(lián)考中，這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)的圖像如圖所示，其中是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且，，．關(guān)于這次數(shù)學(xué)考試成績，下列結(jié)論正確的是（）A.甲班的平均分比乙班的平均分高B.相對(duì)于乙班，甲班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散C.甲班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的D.乙班112分以上的人數(shù)與甲班108分以上的人數(shù)大致相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績正態(tài)曲線圖，易于判斷A,B兩項(xiàng)；對(duì)于C和D，需要根據(jù)圖中兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績的期望和最大值分別求出和，再結(jié)合曲線圖的對(duì)稱性和三段區(qū)間的概率值計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，比較后研判即得.【詳解】對(duì)于A，由圖知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因甲班的曲線比乙班的曲線更“瘦高”，即，表示甲班的數(shù)學(xué)成績更集中，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲班的最大值為，則，則,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，乙班的最大值為，則，則，又這兩個(gè)班的人數(shù)相等，則乙班112分以上的人數(shù)與甲班108分以上的人數(shù)大致相等，故D正確.故選：D.5.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件概率的定義，分別計(jì)算即得解.【詳解】由題意事件為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個(gè)事件由條件概率的定義：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率計(jì)算，考查了學(xué)生概念理解，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6.某企業(yè)在今年年初貸款a萬元，年利率為，從今年年末開始每年償還一定金額，預(yù)計(jì)五年內(nèi)還清，則每年應(yīng)償還（）A.萬元 B.萬元C.萬元 D.萬元【答案】B【解析】【分析】由題意設(shè)每年償還x萬元，根據(jù)題意列出方程求解即可.【詳解】設(shè)每年償還x萬元，則，所以，解得．故選：B7.等比數(shù)列共有項(xiàng)，其中，偶數(shù)項(xiàng)和為84，奇數(shù)項(xiàng)和為170，則（）A.3 B.4 C.7 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和關(guān)系列式求解，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列共有項(xiàng)，所以等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，由題意得，所以偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，相減得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和項(xiàng)公式基本量計(jì)算，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.8.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得其單調(diào)性，即可得到最大，然后由作差法比較的大小關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，則時(shí)，有極大值，即最大值，又，，，所以，且，所以，綜上可得，，即.

故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的是（）A.，越小，該正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線越扁平B.運(yùn)用最小二乘法得到的線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)C.相關(guān)系數(shù)越大，與相關(guān)的程度就越強(qiáng)D.利用進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩事件有關(guān)系【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布，回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，越小，該正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線越瘦高，故A錯(cuò)誤；線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，故B正確；相關(guān)系數(shù)越大，與相關(guān)的程度就越強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；利用進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩事件有關(guān)系，故D正確；故選：BD10.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.在處的切線方程為D.【答案】ABC【解析】【分析】求導(dǎo)代入計(jì)算，即可判斷A，由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可判斷BD，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，代入計(jì)算，即可判斷C.【詳解】由可得，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，則，故B正確；對(duì)于C，切線的斜率為，由點(diǎn)斜式方程可得，化簡可得，故C正確；對(duì)于D，，則，故D錯(cuò)誤；故選：ABC11.若無窮數(shù)列，存在正整數(shù)，對(duì)任意，均有，則稱數(shù)列是弱增數(shù)列，下列說法正確的是（）A.公差大于的等差數(shù)列一定是“弱增數(shù)列”B.公比大于的等比數(shù)列不一定是“弱增數(shù)列”C.若，則數(shù)列不是“弱增數(shù)列”D.若，則數(shù)列是“弱增數(shù)列”【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)“弱增數(shù)列”的定義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，因?yàn)檎麛?shù)，，所以，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，因?yàn)檎麛?shù)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?所以，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，故數(shù)列是“弱增數(shù)列”，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則__________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式代入計(jì)算，即可得到，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，則，所以，由可得，解得，則.

故答案為：13.浙江省高考實(shí)行“七選三”選科模式，賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．甲、乙、丙三所學(xué)校分別有75%，60%，50%的學(xué)生選了物理，這三所學(xué)校的學(xué)生數(shù)之比為，現(xiàn)從這三所學(xué)校中隨機(jī)選取一個(gè)學(xué)生，則這個(gè)學(xué)生選了物理的概率為______．【答案】【解析】【分析】先求得這個(gè)學(xué)生來自每個(gè)學(xué)校并且選擇了物理的概率，最后由分類加法算出總概率.【詳解】設(shè)：事件：這個(gè)學(xué)生來自甲學(xué)校；事件：這個(gè)學(xué)生來自乙學(xué)校；事件：這個(gè)學(xué)生來自丙學(xué)校；事件：甲學(xué)校學(xué)生選了物理；事件：乙學(xué)校學(xué)生選了物理；事件：丙學(xué)校學(xué)生選了物理；由題意知：這個(gè)學(xué)生選擇是物理的概率：.故答案為：.14.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.【詳解】令即又函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故方程有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，令則則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故時(shí)，取極小值，也為最小值，又時(shí)，則有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知為等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出公差和公比，得到通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行分組求和，【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為.因?yàn)?，所以，即，所以，所以，則，所以.【小問2詳解】.16.已知函數(shù)在處取得極小值5.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.【答案】（1），.（2）10【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)得，解出值，驗(yàn)證即可；（2）由（1）知，求導(dǎo)再列表即可得到其最大值.【小問1詳解】，因?yàn)樵谔幦O小值5，所以，得，此時(shí)，令，解得；令，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取極小值，符合題意.所以，.又，所以.綜上，，.【小問2詳解】由（1）知，，列表如下：0（0,1）12（2,3）3

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1極大值6極小值510由于，故時(shí)，.17.“摸獎(jiǎng)游戲”是商場促銷最為常見的形式之一，某摸獎(jiǎng)游戲的規(guī)則是：第一次在裝有紅色、白色球各兩個(gè)共4個(gè)球的A袋中隨機(jī)取出2個(gè)球；第二次在裝有紅色、白色、黑色球各一個(gè)共3個(gè)球的B袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，兩次取球相互獨(dú)立，兩次取球合在一起稱為一次摸獎(jiǎng)，取出的3個(gè)球的顏色與獲得的積分對(duì)應(yīng)如下表：所取球的情況三球均為紅色三球均不同色恰有兩球?yàn)榧t色其他情況所獲得的積分10080600（1）求一次摸獎(jiǎng)中，所取的三個(gè)球中恰有兩個(gè)是紅球的概率；（2）設(shè)一次摸獎(jiǎng)中所獲得的積分為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（3）某人摸獎(jiǎng)三次，求至少有兩次獲得積分為60的概率．【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）所取三個(gè)球中恰有兩個(gè)紅球，包含兩類基本事件：一類是A袋中取出2個(gè)紅球，B袋中取出一個(gè)不是紅球；另一類是A袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球，B袋中取出一個(gè)是紅球；然后利用古典概型概率計(jì)算公式及互斥事件的加法公式可求得結(jié)果.（2）求出X的取值及取各個(gè)值的概率，列出分布列，再由期望公式求得結(jié)果.（3）由二項(xiàng)分布的定義知，三次摸獎(jiǎng)中獲得積分為60的次數(shù)，再運(yùn)用互斥事件的概率公式計(jì)算即可.【小問1詳解】一次摸獎(jiǎng)中，所取的三個(gè)球中恰有兩個(gè)是紅球的概率：.【小問2詳解】由題意得，X的可能取值為100，80，60，0.，，，.所以X的分布列為：X10080600P則X的數(shù)學(xué)期望為：.【小問3詳解】由二項(xiàng)分布的定義知，三次摸獎(jiǎng)中獲得積分為60的次數(shù)，則，故所求概率為.18.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)時(shí)，，驗(yàn)證，從而得到的通項(xiàng)；（2）由，得到，通過作差得到的通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又也滿足上式，所以.又.【小問2詳解】∵①∴②②－①得：，，故．【小問3詳解】，∴，令，①則②①－②得：，∴∴．∴數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)任意的恒成立，求的值；（3）證明：【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性；（2）變形為在上恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)，分，，和四種情況，得到；（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而得到，利用累加法得到，得到【小問1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】等價(jià)于，令，則