滬教版初二年級上冊數(shù)學詳細講義

第十六章二次根式

第一節(jié)二次根式

【知識要點】

代數(shù)式店(a20)隊做二次根式。讀作“根號a”，其中a叫被開方數(shù).

?有意義的條件是a>0

3.二次根式的性質

性質一\JQ2—a(a>0)

性質二(相2=a(a20)

性質三vSb=.7b(a>0,b>0)

在化簡后的二次根式里：

(1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；

(2)被開方數(shù)中不含分母.

被開方數(shù)同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最笥二次根式.

幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二

次根式.

【學習目標】

1.掌握二次根式有意義的條件及性質.

2.掌握最簡二次根式及同類二次根式.

【典型例題】

【例1】下列式子中哪些是二次根式？

5._____

(1);(2)產(chǎn)；(3)一42+3；(4)照；(5)

(6)x/i^x(x>1)：⑺Jx2+2x+3；(8)\T2a(a<0)：

⑺后；。。心

【答案】⑴、⑶、⑸、⑺、(8)吃次枯t

【分析】二次根式要求根指數(shù)為2,所以(4)就不是二次根式，同時二次根式的被開方數(shù)

必須是非負數(shù)，所以(2)、(6)顯然不是，(9)中只有當X+1/0即X*—1時，

才是二次根式，(10)中只有當x=0時，才是二次根式.

［例2］當實數(shù)x取何值時，下列各式有意義？

(1).2x7;(2)J(x-2)2；(3)VT+G：

(4)：⑸’3-2X:J—!—

V-2x+1(6)\6x+4

1CL

【答案】(1)X>-；(2)X取任何實數(shù)；(3)X=0；(4)X<-5；

2

342

(5)X<-且X/-1；(6)X>--o

23

【分析】(1)由2x—120,得XN],所以當XN1時，/x—1有意義;

22

(2)無論x取什么實數(shù)，都有(x—2)220,所以當x取任何實數(shù)時，4X—2)2都有意義;

(3)由x20,且一x>0,得x=0,所以當x=0時，4"+口有意義;

(4)由左之。即x+540,得X4—5,所以當XV—5時,

-2

(5)由3—2X2O且X+1/O,得XV?且XW-1,所以當X43且XW—1時，’、一”有

22x+1

意義;

22

(6)由------20且6乂+4/0,即6x+4>0,得x>——，所以當x>—r—~時r，/------

6x+433V6X+4

有意義；

［例3］化簡下列二次根式；

(1)7(-7)2；(2)，西-2亞)2；

閂~r

(3)-Jl2x3y(y<0)；(4)./——(a<0,b<0)。

xVa2b2

【答案】(1)-7；(2)272-V7;(3)-2y[3yy.

ab

【解答】(1)原式=一卜7|=-7；

(2)原式="-2應|=2\［2-y/7；

(3)由12x3y20且y<0,得x40,所以

=—yj3xy=-43xy；

(4)由a<0且b<0,得ab>0，所以

82+〃2\/^2+/?2Jd2+/>

原式二

公從―&-ab

［例4］下列根式中哪些是最簡二次根式？

（1）/TB；（2）S；⑶4TT25；

（5）;（6）13x3y2；（7）,4X2+9y2

【答案】（1）、（5）、（7）是最簡二次根式.

【解析】因為血二^22x3與，3x3yz它們的被開方數(shù)中各因式的指數(shù)不都是1,所以

（2）、（6）不是最簡二次根式.

因為向該二《與板「，它們的被開方數(shù)含有分母，所以（3）、（4）不是最

簡二次根式.

［例5］下列各式中，哪些是同類二次根式？

（1）@；（2）>/75；（3）JJ；（4）衣；（5）3原：

(6)V45；(7),2x2+8xy+8y2(x>0,y>0)；(8)J6x2y2(x>0,y<0)。

【答案】⑴一:(2)V75=5/3；(3)

VX4

(4)=(5)-V32=—s(6)^5=3/5.

o2

(7)因為x>0,y>0,所以x+2y>0,于是

=(x+2y>/2；

(8)因為x>0,y<0,所以xy<0,于是

76x2y2=>/6|xy|=-6xyo

因此（1）、（5）、（7）是同類二次根式；（3）、（6）是同類二次根式；（4）、（8）是同類二次

根式.

【基礎訓練】

1.\匕2=（Ja）2成立的條件是

2.當x時，式子-3+/有意義.

V5-X

JenJa2

3.當a時,----=1；當a時，--

a

4.代數(shù)式xlil中，字母x的取值范圍是

X-1

2

2<x<5,則(x?2)2+{(x-5)=

6.若m<0

<a-1+b+1=0，貝ijaioo-b2oi=

8.下列各式中，是最簡二次根式的是（)

D

A.v'18B.\；a2bc.v'a2-vf

x-1\x-1

成立的x取值范圍為

X

A.X>0B.x>1Hx/0C.X>1D.x取任意實數(shù)

10.下列各組式子中，同類二次根式的是（).

A.J3a2b和33a2bcB.

c.J：a3b4和《1a4b3:和:b

D.

11.mm+6m?-5m2的值(

v).

4\m

12.x<y,那么化簡y?x（X?y）2為).

A.0B.2yC.-2xD.2y—2x

13.化簡下列各式：（此題中的字母均為正數(shù)）

(1)、9a2b3c4⑶能需…,。）

⑷行IT⑸《蠹

【能力提高】

且yW+.求：

i.化簡并計算己知x,y為實數(shù)，

5x+2y-11-\；y2-2y+1的值.

2.己知sa+44a+3b與b+M2a?b+6是同類根式，求（a+b）3的值.

3.已知擷?2y+4+、k2yli2=0,求、；*2+乎的值.

4.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式

(1)4x4-1(2)X3-X2-2x+2

第二節(jié)二次根式的運算

【知識要點】

先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.

2.二次根式的乘除法

二次根式的乘法：兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.

二次根式的除法：兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

3.分母有理化

把分母中的根號化去，叫做分母有理化.

4.有理化因式

兩個含有二次根式代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個含有二次根

式的代數(shù)式互為有理化因式.

5.二次根式的混合運算

在二次根式運算中，實數(shù)運算律、運算性質以及運算性質規(guī)定都實用.

【學習目標】

1.會進行二次根式的四則混合運算.

2.會應用整式的運算法則進行二次根式的運算.

【典型例題】

【例1】計算：

(1)V32—\/Q+>J^B；(2)

)-(745-V075)；

【答案】（1）5施；（2）-<T⑶—"+」B

36

【解析】（1）原式=4>J^2/2+3/2=5V2;

⑵原式=3序5=3得+得

=（4+§/=我

⑶原式=（$/）-（得。

n

［例2］計算：

(1)(—

（2），6ab:JlObc（其中a<0）；

6,15ac

【答案】（1）-

□5c

15148

【解析】（1）原式二XX

453

3

5

（2）因為a<0,所以由根式?！於芍猙<0,再由根式JiObc可知cv0

JJac

原式=

5c

【例3］把下列各式分母有理化:

1a—1

⑵

⑴范vzI-a---17°

【答案】(1)—；(2)Va-1o

6

V2J2V2

【解析】(1)原式=~產(chǎn)=f-=—T-

V18.V2<366

（2）原式=與￡=而斤,

【例4】計算:

11a-4

(2)-----=

⑴；TH；2+yfa

3⑷2^^)

(3)—=——=；

S/3+2V6ayjb-byfa

⑴嘩+2；⑵

【答案】I⑶羋箸（4）Va

⑴原式=懸一(6_2x/3)+(26+2)

【解析】

(a-4X2-47)

（2）原式=

(2+yfa)(2->fa)

3(50-2咂

（3）原式=

15&2描5小-2病

yfab(a-h)

（4）原式=

yfab{yla

【例51計算：

⑴（瘡⑷叫遮M）”

(2)(>/5-V3->/2)(Vl5+V6+3)；

【答案】（1）壓+4；（2）—6^2；⑶0；

【解析】⑴原式二（而二4>。（而+4）1。（壓+4）

=壓+4；

（2）原式二芯-6'-?（6+石+M）

=/3（-2>/6）=-6>/2：

（3）解法一：

解法二：

原'式=延+樵-

3.二次根式比較大小的常見方法

（1）平方法：

平方法比較兩數(shù)a、b的大小時，

當a>0,b>0時，如果a2>be,那么a>b；

如果a2<b2,那么a<b。

當a<0,b<0時，如果a2>也，那么a<b：

如果a2<b2,那么a>b.

9

（2）作差法：

作差法比較兩數(shù)a、b的大小時，如果，a—b>0那么a>b；如果a—b<0,那么

a<b

（3）作商法：

作商法比較兩數(shù)a、b的大小時，

aa

當a>0,b>0時，如果「>1,則a>b；如果「<1，則a<b.

bb,

aa

當a<0,b<0時，如果」>1,則a<b；如果「<1,則a>b.

bb,

（4）倒數(shù)法（分子有理化法）

倒數(shù)法比較兩數(shù)a、b的大小時，

1111

當a>0,b>0時，如果占>丁則a〈b；如果<.,則a>b.

ab

當a<0,b<0時，如果」>1a

，則a<b；如果b<1,則a>b；

ab

[例6]比較下來各式的大小:

2與3

(1)用布與遍+A；(2)

西?心與、/行??。

【答案】(1)>；(2)<；(3)（4）<。

【解析】第（1）題可以用“平方法”比較,第（2）題可用“作差法”比較，第（3）題可

用“作商法”比較，第（4）題可用“分子有理化法”比較.

用拆項相消的技巧往往使某些求和問題運算比較簡便.

【基礎訓練】

1.計算:反=

2.計算:京點.局'I

X

3.計算:yx2=，9展x

\7

4.計算:=,聞N、gxJ2=

5.計算:

775^(5-V3)=

6.計算:

2-、3

7.分母有理化：集一尋寸

8.計算：2V5n*r4<3x4A=

9.>/3-v2的倒數(shù)為.

x

X=-,y是X的有理化因式則y=,則xy=,

11.下列各式運算結果正確的是（）

f—）=w/16x—=—

A.23rx#=63-B.J-I6XH

25V255

C.盧?v-1257625=-25D.「i+y2=Jx2+Jy2=-Ky

12.下列各式化簡結果正確的是（）

A.Jy/4（i-ija,B.-2a+1="

v4a+1

C

-加=哈.D.3\g=#

ab

12x化簡結果正確的是（）

3x

,------4

A.4vabB.36x&3xabc.-V3abxD,4ab<3x

X

14.-'35x（-&/Z5）的計算結果正確的是（）

3V4

A.-90J-B,-45通C.-27V15D.45V3

V4

15.V5-x"6的倒數(shù)是（）

A.一、5+幾B.76一、丫5c.75-\6I）.<5+、6

16.設JV的小數(shù)部分為b，那么（4+b）b的值是（）

A.1B.是一個有理數(shù)；C.3D,無法確定?/X

丘2月3■同q瓜上輩-

32+6V2-I

19.5+5/2）\（275-勾萬）

>

20.Q/+）（—二+」「1、

U+V2V2+V3

【能力提高】

7

A0A察y+y-xy2-x"”

1.化簡與計算：己知x=-=-，y~—；求—~-~—的值.

J2+1JJ+Ixi+2x-2y-y2

x=+y=-4)求心一*y+”和三+上的值.

22vx

J3L-V2-，產(chǎn);J3L+VJ2，求下列各式的值.

V3+V273-72

X2-3xy+2y2

①

x-2y

二次根式單元測試題

（時間100分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，共24分）

1.在根式丁而、32-b2、JaB、石、［v'2a2b中，最簡二次根式有（）

duja

2.在下列各式的化簡中，化簡正確的有（）

①,匕3=a6②5x收-R=4xy'X

@6a以奇底④圖+上。展

,^2cm、

*3cm那么能與它們組成直角三角形的第三條線

段的長是（)

B.>/5cm\/5cm

4.己知aVO,化簡:的結果是)

2a

5.v15+2\2?\5—22的積為()

C,而

A.1B.17D.向

6.當a>0,b>0時，n是正整數(shù)，計算:V32n+lb6-、；a2n+3b4的結果是（）

A.(b-a)x'a2n+lb4B.(anb3-an4,b2)%a

C.(b：廠ab?)\S2n+1D.(<inb3+an+1b2)

二、填空題（本大題共12題,每題4分,共48分）

\6的有理化因式是,

8.當m>n時，化簡：（m-n）

\m-n

△Me…八y14m2+4m+1<,m2-2m+1

9.已知-2VmV-l,化簡：v2-------------2------------=

4m+22m-2

10.當a<-b<i時，化簡：+a+b的結果為______

Vb+1；(b+1)2

12.計算：(a+2x,ab+b)4-(\3+\b)-(Vb-va)=

14.若菱形兩對角線K分別為（2、百+3血）和（2、g-3v2）,則菱形面積=

15.已知bVO,化簡：02-~—+2=-----------.

\b\a\ab

(5-2何函+必_

,7^3————'

(<3-3/2)2-(<3+3/2)2=.(4-V75)2OOI.(4+?運)2001=。

18.比較大小：566y/247—v6.

三.解答題：（本大題共七題，滿分78分）

19.（本題滿分為10分）

計算:匹弓弓”同

20（本題滿分10分）

化簡：3\應+2丫〈_丫丫一xy洶（x>0,y>0）

21（本題滿分10分）

I）

已知K=r=——=,求工+一+2的值。

V3-V2X）

22.（本題滿分10分）

1111

計算:1+V?+V2+石+v'3+\4v99+v'7oo

23.（本題滿分12分）

1

先化簡，再求值:其中。二

2+3

24.（本題滿分12分）

段x、y是實數(shù)，±LX2fy2-2x+4y+5=0,求-

儼+1/3y)2

25.（本題滿分14分）

.,,X2+A-6X+3x-2+J-？

求代數(shù)式-------的值。

X

X2-2XX-2-ylx2-4x

第十七章一元二次方程

第一節(jié)一元二次方程的概念

【知識要點】

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。其實質是：

①整式方程；②只含有個木知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.其中“木知數(shù)的最高次數(shù)

是2”是指在合并同類項之后而言的.

一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（aH0）,其中ax2叫做二次項，a為二次項系數(shù)；

bx叫做一次項，b是一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。任何一個一元二次方程都可以化成一

般形式.

二次項系數(shù)含有字母的方程是否是一元二次方程，需要對二次項系數(shù)進行討論，要保證未

知數(shù)的最高次數(shù)2.只需要二次項系數(shù)不為0

4.對于一個一元二次方程，可以依據(jù)根的意義，判斷未知數(shù)的一個值是不是這個方程的根.

5.特殊根的一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項的特征

依據(jù)方程的根的意義，找出如果一-元二次方程有一個根為0、1或一1的一元二次方程的系

數(shù)和常數(shù)項的特征。如一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）,當c二0時，有一根為0

【知識要點】

5.掌握一元二次方程的概念.

6?一元二次方程的一般形式，能找出方程中各項的系數(shù).

【典型例題】

【例1】判斷下列方程哪些是一元二次方程

2

(1)3X2+6=3x(2)x--=0

3x

(3)4x2-y=0(4)-X2=0

(5)x(5x-1)=x(x+3)+4x2

【分析】本題是概念判斷題，要牢記符合一元二次方程應滿足的條件.

【解答】(1)移項得：3X2-3x+6=0

：是一元二次方程

2

(2)x-『二0

???方程分母含有未知數(shù)，不是整式方程

：它不是一元二次方程

(3)4X2-y=1

,?,方程中含有兩個未知數(shù)

：它不是一元二次方程

(4)-X2=0

?.?符合一元二次方程的條件

:它是一元二次方程

(5)整理得：5x2-x=X2+3x+4x2

移項、合并得：4x=0

??,二次項系數(shù)合并后為0,未知數(shù)最高次數(shù)為1

：它不是一元二次方程。

【注意】判斷一個方程是否是一元二次方程，要先對方程進行整理，然后再根據(jù)條件：

①整式方程

②只含有一個未知數(shù)

③未知數(shù)最高次數(shù)為2

只有當這三個條件全部滿足時，才能判斷為一元二次方程.

【例2】杷下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項與各頊的系數(shù)

(1)2X2=3x(2)(5X-1)2-3=0

(3)(4m-5)(2m+1)=m2(4)3x2-ax+b=0(a、b是已知數(shù))

【分析】方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項是在方程為一般形式的前提下而言的

所以解此題的關鍵是準確把方程化簡為一元二次方程的一般形式.

【解答】(1)移項，得方程的一般形式：2X2—V3x=0可知，方程中的二次項是2x2,

二次項系數(shù)是出；一次項是3x,一次項系數(shù)是石；常數(shù)項是0

(2)整理，得方程的一般形式：25X2-10x?2=0可知，方程中的二次項是25x2,二

次項系數(shù)是25；一次項是?10x,一次項系數(shù)是?10；常數(shù)項是-2

(3)整理，得方程的一般形式：7m2?6m-5=0可知，方程中的二次項是7m2,二

次項系數(shù)是7；一次項是-6m,一次項系數(shù)是-6；常數(shù)項是-5。

(4)方程的?般式為：3x?-ax+b=0(a、b是已如數(shù))可知，方程中的二次項是3x2,

二次項系數(shù)是3；一次項是-ax,一次項系數(shù)是-a；常數(shù)項是b

【點評】要認真區(qū)別方程的各項與各項的系數(shù)。特別要小心當某項的系數(shù)為負數(shù)時，指出

各項時千萬不要丟負號。對于字母系數(shù)方程的整理，應先明確其未知數(shù)，再確定各

項系數(shù).

【例3】當m為何值時，關于x的方程mx2-3x=X2-門x+1是一元二次方程？

【分析】在一元二次方程ax2+bx+c(aH0)中，a/0是一元二次方程的必要條件否則它

就不是一元二次方程.

【解答】移項、合并同類項得：(m?1)x2+(m-3)x-1=0

當m-1聲0即m，1時方程為一元二次方程。

【點評】要先把方程整理為一般式，然后再確定二次項的系數(shù)的條件.

【例4］判斷3,-4是不是一元二次方程2X2-x=12+x的根.

【分析】能夠使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的根。所以只需把3、?4、2代

入原方程檢驗方程左右兩邊的值是否相等.

【解答】把x=3分別代入方程2X2?x=12+x的左右兩邊，得

坐左邊的值為2x32?3=15

右邊的值為12+3=15

因為方程左右兩邊的值相等，所以x=3是這個一元二次方程2x2-x=12+x的根.

把x二-4分別代入方程2X2-x=12+x的左右兩邊，得

坐左邊的值為2X(-4)2-(-4)=36

右邊的值為12+(-4)=8

因為方程左右兩邊的值不相等，所以x=-4不是這個一元二次方程2X2-X=12+x的根.

【點評】從這個一元二次方程看到，它的根的個數(shù)與一元一次方程是不同的.

【例5)在下了方程中，哪些方程有一個根為0?哪些方程有一個根為1?哪些方程有一個

根為一1?

(1)3X2-2x=0(2)5X2x=0

(3)X2+2x-3=0(4)6x2-13x+7=0

(5)X2+6x+5=0(6)3X2-2X-5=0

【分析】根據(jù)方程的根的意義，分別把0、1或一1代入原方程即可.

【解答】根據(jù)方程根的意義，可知方程(1)、(2)有一個根為0；方程(3〉、(4)有一個根

為1；方程(5)、(6)有一個根為一1.

【點評】有一個根為0、1或的一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)的特征是：如果常數(shù)項為0,

則有一根為0；如果二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的和等于常數(shù)項的相反數(shù)，則有一根

為1；如果二次項系數(shù)與常數(shù)項的和等于一次項系數(shù)，則有一根為-1.

［例6］方程(m—2)Xm2~5m+8+(m-3)x+5=0

(1)m取何值時，是一元二次方程？并求出此方程的解；

(2)m取何值時，方程是一元一次方程？

【分析】解此題的關鍵是對一元二次方程和一元一次方程電腦概念的理解，不僅要對未知數(shù)

的系數(shù)討論，還應注意未知數(shù)的最高次..

【解答】(1)當m2-5m+8=2且m-2*0時，方程為一元二次方程.

由m2-5m+8=2

解得m=2,m=3

12

:m=3時方程為一元二次方程。

將m=3代入原方程，得X2+5=0方程無實數(shù)解.

(2)由m一2=0得m=2,且m—3W0這時方程為一元一次方程.

(m-2Ao時，m2-5m+8=1和m2-5m+8=0均無解)

【點評】此題應注意對x項的指數(shù)與系數(shù)的討論.

【例7】已知x=1是方程用一mx+1=0的根，化簡Jm2-6m++nr

【分析】可將方程的跟x=1代入方程X2—mx+1=0,求出m的值，再代入已知代數(shù)式化

簡之.

【解答】將x=1代入方程X2—mx+1=0

得l2-m.1+1=0,解得m=2

【點評】方程的根就是能夠使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，所以我們可以把它代入到

原方程中，從而求出方程中其他字母的值.

【基礎訓練】

1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()

A.(a-3)X2=8(a#2+bx+c=0

C.(x+3)(x-2)=x+5D.+AX-2=0

57

2.下列方程中，常數(shù)項為零的是()

22-X-12=12；C.2(x2-l)=3(x-l)I).2(X2+1)=X+2

x(x+2)=5(x-2)化成一般式，則a、b、c的值分別是()

A.1,-3,10B.1,7,-WC.1,-5,12D.1,3,2

(m+3)x2-mx+1=0是一元二次方程，則()

A.m，一3B.mW3c.mH0D.mH-3且mW0

x的一元二次方程(m—1)x2+x+m2—1=0有一根為o,則m的值

()

A.1B.-1C.1或一1D.-

2

6.關于x的一元二次方程2x2—3x—a2+1=o的一個根為2,則a的值是()

A.1B.73C.-v3D.±v3

7.方程(x-l)(2x+l)=2億成一般形式是，它的二次項系數(shù)是.

X的方程(m-3)xm27-X=5是一元二次方程，則m=.

X的方程(m2—16)x2+(m+4)x+2m+3=o是一元一次方程，貝I」m二.

10.寫一個一元二次方程，使它的二次項系數(shù)是一3,一次項系數(shù)是2：

11.若一1是方程X2+bx-5=0的一個根，則b=.

axz+bx+c=0的一個根是一1,則a—b+c=.

(m-1)X2-h/mx-1=0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是.

14.若一元二次方程(m-2}x2+3(m2+15)x+m2-4=0的常數(shù)項是0,則m為.

15.如果x=4是一元二次方程X2—3X=32的一個根，那么常數(shù)a的值是.

16.把下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項與各項的系數(shù)

(1)(x+3)(x-2)=x+5(2)2(x2-l)=3(x-l)(3)(2x—5)2-(x+4)2=0

y=2x2-ax-a2,當x=1時，y=0,求a的值.

18.已知Jm-1X2+(Vl-m+1)x-2=o,求m「3x+2的值.

2-x-l=O,求6X3+7X2-5X+2005的值.

20.己知方程3ax2-bx-l=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根T,求a,b的值.

第二節(jié)元二次方程的解法(1)

【知識要點】

一.一元二次方程的解法

方程左邊是喊未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)常數(shù)形式，可用開平方法求解.

一元二次方程的一邊是0,另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以先考慮用因式分解

法求解.

為了能用開平方法解一般形式的一元二次方程ax2+be+c=0(a0),必須將方程形為

(x+m)2=n的形式。配方法的步驟是：①把二次項系數(shù)化為1；②移項，方程的一邊為二

次項和一次項，另一邊為常數(shù)項；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④將原方程

變形為(x+m)2=n的形式.

二.一元二次方程解法的運用及其思想方法

配方法對所有的一元二次方程都適用，開平方法和因式法只對具備相應特征的方程才適用.

我們在解--元二次方程時一定要根據(jù)具體問題選擇恰當?shù)姆椒ǎ瑥亩菇忸}過程準確、簡捷.

一般情況下：

(1)形如ax2+c=0(ac<0)的一元二次方程用開平方法或因式分解法(平方差公式)解;

(2)形如ax?+bx=0(abH0)的一元二次方程用因式分解法(提取公因式法)來解；

(3)形如ax2+bx+c=0(abc，0)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)來解.

【學習目標】

第十七章學會直接開平方法，因式分解法解一元二次方程.

第十八章掌握配方法解方程及配方法的技巧.

【典型例題】

【例1】用開平方法解下列方程

(1)4x2-256=0⑵\5(x-1)2=\i27

(3)(1-2X)2=9(4)(2y+1)2=(3-y)2

【分析】用開平方法解方程，要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)

常數(shù)的形式，再艱據(jù)平方的定義求解。另外，“整體”思想在解方程時還是十分有

用的.

【解答】(1)移項得：4x2=256

將方程各項都除以4得：X2=64:x=±\/64

所以，原方程的根是x=8,x=—8

12

(2)將方程兩邊同時除以47導：(X—1)2二而

即(X-1)2=4：X-1=±^3

所以原方程的根是X=1+=1一囪。

12

(3)利用開平方法，得1—2x=3或1—2x=—3解得x=—1或x=2

所以，原方程的根是x=-1,x=2

12

(4)利用開平方法，得2y+1=3—y或2y+11=-(3—y)

2

解得y=不或y=-4

2

所以原方程的根是：y=-,y=—4

132

【點評】對于第(2)題無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過注意二次根

式的簡化，而第(3)、(4)是利用“整體”思想解方程.

【例2］用因式分解解下列方程

(1)(x+3)(x-1)=12(2)2x(1-3x)=5(3x-1)

(3)(2x+1)2-3(X+1)2=0

【分析】因式分解法的依據(jù)是如果兩個兩個因式的積等于零，那么這兩個因式中至少有一

個等于零；反之也同樣成立，由此可得方程的根。所以可以把方程等號一邊化為零，

另一邊分解成兩個一次因式的積的形式而求出方程的解.

【解答】(1)原方程可變形為X2+2x—15

把方程左邊分解因式，方程可化為(x+5)(x—3)=0得x+5=0或x—3=0

解得x=-5,x=3

12

所以原方程的解為X=-5,x=3。

12

(2)原方程可變形為2x(1—3x)—5(3x—1)=0

把方程左邊分解因式，方程可化為(2x+5)(1—3x)=0得2x+5=0或1—3x=0

解得工=_1或x

51

所以原方程的根是x=--,x=-

1223

(3)原方程可變形為(2x+1)2—[石(x+1)]2=0

把方程左邊分解因式，方程可化為[(2x+1)+(3x+3)][(2x+1)—(3x+峋=0

得(2+?x+1+6=0或(2—5+1—5=0

解得x=1一6或x=1+^3

所以原方程的根是X=1-^X=

12

【點評】在用因式分解法解一元二次方程時，一定要注意把方程整理為一股式，如果左邊的

代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式都

為零得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解

了.

【例3】用配方法解方程

(1)X2+8x-9=0(2)3x2+8x-3=0

【分析】對于二次項系數(shù)是1的方程，在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平凡即可完

成配方。對于二次項系數(shù)部不為1,則先將方程各項同時除以二次項系數(shù)后，再配方.

【解答】(1)移項，得X2+8X=9

兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，得X2+8x+42=9+42

即(x+4)2=25

開平方，得x+4二±5即x+4=5或x+4=—5

所以原方程的根為x=1,x=—9

12

88

(2)兩邊同時除以3,得X2+-x—1=0移項，得xz+-X=1

33

方程；兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，得

45

即工+彳=±彳

所以，原方程的解為x=-,x=一3。

132

【點評】“方程兩邊同時加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方”這一步，是配方法的關鍵?！皩?/p>

二次項系數(shù)化為1”是進行這一關鍵步驟的重要前提.

【例5】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

(1)2x2-5=0(2)5x2+2=2(1-x)-x(x--)

2

(3)3x2-7x+4=0(用配方法)(4)(x-2)(4x+1)=(x-1)(x-2)

【分析】此題是解一7匕二次方程的四種方法的綜合運用，在解題時，一定要根據(jù)具體問題選

擇恰當方法，從而使解題過程準確、簡捷.

【解答】(1)移項，得2K2=5

方程兩邊都除以2,得X2=}

7

解這個方程,

回

即K=±2!_

所以,原方程的根是X

1

(2)展開，整理，得4X2+X=0

方程可變形為x(4x+1)=0x=0或4x+1=0

所以，原方程的根是x=0,x=--

124

(3)移項，得3X2-7X=4

74

方程兩邊同時除以3,得X2—Q工=-Q

方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，得

7I

解這個方程得：A--=±-

66

…'4

所以，原方程的根是x=—,x=1

132

(4)移項，^(x-2)(4x+1)-(x-1)(x-2)=0

提取公因式，得(x—2)[(4x+1)—(x—1)]=0

整理,得(x-2)(3x+3)=0

x-2=O^J3x+2=0

所以，原方程的根是x=2,x=一三

123

【點評】當一元二次方程本身特性不明顯時，需要先將方程化為一般形式

ax2+bx+c=0(a0),若b=0,a、c異號時，可用開平方法求解，如題(1)。若

a/o,b/0,c=0時，可用因式法求解，如題(2)o式法求解，配方法做為一種重要的數(shù)學

方法，也應掌握，如題(3).而有一些一元二次方程有較明顯的特征時，不一定都要化成一

般式，如題(4)。方程(x-2)(4x+1)=(x?1)(x-2)不必展開整理成一般式，因為方程兩

邊都有(x-2),移項后提取公因式，得仇-2)[(4*+1)-僅-1)]=0,用因式分解法求解，

2

得x=2,x=對于這樣的方程，一定注意不能把方程兩邊同時除以(x?2),這回丟

123

掉一個根x=2。也就是方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的整式.

【基礎訓練】

2X-X2=0的根是，方程(x-5)2-36=0