數(shù)學(xué)（三）-2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺攻略（解析版）

第三輯幾何圖形的初步認(rèn)識(shí)…………01三角形…………………………20四邊形…………………………45圓………………81尺規(guī)作圖………………………1140101幾何圖形的初步認(rèn)識(shí)考點(diǎn)考情分析幾何體的展開圖考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會(huì)出現(xiàn)。題目會(huì)越來越多地以實(shí)際生活中的物體為背景。直線﹑射線和線段考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會(huì)出現(xiàn)。在選擇題?？疾閷?duì)直線、射線、線段概念的理解；填空題中可能會(huì)涉及根據(jù)線段的長(zhǎng)度關(guān)系求某條線段的長(zhǎng)度；在解答題中，通常會(huì)與三角形、四邊形等其他幾何圖形結(jié)合。相交線與平行線考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會(huì)出現(xiàn)。選擇題常考查對(duì)基本概念的理解和簡(jiǎn)單應(yīng)用；填空題可能涉及根據(jù)相交線所成角的關(guān)系求角度，或者利用平行線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度、角度等。

解答題一般不會(huì)單獨(dú)作為大題考查，通常會(huì)與三角形、四邊形等其他幾何圖形結(jié)合，在證明或計(jì)算過程中運(yùn)用到相交線與平行線的相關(guān)性質(zhì)和判定定理。角考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會(huì)出現(xiàn)。角的知識(shí)會(huì)越來越多地與其他幾何知識(shí)(如三角形、四邊形、圓、相似形等)以及代類知識(shí)(如函數(shù)、方程等)綜合考查，形成綜合性較強(qiáng)的題目，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力考查分值：分值在3-9分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空和解答題均有。命題趨勢(shì)：幾何初步知識(shí)是中考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)考點(diǎn)，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2025年及今后各地中考仍會(huì)出現(xiàn)。知識(shí)點(diǎn)1：幾何體的展開圖幾何圖形的概念:我們把實(shí)物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形,幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫做立體圖形.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個(gè)圖形叫做平面圖形.正方體展開圖（共計(jì)11種）：口訣：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意,2）“三個(gè)二”成階梯,3）“二個(gè)三”“日”相連,異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規(guī)律，運(yùn)用定自如.幾何圖形的組成：1）點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形最基本的圖形.2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.4）體：幾何體也簡(jiǎn)稱體.組成幾何圖形元素的關(guān)系：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.知識(shí)點(diǎn)2：直線﹑射線和線段重點(diǎn)：1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)間線段最短知識(shí)點(diǎn)3：平行線

平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示.平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行．判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合.平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.知識(shí)點(diǎn)4：角

1.角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°2.角的表示方法：角的表示圖例適用范圍注意事項(xiàng)用三個(gè)大寫字母表示記作：∠ABC或∠CBA任何情況都適用表示頂點(diǎn)的字母一定要寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).用一個(gè)大寫字母表示記作：∠O1）以這個(gè)字母為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)；2）當(dāng)在一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)或兩個(gè)以上的角時(shí),其中的任意一個(gè)角都不能用一個(gè)大寫英文字母表示.用一個(gè)數(shù)字表示任何情況都適用在靠近頂點(diǎn)處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫的希臘字母用一個(gè)希臘字母表示3.角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.度、分、秒的運(yùn)算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（136001周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比較：1）疊合法：使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，比較另一邊的位置；2）度量法：分別用量角器測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的大小，再進(jìn)行比較.4.角的平分線的概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.【性質(zhì)】①若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．5.余角的概念：如果兩個(gè)角的和等于直角，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的余角.6.補(bǔ)角的概念：如果兩個(gè)角的和等于平角，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的補(bǔ)角.【性質(zhì)】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補(bǔ)角相等.真題1（2024·江蘇常州·中考真題）下列圖形中，為四棱錐的側(cè)面展開圖的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)棱錐的側(cè)面展開圖的特征即可得到答案．【詳解】解：棱錐的側(cè)面是三角形，故四棱錐的側(cè)面展開圖的是故選：B．真題2（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°A．40° B．36° C．35° D【答案】C【分析】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵AD∴∠ABC=180°-∠A∵BD平分∠∴∠DBC∴∠D故選：C真題3（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力F1、F2，則F1的力臂OA大于F2的力臂A．垂線段最短B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．兩點(diǎn)確定一條直線D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點(diǎn)，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過點(diǎn)O有OB⊥AB，進(jìn)而利用垂線段最短得到【詳解】解：∵過點(diǎn)O有OB⊥∴O即得到F1的力臂OA大于F2的力臂OB∴其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．真題4（2024·廣西·中考真題）如圖，2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角為（

）A．20° B．40° C．60° D．80°【答案】C【分析】本題考查了鐘面角，用30°乘以兩針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)鐘面的特點(diǎn)，鐘面平均分成12份，每份是30°，根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)，可得答案．【詳解】解：2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角是30°×2=60°，故選：C．真題5（2024·江西·中考真題）如圖是4×3的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】B【分析】此題主要考查了幾何體的展開圖，關(guān)鍵是掌握正方體展開圖的特點(diǎn)．依據(jù)正方體的展開圖的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：共有2種方法，故選：B．真題6（2024·山東青島·中考真題）如圖①，將邊長(zhǎng)為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長(zhǎng)為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，2的長(zhǎng)方體磚塊，切割掉長(zhǎng)、寬、高分別為4，1，1的長(zhǎng)方體，得到如圖④的“直角磚塊【答案】12144【分析】本題考查展開圖折疊成幾何體，最小公倍數(shù)等知識(shí)，先拼成一個(gè)基礎(chǔ)圖形（體），再根據(jù)正方形（體）的特征，即可解答．【詳解】解：先用2個(gè)圖②拼成一個(gè)長(zhǎng)為3，寬為2的長(zhǎng)方形，面積為6，∵2,3的最小公倍數(shù)是6，如圖，∴6個(gè)這樣的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)面積為36的正方形，此時(shí)邊長(zhǎng)為6，∴需圖②的個(gè)數(shù)：6×2=12（個(gè)）；同理用2個(gè)圖④拼成長(zhǎng)，寬，高分別為4,3,2的長(zhǎng)方體，用4×3=12個(gè)這樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)長(zhǎng)，寬，高為12，12，2的長(zhǎng)方體，用6個(gè)這樣的長(zhǎng)方體可以拼成長(zhǎng)，寬，高為12，12，12的正方體，此時(shí)需要：2×3×4×6=144（個(gè)）．故答案為：12；144．真題7（2024·福建·中考真題）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個(gè)禮品盒，如圖

圖1

圖2

圖3(1)直接寫出ADAB(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（

）圖4A．

B．C．

D．(3)卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價(jià)（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長(zhǎng)為10cm的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計(jì)方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）【答案】(1)2；(2)C；(3)見解析．【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由折疊和題意可知，GH=AE+FB，AH=DH，四邊形（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；（3）由題意可得，每張型號(hào)Ⅲ卡紙可制作10個(gè)正方體，每張型號(hào)Ⅱ卡紙可制作2個(gè)正方體，每張型號(hào)Ⅰ卡紙可制作1個(gè)正方體，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：上述圖形折疊后變成：由折疊和題意可知，GH=AE+∵四邊形EFNM是正方形，∴EM=EF，即∴GH+AG=∵AH=∴ADAB∴ADAB的值為：2（2）解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對(duì)應(yīng)面上，“祥”和“意”在對(duì)應(yīng)面上，而對(duì)應(yīng)面上的字中間相隔一個(gè)幾何圖形，且字體相反，∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．（3）解：卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費(fèi)用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長(zhǎng)為5cm，則要制作一個(gè)邊長(zhǎng)為10∴型號(hào)Ⅲ卡紙，每張卡紙可制作10個(gè)正方體，如圖：型號(hào)Ⅱ卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個(gè)正方體，如圖：型號(hào)Ⅰ卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個(gè)正方體，如圖：∴可選擇型號(hào)Ⅲ卡紙2張，型號(hào)Ⅱ卡紙3張，型號(hào)Ⅰ卡紙1張，則10×2+2×3+1×1=27（個(gè)），∴所用卡紙總費(fèi)用為：20×2+5×3+3×1=58（元）．預(yù)測(cè)1（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一束平行于主光軸的光線AB經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線BF與一束經(jīng)過光心O的光線CD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為凸透鏡的焦點(diǎn)．若∠ABF=145°，∠COE=30°，則A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)P作GP∥AB，利用平行線的性質(zhì)推出∠ABF【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作GP∥∵GP∥∴∠ABF∴∠GPB∵GP∥AB∴GP∴∠CPG∴∠BPC∴∠DPF故選：C．預(yù)測(cè)2（2025·陜西商洛·一模）若∠A的度數(shù)為27°23'，則∠A．152°37' B．152°77' C．【答案】A【分析】本題主要考查了求一個(gè)角的補(bǔ)角度數(shù)，角度的計(jì)算．根據(jù)度數(shù)之和為180度的兩個(gè)角互補(bǔ)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵∠A的度數(shù)為27°2∴∠A的補(bǔ)角的度數(shù)為180°-27°2故選：A預(yù)測(cè)3（2025·河北石家莊·一模）如圖，C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西35°方向，則∠ACB的度數(shù)是（

A．35° B．50° C．85° D．90°【答案】C【分析】本題考查了方位角，平行線的性質(zhì)，理解圖示，掌握方位角的含義，平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)題意，AD∥BE,∠DAC=50°,∠EBC=35°，如圖所示，過點(diǎn)C【詳解】解：根據(jù)題意，AD∥如圖所示，過點(diǎn)C作CF∥AD，則∴∠ACF∴∠ACB故選：C．預(yù)測(cè)4（2025·山東菏澤·一模）一副三角板按如圖方式擺放，∠A=∠B=45°，∠C=60°，∠DA．45° B．50° C．60° D．75°【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠D【詳解】解：∵AB∥∴∠BED∴∠1=∠B故選：D．預(yù)測(cè)5（2025·山東臨沂·一模）抖空竹是我國(guó)傳統(tǒng)體育項(xiàng)目，如圖，某一時(shí)刻對(duì)空竹進(jìn)行受力分析，抖線給空竹的拉力為F1和F2，空竹受到的重力為G，方向豎直向下，若∠1=20°,∠2=130°，則∠3的度數(shù)為（A．70° B．85° C．90° D．80°【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，幾何圖形的角度運(yùn)算，先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得∠4=160°,再結(jié)合∠3+∠2+∠4=360°，代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．【詳解】解：如圖所示：∵TY∥∴∠4+∠1=180°，∵∠1=20°,∴∠4=160°,∵∠3+∠2+∠4=360°，∠2=130°，∴∠3=360°-130°-160°=70°，故選：A．預(yù)測(cè)6（2025·河北唐山·一模）如圖，正方體展開圖的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，則原正方體的表面上，“心”字對(duì)面的字是（

）A．?dāng)?shù) B．學(xué) C．素 D．養(yǎng)【答案】B【分析】本題主要考查了正方體相對(duì)兩面上的文字，熟記正方形的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形這一特性是解題的關(guān)鍵．正方形的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答即可．【詳解】解：正方形的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，“數(shù)”和“養(yǎng)”是相對(duì)面；“學(xué)”和“心”是相對(duì)面；“核”和“素”是相對(duì)面．故選B．預(yù)測(cè)7（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）將邊長(zhǎng)為4的正方形做成如圖1所示的七巧板，將圖1中的七巧板拼成如圖2所示的“天鵝”，則圖2中AB的長(zhǎng)為．

【答案】4-【分析】題目主要考查正方形的性質(zhì)，解三角形，理解題意，找出各邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意得出LG=KI=12【詳解】解：如圖所示：根據(jù)題意得LG=KI=∴IJ=∴AB=故答案為：4-2押題1如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊，A，D兩點(diǎn)分別與A',D'對(duì)應(yīng)，若∠1=2∠2A．60° B．65° C．75° D．72°【答案】D【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)推出∠AEF【詳解】解：∵長(zhǎng)方形紙片ABCD∴AB∥∴∠1=∠AEF由折疊的性質(zhì)得出∠AEF∵∠1=2∠2，∴∠AEF∵∠AEF∴2∠2+2∠2+∠2=180°，∴∠2=36°．∴∠AEF故選：D．押題2淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（

）

A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向【答案】D【分析】根據(jù)方向角的定義可得答案．【詳解】解：如圖：∵西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向．

故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查方向角，理解方向角的定義是正確解答的關(guān)鍵．押題3下圖是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，體育杜老師在測(cè)量小明同學(xué)的體育成績(jī)時(shí)，選取測(cè)量線段CD的長(zhǎng)度，其依據(jù)是（）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)之間線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線D．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】A【分析】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂線段最短作答即可．【詳解】他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段CD的長(zhǎng)度，這樣測(cè)量的依據(jù)是垂線段最短．故選：A．押題4如圖是每個(gè)面上都有一個(gè)漢字的正方體的一種展開圖，那么在正方體的表面，與“國(guó)”相對(duì)的面上的漢字是（）A．誠(chéng) B．信 C．友 D．善【答案】B【分析】正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答．【詳解】解：這是一個(gè)正方體的平面展開圖，共有六個(gè)面，其中面“誠(chéng)”與面“友”相對(duì)，面“愛”與面“善”相對(duì)，面“信”與面“國(guó)”相對(duì)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念是解決此類問題的關(guān)鍵．押題5如圖，CD是∠ECB的平分線，且CD∥AB，∠B=40°A．30° B．40° C．50°【答案】B【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可解答．【詳解】解：∵CD是∠∴∠ECD∵CD∥AB，∠∴∠B∴∠ECD故選：B．押題6如圖所示，∠AOD=∠BOC，若∠AOB=100°A．100° B．40° C．30° D．25°【答案】C【分析】通過∠AOD=∠BOC【詳解】解：∵∠AOD∴∠AOC∴∠AOC∵∠AOC∴∠AOC∴∠BOD故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，能夠得到角度關(guān)系是解題關(guān)鍵．押題7如圖是8：00時(shí)的時(shí)針及分針的位置，則此時(shí)分針與時(shí)針?biāo)傻摹夕?【答案】120【分析】利用鐘表中各整數(shù)間隔將表盤平分，及刻度擺放位置，得到間隔數(shù)，計(jì)算得到圓心角．【詳解】8:00時(shí)，∠α的時(shí)針指到8，分針指到12∴∠α兩邊之間有4∵整個(gè)鐘表有12個(gè)間隔，∴∠α故答案為120．【點(diǎn)睛】本題考查鐘表時(shí)刻中圓心角的計(jì)算，利用間隔均分和周角為360°，按照比例進(jìn)行計(jì)算．押題8七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，且邊長(zhǎng)為4，那么陰影部分面積為．

【答案】3【分析】將正方形ABCD的面積分成16等份，看陰影部分占幾份即可．【詳解】解：如圖所示，正方形ABCD的面積可以分成16等份，

其中△BJE占1份，平行四邊形HPFD占2∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴S正方形∴S故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查七巧板相關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分所占面積與正方形面積之比．0202三角形考點(diǎn)考情分析三角形的基本概念和性質(zhì)選擇題?？疾閷?duì)三角形基本概念的理解；填空題可能涉及三角形的重要線段(如中線、高線、角平分線)的性質(zhì)應(yīng)用，以及根據(jù)三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角度；解答題常與其他幾何知識(shí)綜合考查。全等三角形選擇題?？疾閷?duì)三角形基本概念的理解；填空題可能涉及三角形的重要線段(如中線、高線、角平分線)的性質(zhì)應(yīng)用，以及根據(jù)三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角度；解答題常與其他幾何知識(shí)綜合考查，如三角形與四邊形、圓的結(jié)合，或在實(shí)際問題中運(yùn)用三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。勾股定理及逆定理選擇題?？疾閷?duì)勾股定理及其逆定理的基本理解和簡(jiǎn)單應(yīng)用；填空題可能涉及利用勾股定理求線段長(zhǎng)度，或根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角形形狀后求相關(guān)度等；解答題常與其他幾何知識(shí)綜合考查，如與三角形全等、相似、四邊形等知識(shí)結(jié)合。也會(huì)在實(shí)院?jiǎn)栴}情境中，要求考生運(yùn)用勾股定理及逆定理來解決問題，如考查分值：三角形相關(guān)內(nèi)容的分值大約在15-25分左右，占總分的12.5%-20.8%。。考查形式：選擇題:通常有1-2道題考查三角形，每題分值3-4分，共3-8分。

填空題:可能有1-2道題與三角形有關(guān)，每題分值3-4分，共3-8分。解答題:會(huì)有1-2道大題涉及三角形，分值一般在8-12分左右。如果是綜合性很強(qiáng)的壓軸題分值可能會(huì)更高。命題趨勢(shì)：更加注重與實(shí)際生活的聯(lián)系，以實(shí)際問題為背景，考查學(xué)生運(yùn)用三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合運(yùn)用，將三角形與其他數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)、方程、圓等進(jìn)行深度融合，考查學(xué)生的綜合分析和解決問題的能力；對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求提高，在證明軍答題中，需要學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，能夠清晰地寫出推理過程和證明步驟。知識(shí)點(diǎn)1：三角形的性質(zhì)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系定理及推論的應(yīng)用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．知識(shí)點(diǎn)2：三角形的重要線段重要線段概念圖形性質(zhì)三角形

的高從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）．∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形

的中線在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADCC三角形的角平分線三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12三角形的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線∵DE是?ABC的中位線∴AD=DBAE=ECDE=12BCDE重心三角形三條中線交點(diǎn)1）重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2）重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

3)重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。垂心三角形三條高交點(diǎn)1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。3）三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6組四點(diǎn)共圓.4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短.知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的性質(zhì)和判定全等三角形的性質(zhì)：1）對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高相等．3）全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等．全等三角形的判定1.邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；2.邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；3.角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；4.角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）；5.對(duì)于特殊的直角三角形：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．

常見的全等三角形模型（基礎(chǔ)）常見的全等三角形模型（基礎(chǔ)）平移模型模型分析：此模型特征是有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動(dòng)的方向上加（減）公共線段，構(gòu)造線段相等，或利用平行線性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角相等．對(duì)稱模型模型分析：所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，解題時(shí)要注意隱含條件，即公共邊或公共角相等．一線三垂直/一線三等角模型解讀：一線：經(jīng)過直角頂點(diǎn)的直線；三垂直：直角兩邊互相垂直，過直角的兩邊向直線作垂直，利用“同角的余角相等”轉(zhuǎn)化找等角旋轉(zhuǎn)模型模型解讀：將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形．旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形存在兩種情況：①無重疊：兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，無重疊部分，一般有一對(duì)隱含的等角；②有重疊：兩個(gè)三角形含有一部分公共角，運(yùn)用角的和差可得到等角．真題1（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)S△ABC=12和AD=4求出【詳解】解：∵S△ABC=∴BC∵AE是中線，∴BE故選：B真題2（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DAA．100° B．115° C．130° D．145°【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠C【詳解】解：∵AB=AC，∴∠C∵DA⊥∴∠CAD∴∠ADB故選：B真題3（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則A．45° B．39° C．29° D．21°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EBC+∠DCB=180°，從而可得∠【詳解】解：∵l∥∴∠EBC即∠EBA∵△ABC∴∠ABC又∵∠ABE∴21°+60°+60°+∠ACD∴∠ACD故選：B．真題5（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，A．18 B．92 C．9 D．【答案】C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及AE=CF得出△ADE≌△CDF【詳解】解：連接AD，如圖：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，點(diǎn)∴∠∴△ADE∴S又∵S△∴S故選：C真題5（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BC，BA于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)F．已知CF【答案】3【分析】本題考查了作圖-基本作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)基本作圖可判斷BF平分∠ABC，過F作FG⊥AB于G，再利用角平分線的性質(zhì)得到GF=CF=3，根據(jù)勾股定理求出AG=AF2-FG2=52【詳解】解：過F作FG⊥AB于由作圖得：BF平分∠ABC，F(xiàn)G⊥AB∴GF=在Rt△AFG中根據(jù)勾股定理得：∵FG=CF∴Rt∴BG設(shè)BG=BC=x，則在Rt△AC即：82解得：x=6∴BC在Rt△BCF中根據(jù)勾股定理得：故答案為：35真題6（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是AB的中點(diǎn)，CD=BE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使【答案】AD=CE【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理，是解決問題的關(guān)鍵．要使△ACD≌△CBE，已知AC=BC，CD=BE，則可以添加一對(duì)邊AD【詳解】解：∵C是AB的中點(diǎn)，∴AC=∵CD=∴添加AD=CE或可分別根據(jù)SSS、SAS判定故答案為：AD=CE或真題7（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，∠C=∠D

(1)求證：△ABC(2)若∠DAB=70°，則∠【答案】(1)答案見解析(2)20【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用AAS即可證得△ABC（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DBA的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出∠【詳解】（1）證明：在△ABC和△∠C∴△ABC（2）解：∵∠DAB=70°，∴∠DBA由（1）知△ABC∴∠CAB故答案為：20．真題8（2024·山東東營(yíng)·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是______，AD與BE的位置關(guān)系是(2)類比探究將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與（1）中結(jié)論是否一致？若AD交CE于點(diǎn)N，請(qǐng)結(jié)合圖(3)遷移應(yīng)用如圖3，將△CAB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CDE，當(dāng)點(diǎn)D落到AB邊上時(shí)，連接BE，求線段【答案】(1)BE=3AD(2)一致；理由見解析(3)BE【分析】（1）延長(zhǎng)DA交BE于點(diǎn)H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出CD=AC=1，CE=BC=3，∠ACD=∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理得出（2）延長(zhǎng)DA交BE于點(diǎn)H，證明△ACD∽△BCE，得出ADBE=（3）過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AN=ND=12AD，根據(jù)勾股定理得出AB=12【詳解】（1）解：延長(zhǎng)DA交BE于點(diǎn)H，如圖所示：∵將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△∴CD=AC=1，CE∴根據(jù)勾股定理得：AD=12∴BE=3∵CD=AC，CE=∴∠ADC=∠DAC∴∠BHD∴AD⊥（2）解：線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與（1）中結(jié)論一致；理由如下：延長(zhǎng)DA交BE于點(diǎn)H，如圖所示：∵將△CAB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△∴CD=AC=1，CE=BC∴ACBC∴△ACD∴ADBE=AC∴BE=3又∵∠ENH=∠CND，∠∴∠EHN∴AD⊥（3）解：過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：AC=∴AN=∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴根據(jù)勾股定理得：AB=∵∠ANC=∠ACB∴△ACN∴ANAC即AN1解得：AN=∴AD=2根據(jù)解析（2）可知：BE=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．預(yù)測(cè)1（2025·陜西寶雞·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，三角形中位線的性質(zhì)，正確理解和運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中位線得出DE=12AC，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別是邊∴DE在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)∴BF∴BF故選：A．預(yù)測(cè)2（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC=45°，若BE=22A．22 B．23-2 C．【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，先求出ED=BD=2，再由勾定理求出AD【詳解】解：∵AD⊥∴∠又∠EBC∴∠BED∵BE=2∴BD∵△ABC是等邊三角形，且AD∴BC∴AB=4∴AD=∴AE=故選：B．預(yù)測(cè)3（2025·福建·一模）如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，連接CE，若S△BCE=2【答案】4【分析】本題考查了三角形的中線與面積，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得S△ABD=【詳解】解：∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE=∴S△∵S△∴S△∵在△ABC中，BD是AC∴S△故答案為：4．預(yù)測(cè)4（2025·吉林四平·二模）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫弧分別交AB，BC邊于點(diǎn)P，Q，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，以大于12PQ為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接BM交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作ED∥BC交AB于點(diǎn)D，若AB=12，【答案】18【分析】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)題意得BE平分∠ABC【詳解】解：由題意得：BE平分∠ABC∠ABE∵ED∥∴∠DEB∴∠ABE∴DE=∴AD+故答案為：18．預(yù)測(cè)5（2025·湖南岳陽·一模）如圖，一根豎直的木桿在離地面1m的A處折斷，木桿頂端落在地面的B處上，與地面的夾角為α，若α=30°，則木桿折斷之前高度為【答案】3【分析】本題考查了含30°角的直角三角形，由題意可知∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1【詳解】解：由題意可知，∠ACB=90°，∠ABC∴AB=2∴木桿折斷之前高度為：AC+故答案為：3．預(yù)測(cè)6（2025·江蘇常州·一模）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，已知AB=DE，BF=(1)求證：AC=(2)分別連接AE、BD，則AE與BD的關(guān)系為________．【答案】(1)見解析(2)平行且相等【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）先證明BC=EF，再結(jié)合SAS證明（2）證明結(jié)合SAS證明△ABE≌△DEB，即可得出AE=DB【詳解】（1）證明：∵∴∴在△ABC和△AB∴△∴AC（2）如圖，連接AE、BD，AE與BD的關(guān)系為平行且相等．在△ABE和△AB∴△∴AE=DB∴AE故AE與BD的關(guān)系為平行且相等．預(yù)測(cè)7（2025·江蘇無錫·二模）如圖，點(diǎn)C在線段AD上，AB=AD，∠B(1)求證：△ABC(2)若∠BAC=62°，求【答案】(1)見解析(2)59°【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABC（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAE，AC=AE本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵在△ABC和△AB=AD∴△ABC（2）解：∵△ABC∴∠BAC=∠DAE∴∠ACE∵∠BAC∴∠ACE預(yù)測(cè)8（2025·貴州黔東南·一模）閱讀材料，并解決問題：【思維指引】（1）如圖1等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB解決此題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)△ACP'≌△ABP，連接P'P，借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以推導(dǎo)出【知識(shí)遷移】（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF=45°，請(qǐng)判斷【方法推廣】（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，點(diǎn)P為△ABC【答案】（1）等邊；150；（2）EF2=B【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PB=P'B,PC=P'C'，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得PP'=2【詳解】解：（1）∵△AC∴AP=AP'依題意得旋轉(zhuǎn)角∠PA∴△PA∴PP'∴P∴△P'PC∴∠APB故答案為：等邊；150；（2）EF如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE，CE'=∵∠EAF∴∠E∴∠EAF在△EAF和△AE=∴△EAF∴E∵∠CAB=90°，∴∠B∴∠E由勾股定理得，E'即EF（3）如圖，在△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：PB=∵∠PB∴P∴PA∴當(dāng)A，P，P'，C'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+2如圖，過點(diǎn)A作BC'垂線交C'∵∠ABC∴∠BAD∴BD=1又∵B∴C∴A【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．押題1如圖，過邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CQ=PA，連接PQ交AC于點(diǎn)DA．1 B．32 C．2 D．【答案】B【分析】作PF∥BC交AC于點(diǎn)F，利用等邊三角形的性質(zhì)和三線合一可得△APF是等邊三角形、PE是△APF的中線，則有AE=EF=12AF、PA=PF=【詳解】作PF∥BC交AC于點(diǎn)∵△ABC是等邊三角形，∴∠A∵PF∴∠APF∴△APF∴PA又∵PE∴PE是△∴AE∵CQ∴PF∵∠AFP∴∠PFD∵在△PFD和△∠∴△PFD∴DF∴DE故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等邊三角形的性質(zhì)與判定、三線合一、全等三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)判定全等后求DE的長(zhǎng)．押題2如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE=4，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，A．9 B．10 C．53 D．【答案】C【分析】作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接PE、E'P、PF，當(dāng)E'、P、F三點(diǎn)共線，E'F⊥AB時(shí)，此時(shí)EP+FP本題主要考查了將軍飲馬、垂線段最短、以及勾股定理。熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E'，過E'作E'F⊥AB交AB于點(diǎn)連接PE，則PE=∴EP+當(dāng)E'、P、F三點(diǎn)共線，且E'F∵△ABC∴∠B∵E'∴∠F∴BE∵BF=5，BE=4∴E'在Rt△BF∴EP+FP故選：C．押題3如圖，在△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為

【答案】5【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠ADC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴DE=12AC=5故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．押題4如圖△ABC≌△DEF，EF=BC，AB=DE，AD=20，F(xiàn)C=10，則AF=【答案】5【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF，進(jìn)而可得AF=DC，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，∴AF=DC，∵AD=20，F(xiàn)C=10，∴AF=故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．押題5如圖，要為一段高為5米，長(zhǎng)為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要米．【答案】17【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，地毯的長(zhǎng)度實(shí)際是所有臺(tái)階的寬加上臺(tái)階的高，因此利用勾股定理求出水平距離即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，樓梯水平長(zhǎng)度為132則紅地毯至少要12+5=17米長(zhǎng)，故答案為：17．押題6如圖，A、E、B、D在同直線上，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，AC∥DF.求證：△ABC≌△DEF【答案】見解析【分析】欲證兩三角形全等，已經(jīng)有兩個(gè)條件，只要再有一個(gè)條件就可以了，而AC∥DF可以得出∠CAB=∠D，條件找到，全等可證．【詳解】證明：∵AC∥DF，∴∠CAB=∠D，又∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定；要牢固掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)．押題7（1）如圖1，△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，若AB=6，AC=4解：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD=將△ACD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△即得△ACD≌△EBD，且A，D在△ABE中，可得AE6-4<AE∴AD的取值范圍是：．（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∠MDN=90°，∠MDN的兩邊分別交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接EF．探究線段【答案】（1）1<AD<5；（【分析】（1）結(jié)合解題步驟及AD=12（2）將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△CDG，連接FG，即得△BDE≌△CDG，從而得出BE【詳解】解：（1）∵△ACD∴AD∴AE=2又∵6-4<AE∴2<2AD<10，即故答案為：1<AD（2）∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD=將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△CDG，連接FG，即得∴BE=CG，∠B=∠DCG，ED=DG∵在△ABC中，∠∴∠B∴∠DCG+∠ACB∵ED=DG，且∴DF垂直平分EG，∴EF∵在Rt△CGF中，∴CF∴CF【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)得到構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．押題8綜合與實(shí)踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】(1)∠(2)證明見解析.【分析】（1）△ABC和ΔA1（2）證明△ABC是等腰直角三角形即可【詳解】（1）解：∠（2）證明：連接AC，

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則AC=BC=∵A∴△ABC∵A1∴△A∴∠ABC故∠【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．0303四邊形考點(diǎn)考情分析多邊形及其內(nèi)角和選擇題常考查多邊形內(nèi)角和公式、外角和定理的直接應(yīng)用，或者結(jié)合正多邊形的性質(zhì)，求多邊形的邊數(shù)、內(nèi)角度數(shù)或外角度數(shù)等；填空題可能會(huì)涉及根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角和的關(guān)系，求多邊形的邊數(shù);或者在一些幾何圖形的組合中，利用多邊形內(nèi)角和定理求某個(gè)角的度數(shù)；解答題:一般不會(huì)單獨(dú)考查，通常會(huì)與三角形、四邊形等其他幾何圖形綜合出現(xiàn)。平行四邊形選擇題:?？疾槠叫兴倪呅蔚幕拘再|(zhì)；填空題可能涉及利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度、角度大小或面積等；解答題通常會(huì)與三角形全等、相似、解直角三角形等知識(shí)綜合考查。特殊平行四邊形選擇題?？疾樘厥馄叫兴倪呅蔚幕拘再|(zhì)和判定定理的直接應(yīng)用；填空題可能涉及利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度、角度大小或面積等；解答題通常會(huì)與三角形全等、相似、解直角三角形以及函數(shù)等知識(shí)綜合考查?？疾榉种担?0-20分左右，占總分的8%-17%左右，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異。考查形式：選擇題:通常會(huì)有1-2道題考查四邊形，每題分值在3-4分左右，共計(jì)3-8分。填空題:也可能出現(xiàn)1-2道與四邊形有關(guān)的題目，每題分值一般為3-5分，大約共3-10分。解答題:如果有解答題考查四邊形，通常會(huì)是一道，分值在8-12分左右。命題趨勢(shì)：在選擇題和填空題中，可能會(huì)出現(xiàn)一些小巧靈活的題目，直接考查四邊形的基本性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用，或者通過簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理來求解四邊形中的相關(guān)量。解答題的難度可能會(huì)有所增加，綜合性更強(qiáng)。除了傳統(tǒng)的證明和計(jì)算外，可能會(huì)出現(xiàn)一些探究性問題、開放性問題或?qū)嶋H應(yīng)用問題。

知識(shí)點(diǎn)1：多邊形的相關(guān)概念

多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.

多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n(多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）.【高分技巧】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān).正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【高分技巧】1）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為（n-22）正n邊形有n條對(duì)稱軸．3）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．知識(shí)點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)和判定

平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號(hào)“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：1)對(duì)邊平行且相等；2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對(duì)角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心.【高分技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng)．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【高分技巧】一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時(shí)，可用“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時(shí)，可選擇“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對(duì)角線時(shí)，可選擇“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明

知識(shí)點(diǎn)3：三角形的中位線

三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行.數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系.常用結(jié)論：任意一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半.結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形.結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形.結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分.結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等.知識(shí)點(diǎn)4：矩形的性質(zhì)和判定

矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個(gè)角都是直角；3）對(duì)角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.矩形的對(duì)稱中心是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)；矩形有兩條對(duì)稱軸，矩形的對(duì)稱軸是過矩形對(duì)邊中點(diǎn)的直線；矩形的對(duì)稱軸過矩形的對(duì)稱中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.【高分技巧】

要證明一個(gè)四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個(gè)角是直角來直接證明．知識(shí)點(diǎn)5：菱形的性質(zhì)和判定

菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.4）菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，菱形的對(duì)稱中心是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形的對(duì)稱軸是菱形對(duì)角線所在的直線，菱形的對(duì)稱軸過菱形的對(duì)稱中心.菱形的判定：1）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對(duì)角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對(duì)角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對(duì)角線乘積的一半（其中a為邊長(zhǎng)，h為高）.菱形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)l=4a（其中a為邊長(zhǎng)）.

知識(shí)點(diǎn)6：正方形的性質(zhì)和判定

正方形的定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

正方形的性質(zhì)：1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.3）正方形對(duì)邊平行且相等.4）正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

5）正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.【補(bǔ)充】正方形對(duì)角線與邊的夾角為45°.正方形的判定：1）平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角；2）矩形+一組鄰邊相等；3）矩形+對(duì)角線互相垂直；4）菱形+一個(gè)角是直角；5）菱形+對(duì)角線相等.【高分技巧】

判定一個(gè)四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角為直角和一組鄰邊相等．正方形的面積公式：a2＝對(duì)角線乘積的一半=2S△ABC=4S△AOB.正方形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)=4a真題1（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點(diǎn)P是邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)A．132 B．6013 C．125【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、矩形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的面積的不同求法，題目難度不大，設(shè)計(jì)很新穎，解題的關(guān)鍵是求DE的最小值轉(zhuǎn)化為其相等線段CP的最小值．連接CP，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：DE=CP，當(dāng)DE最小時(shí)，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CP⊥AB時(shí)，則【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°∴AB連接CP，如圖所示：∵PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥CB于點(diǎn)∴∠PDC∴四邊形DPEC是矩形，∴DE當(dāng)DE最小時(shí)，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CP⊥AB時(shí)，則∴此時(shí)DE=故選：B．真題2（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=【答案】81【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等．先根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式求出∠BCD，進(jìn)而求出∠BCH，最后根據(jù)【詳解】解：∵正五邊形ABCDE中，∠BCD=15正方形CDFH中，∠HCD=90°，∴∠BCH=∠BCD∴∠BHC∴∠BHC故答案為：81．真題3（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿邊EF折疊，使點(diǎn)D在邊BC中點(diǎn)M處．若AB=4，BC=6【答案】78/【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理列出關(guān)于x的方程．由矩形的性質(zhì)推出CD=AB=4，∠C=90°，由線段中點(diǎn)定義得到CM=12BC【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，∴CM=由折疊的性質(zhì)得到：MF=設(shè)FC=∴FD=4-∴MF=4-∵M(jìn)F∴4-x∴x=∴FC=故答案為：78真題4（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，連接EA、(1)求證：△EAB(2)若∠AEC=45°，求證：【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，理解角與角之間的關(guān)系，熟練找出△EAB和△（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明AB=（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，求出∠CED和∠【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB在△EAB和AB=∴△EAB（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BDC∵△EAB∴∠CED∵∠BDC∴∠DCE∴∠CED∴DC真題5（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若AB=BO，當(dāng)∠ABE等于多少度時(shí)，四邊形ABCD【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)∠ABE=30°時(shí)，四邊形ABC【分析】（1）先證明AB∥CD得到∠EAB=∠FCD，再由垂線的定義得到∠AEB=∠（2）當(dāng)∠ABE=30°時(shí)，四邊形ABCD是矩形，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BAO=60°，則可證明△AOB是等邊三角形，得到OA=OB，進(jìn)而可證明AC【詳解】（1）證明：∵∠ABD∴AB∥∴∠EAB∵BE⊥AC，∴∠AEB又∵BE=∴△AEB∴AB=又∵AB∥∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：當(dāng)∠ABE=30°時(shí)，四邊形∵BE⊥∴∠AEB∵∠ABE∴∠BAO又∵AB=∴△AOB∴OA=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=∴OB=∴AC=∴四邊形ABCD是矩形，即當(dāng)∠ABE=30°時(shí)，四邊形∴∠ABC∴在Rt△ABC中，【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知平行四邊形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．真題6（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實(shí)踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個(gè)矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC(2)探究與證明：探究將任意一個(gè)四邊形剪開拼成一個(gè)平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，E、F、G、①通過操作得出：AE與EB的比值為______．②證明：四邊形OJKL為平行四邊形．(3)實(shí)踐與應(yīng)用：任意一個(gè)四邊形能不能剪開拼成一個(gè)矩形？若能，請(qǐng)將四邊形ABCD剪成4塊，按圖5的方式補(bǔ)全圖6，并簡(jiǎn)單說明剪開和拼接過程．若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)△(2)①1；②見詳解(3)見詳解【分析】（1）由“角角邊”即可證明；（2）①由操作知，將四邊形EBFO繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形EAQL，故AE=BE，因此AEBE（3）取AB,BC,CD,DA為中點(diǎn)為E,H,G,F，連接FH，過點(diǎn)E，點(diǎn)G分別作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足為點(diǎn)M,N，將四邊形EBHM繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形EAH'M'，將四邊形FDGN繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°至四邊形【詳解】（1）解：如圖，∵AB∥∴∠GAE由題意得E為AD中點(diǎn)，‘∴EA=ED∵∠AEG∴△故答案為：△EAG（2）解：①如圖，由操作知，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，將四邊形EBFO繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形EAQL，∴AE=∴AEBE故答案為：1；②如圖，由題意得，E、F、G、H是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，操作為將四邊形EBFO繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形則AQ=BF=∵∠DAB+∠B+∠C∴∠PAQ∵∠∴∠AQL∴K,Q,由操作得，∠2=∠L∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°，∴∠1+∠∴OJ∥∴四邊形OJKL為平行四邊形；（3）解：如圖，

如圖，取AB,BC,CD,DA為中點(diǎn)為E,H,G,F，連接FH，過點(diǎn)E，點(diǎn)G分別作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足為點(diǎn)M,N，將四邊形EBHM繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形EAH'M'，將四邊形FDGN繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°至四邊形FA由題意得，∠EMF=∠EMH∴∠N'∴N'由操作得，∠1=∠4,∠2=∠3，∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4=180°，∴N″同理N'∵∠N∴四邊形MM如圖，連接AC,∵E,H為∴EH∥同理FG∥∴FG∥∴∠EHM∵∠EMF∴△EHM∴EM=GN，∴FM由操作得，AH'=∴AH同理，AG∵∠BAD+∠D+∠C∴∠H∵四邊形MM∴N'∴N'∴MF∴NH=同理NG=∴四邊形NGCH能放置左上方空出，∴按照以上操作可以拼成一個(gè)矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形的中位線，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．真題7（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠(1)求證：AC=(2)點(diǎn)E在BC邊上，滿足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8【答案】(1)見解析(2)CE=5，【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)矩形的判定證明即可；（2）先利用勾股定理結(jié)合矩形的性質(zhì)求得AC=10，OB=OC．進(jìn)而可得CO=12AC=5，再根據(jù)等腰三角形的判定得到CE=CO=5，過點(diǎn)O【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，且∠ABC所以四邊形ABCD是矩形．所以AC=（2）解：在Rt△ABC中，AB=6所以AC=因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以CO=12因?yàn)椤螩EO=∠COE過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，則所以EF=在Rt△COF中，所以tan∠真題8（2024·山東泰安·中考真題）綜合與實(shí)踐為了研究折紙過程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結(jié)BG，EF與BG相交于點(diǎn)H．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即EFBG【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H都落在對(duì)角線BD上，折痕分別是BE和DF，將紙片展平，連結(jié)EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG∥CD，那么點(diǎn)G恰好是對(duì)角線BD的一個(gè)“黃金分劇點(diǎn)”【答案】（1）EFBG=AB【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖：作EM⊥BC于點(diǎn)M，再證△EMF∽△BCG（2）利用平行線分線段比例可得CDFG=BDBG，再說明GD=GF，進(jìn)而得到CDGD【詳解】解：（1）EFBG作EM⊥BC于點(diǎn)∵EF∴∠BHF∴∠FBH∵∠EMF∴∠MEF∴∠FBH又∵∠EMF∴△EMF∴EFBG∵ABCD是矩形，EM∴四邊形ABME是矩形．∴AB∴EF（2）同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)說法正確，理由如下，∵CD∴CDFG=由折疊知∠CDF∴∠DFG∴GD∴CD由平行四邊形及折疊知AB=BG，∴BG∴BG2=BD預(yù)測(cè)1（2025·陜西寶雞·一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OG⊥BC于GA．2 B．3 C．1 D．1【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BC=CD=4，∠C=60°，然后證明△BCD是等邊三角形，得出BD=【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠A∴AB=CD∴△BCD∴BD=BC=4∵點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴BO=∵OG⊥BC，∴∠BOG∴BG=故選：C．預(yù)測(cè)2（2025·安徽·二模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接AF，AC，則∠CAF的度數(shù)為（

A．15° B．18° C．20° D．24°【答案】B【分析】本題主要考查了正五邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的全等與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖：連接AD，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB=∠DAE=36°、【詳解】解：如圖：連接AD，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB=BC=∴△ABC∴AC=AD，∴∠CAD∵F是CD的中點(diǎn)，∴CF=∴∠CAF故選B．預(yù)測(cè)3（2025·安徽·一模）如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，OE與BC交于點(diǎn)F．若F為OE的中點(diǎn)，BCAB=34，則A．34 B．45 C．32【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，作OG⊥AB，先設(shè)BC=3a,AB=4a，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作OG⊥AB，交AB于點(diǎn)由BCAB=3∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=∴AG=∵∠OGB∴OG∥∴△EFB∴BEEG∴BE=根據(jù)勾股定理，得CE=∴CECD故選：D．預(yù)測(cè)4（2025·重慶·一模）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，E在CB的延長(zhǎng)線上，連接AE，AF，EF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接DG．若AE=AF，EB=14A．23 B．24 C．25【答案】C【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造三角形的中位線求解是解答的關(guān)鍵．先證明Rt△ABE≌Rt△ADFHL得到BE=DF，設(shè)BE=DF=x，則BC=CD=4x，則CE=5x【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=∴∠ABE=∠ADF∴Rt△∴BE=DF，設(shè)∵EB=∴BC=CD=4x，則取CF的中點(diǎn)H，連接GH，則FH=∵點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴GH為△EFC∴GH=12∴∠GHD在Rt△DHG中，∴DG=∴DFDG故選：C．預(yù)測(cè)5（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以BE為邊，在直線CE上方作正方形BEFG，連接DF，取DF的中點(diǎn)M，連接BM．若∠FMB=60°，則BE【答案】2【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)和勾股定理，連接BF,DB，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=2BC=62【詳解】解：連接BF,∵四邊形ABCD,∴∠GBF∴∠DBF∵M(jìn)是DF的中點(diǎn)，∴MF=∵∠FMB∴△FBM∴MF∴DF=2在Rt△DBF中，∴62∴BF=2∴BE=故答案為：23預(yù)測(cè)6（2025·浙江嘉興·一模）如圖，在正方形紙片ABCD中，點(diǎn)M，N分別是BC，AD上的點(diǎn)，將該正方形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)B落在CD的中點(diǎn)E處．若AB=4，則△【答案】3【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．由折疊的性質(zhì)得BM=EM，設(shè)BM=EM=【詳解】解：∵正方形紙片ABCD，AB=4∴AB=BC=由折疊的性質(zhì)知，BM=設(shè)BM=∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CE=在Rt△CEM中，EM=由勾股定理得CE∴22解得x=52∴△CEM的面積是1故答案為：32預(yù)測(cè)7（2025·浙江·二模）如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交直線DC(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說法，并進(jìn)行證明（選小波得4分，選小杭得2分）；(2)如圖2，若∠BAD=60°，四邊形CEGF是菱形，分別連結(jié)DB，DG，求【答案】(1)選小波，證明見解析（答案不唯一）(2)60°【分析】（1）選小波，證明∠DAE=∠CEF得出AD選小杭，證明∠DAE=∠BEA，得出AD（2）分別連接GB，GC，由菱形和平行四邊形的性質(zhì)證明△ECG是等邊三角形得EG=CG，∠GCE=∠CEG=∠EGC=60°【詳解】（1）選小波，證明：∵CE=∴∠CEF∵AB∥∴∠BAE∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E∴∠BAE∴∠DAE∴AD∥∴四邊形ABCD為平行四邊形；選小杭，證明：∵AB=∴∠BAE∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E∴∠BAE∴∠DAE∴AD∥∴四邊形ABCD為平行四邊形；（2）如圖，分別連接GB，GC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=∴∠ECF=120°，∵AB=∴DC=BE，∵四邊形CEGF是菱形，∴CE=CF=∴∠CEF=∠BEA∴△ECG∴∠EGC∴∠DCG∵∠CEG=60°，四邊形∴∠GEF∴∠BEG∴∠BEG∴△BEG∴