人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練專題18.21 平行四邊形最短路徑問題（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）（附答案）

/專題18.21平行四邊形最短路徑問題（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，在平行四邊形中，，，，點是折線上的一個動點(不與、重合)．則的面積的最大值是()A． B．1 C． D．2．如圖，已知?OABC的頂點A，C分別在直線x＝1和x＝4上，O是坐標(biāo)原點，則對角線OB長的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q兩點分別在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一點M．以A、P、Q、M為頂點畫平行四邊形，這個平行四邊形的周長的最大值為（）A．12 B． C． D．4．如圖，在平行四邊形中，，，，點、分別是邊、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（）A．1 B． C． D．5．如圖，?ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F為線段BD上兩動點（不與端點重合）且EF＝BD連接AE，CF，當(dāng)點EF運動時，對AE+CF的描述正確的是（）A．等于定值5﹣ B．有最大值C．有最小值 D．有最小值6．如圖，等邊中，，為中點，，為邊上動點，且，則的最小值是（）A． B． C． D．157．如圖，中，，，D為邊上一動點，E為平面內(nèi)一點，以點B、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，則的最小值為（

）A． B． C． D．48．如圖，在平行四邊形ABCD紙片中，∠BAD=45°，AB=10．將紙片折疊，使得點A的對應(yīng)點A＇落在BC邊上，折痕EF交AB、AD、AA＇分別于點E、F、G．繼續(xù)折疊紙片，使得點C的對應(yīng)點C＇落在A＇F上．連接GC＇，則GC＇的最小值為（

）A． B． C． D．9．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將直角邊AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′，連接BC′，E為BC′的中點，連接CE,則CE的最大值為(

).A． B． C． D．10．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊AB上的兩個動點，F(xiàn)是邊AC上的一個動點，DE＝，則CD+EF的最小值為(

)A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3二、填空題11．如圖,中，，，在的同側(cè)作正、正和正，則四邊形面積的最大值是______________．12．已知在中，，，點，分別在直角邊和上運動，，當(dāng)點到達(dá)點時，點停止運動，點為的中點，則的最小值為________．13．如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運動，且．連接，．則周長的最小值是______．14．如圖，在中，，，D是BC邊上任意一點，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．15．如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為

____________16．如圖，，，，，，射線交邊于點，點為射線上一點，以，為邊作平行四邊形，連接，則最小值為______．17．已知，在中，，點D為一動點，且，連接BD，點E為BD中點，則CE的最小值為______．18．如圖，在ABC中，，，AD平分交BC于點D，P為直線AB上一動點．連接DP，以DP、DB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DPQB，連接CQ，若．則CQ的最小值為______．三、解答題19．如圖①所示，是某公園的平面示意圖，、、、分別是該公園的四個入口，兩條主干道、交于點，請你幫助公園的管理人員解決以下問題：(1)若，，，公園的面積為；(2)在（1）的條件下，如圖②，公園管理人員在參觀了武漢東湖綠道后，為提升游客游覽的體驗感，準(zhǔn)備修建三條綠道、、，其中點在上，點在上，且（點與點、不重合），并計劃在與兩塊綠地所在區(qū)域種植郁金香，求種植郁金香區(qū)域的面積；(3)若將公園擴(kuò)大，此時，，，修建（2）中的綠道每千米費用為10萬元，請你計算該公園修建這三條綠道投入資金的最小值．20．在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補(bǔ)短”的方法來解決幾條線段之間的和差問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形中，，，若，求四邊形的面積．解：延長線段到E，使得，連接，我們可以證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，則，得，這樣，四邊形的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形面積．根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形的面積為cm2．如圖2，在中，，且，求線段的最小值．如圖3，在平行四邊形中，對角線與相交于O，且；，則是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此時平行四邊形的面積．21．（1）【問題探究】如圖，已知是的中線，延長至點E，使，連接，可得四邊形，求證：四邊形是平行四邊形．請你完善以下證明過程：∵是的中線∴______=______∵∴四邊形是平行四邊形（2）【拓展提升】如圖2，在的中線上任取一點M（不與點A重合），過點M、點C分別作，，連接．求證：四邊形是平行四邊形．（3）【靈活應(yīng)用】如圖，在中，，，，點D是的中點，點M是直線上的動點，且，，當(dāng)取最小值時，求線段的長．22．在△ABC中，P是BC邊上的一動點，連接AP．(1)如圖1，，，且．求：△ABP的面積．(2)如圖2，若，以AP為邊作等腰Rt△APE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點，連接AF，猜想PE，PB，AF之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．(3)如圖3，作于D，于E，若，，，當(dāng)DE最小時，請直接寫出DE的最小值．23．在平行四邊形ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點E為邊AD上一點，連接CE．(1)如圖1，點G在BD上，且DG＝DC，連接CG，過G作GH⊥CE于點H，連接DH并延長交AB于點M，若HG＝BM，求證：BM+DH＝DB；(2)如圖2，∠ABC＝120°，AB＝，點N在BC邊上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點P在點Q的左側(cè)）在線段CE上運動，PQ＝，連接BP、NQ，請直接寫出BP+PQ+QN的最小值．24．已知等腰直角與有公共頂點．（1）如圖①，當(dāng)點在同一直線上時，點為的中點，求的長；（2）如圖②，將繞點旋轉(zhuǎn)，點分別是的中點，交于，交于．①猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；②參考圖③，若為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是多少（直接寫出結(jié)果）．參考答案1．D【分析】分三種情況討論：①當(dāng)點E在BC上時，高一定，底邊BE最大時面積最大；②當(dāng)E在CD上時，△ABE的面積不變；③當(dāng)E在AD上時，E與D重合時，△ABE的面積最大，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論．解：分三種情況：①當(dāng)點E在BC上時，E與C重合時，△ABE的面積最大，如圖1，過A作AF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=AB=1，AF=，∴此時△ABE的最大面積為：×4×=2；②當(dāng)E在CD上時，如圖2，此時，△ABE的面積=S?ABCD=×4×=2；③當(dāng)E在AD上時，E與D重合時，△ABE的面積最大，此時，△ABE的面積=2，綜上，△ABE的面積的最大值是2；故選：D．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，并運用分類討論的思想解決問題．2．C【分析】過點B作BD⊥直線x＝4，交直線x＝4于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E．則OB＝．由于四邊形OABC是平行四邊形，所以O(shè)A＝BC，又由平行四邊形的性質(zhì)可推得∠OAF＝∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以O(shè)E的長固定不變，當(dāng)BE最小時，OB取得最小值，從而可求．解：過點B作BD⊥直線x＝4，交直線x＝4于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，直線x＝1與OC交于點M，與x軸交于點F，直線x＝4與AB交于點N，如圖：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC，∵直線x＝1與直線x＝4均垂直于x軸，∴AMCN，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD．∴BD＝OF＝1，∴OE＝4+1＝5，∴OB＝．由于OE的長不變，所以當(dāng)BE最小時（即B點在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB＝OE＝5．故選：C．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．3．D【分析】先依據(jù)勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，即可得到的長，再分三種情況，即可得到以、、、為頂點的平行四邊形的周長，進(jìn)而得出周長的最大值．解：由勾股定定理得：，則；過點作，垂足為，則，則，則，，由，得，再由勾股定理得：；如圖1：周長；如圖2：周長；如圖3：周長為最長．∵，并且即，故周長的最大值是故選：．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計算得到的長．4．C【分析】如圖，取的中點，連接、、，作于.首先證明，求出，，利用三角形中位線定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解決問題．解：如圖，取的中點，連接、、，作于.∵四邊形是平行四邊形，，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，在中，∵，，∴，∵，，∴，易知的最大值為的長，最小值為的長，∴的最大值為，最小值為，∴的最大值為，最小值為，∴的最大值與最小值的差為.故選：C．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點是證明∠ACD=90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．5．D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出AC＝＝4，OB＝＝，當(dāng)BE＝OE時，AE+CF的值最小，E為OB的中點，由直角三角形的性質(zhì)得出AE＝OB，同理：CF＝OD，即可得出結(jié)果解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵EF＝BD，∴OB＝EF＝OD，∴BE＝OF，OE＝DF，∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝，當(dāng)BE＝OE時，AE+CF的值最小，E為OB的中點，∴AE＝OB，同理：CF＝OD，∴AE+CF＝OB＝，即AE+CF的最小值為；故選D．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】如圖，取的中點，連接，作關(guān)于的對稱點，過作的延長線于點，連接，可知四邊形是平行四邊形，則，當(dāng)三點共線時取等于號，則的長度即為的最小值，求得即可解：如圖，取的中點，連接，作關(guān)于的對稱點，過作的延長線于點，連接，，四邊形是平行四邊形，，，當(dāng)三點共線時取等于號，則的長度即為的最小值，由作圖可知：，，，，，，，．故選A．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，將轉(zhuǎn)化為．7．C【分析】首先根據(jù)已知得出最小時，的位置，進(jìn)而利用三角形面積求出的長，進(jìn)而得出答案．解：當(dāng)為邊時，．當(dāng)為對角線時，如圖所示：過點作于點，過點作于點，當(dāng)于點時，此時最小，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，．，的最小值為：．故選：C．【點撥】此題主要考查了平行四邊形的判定以及三角形面積和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．8．B【分析】如圖，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分線和中位線的性質(zhì)求得的長度，根據(jù)垂線段最短，即可求解．解：如圖，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，∵∠BAD=45°，AB=10∴為等腰直角三角形，由題意可得，垂直平分，，∴，∴，在中，，當(dāng)、兩點重合時，即的最小值為故選：B．【點撥】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，靈活運用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．9．B【分析】取AB的中點M，連接CM，EM，當(dāng)CE＝CM+EM時，CE的值最大，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位線的性質(zhì)得到EMAC′＝1，根據(jù)勾股定理得到AB＝2，即可得到結(jié)論．解：取AB的中點M，連接CM，EM，∴當(dāng)CE＝CM+EM時，CE的值最大．∵將直角邊AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′，∴AC′＝AC＝2．∵E為BC′的中點，∴EMAC′＝1．∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．故選B．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各邊的長分別為，．因為，是邊上的兩個動點，是邊上的一個動點，求的最小值，就是需要轉(zhuǎn)換成同一直線上求解，即求關(guān)于的對稱點，作．構(gòu)建平行四邊形，作于，交于．利用平行四邊形和對稱圖形的性質(zhì)，找出線段之間的關(guān)系．解：如圖，過C作AB的對稱點C1，連接CC1，交AB于N；過C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，過C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的長度即為所求最小值，∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，∴四邊形C1DEC2是平行四邊形，∴C1D＝C2E，又∵CC1關(guān)于AB對稱，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，過C2作C2M⊥AB，則C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF，∴C2F．故選：B．【點撥】本題主要考查動點構(gòu)成的線段中最小值問題，轉(zhuǎn)換成三點共線，并在垂直的時候最小，找到對稱點，構(gòu)建最短路徑是解題的關(guān)鍵．11．【分析】先延長交于點，得出，再判定四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形的面積，最后根據(jù)，判斷的最大值即可．解：延長交于點，∵在正和正中，∴，∵，∴，∴，∴平分，又∵，∴，∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形的面積，又∵，在中，由勾股定理得：，∴，∴，即四邊形面積的最大值為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線是解答本題的關(guān)鍵．12．【分析】取的中點，的中點，連接，根據(jù)題意，當(dāng)在上運動時，在上運動，當(dāng)時，取得最小值，進(jìn)而勾股定理即可求解．解：如圖，取的中點，，的中點，連接，∴，∵，，∴，，，∴，，∴,，根據(jù)題意可得，當(dāng)在點時，在點，點與點重合，當(dāng)在點時，在點，點與點重合，∴當(dāng)在上運動時，在上運動，當(dāng)時，取得最小值，在中，，∴,故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，確定的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．13．##【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接、，過點作，且點在上方，，連接交于點，取，連接，．由軸對稱的性質(zhì)可得出的周長，此時最小，再結(jié)合勾股定理求解即可．解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接、，過點作，且點在上方，，連接交于點，取，連接，．，．，，∴四邊形為平行四邊形，．，，三點共線，此時的周長最小．，，即，，周長的最小值為：．故答案為：．【點撥】本題考查軸對稱—最短路線問題，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識．熟練運用軸對稱的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．9.6【分析】設(shè)交于點，過點作于點，勾股定理求得，等面積法求得，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)點與點，重合時，最小，進(jìn)而求得的最小值，即可求解．解：設(shè)交于點，過點作于點，如圖所示，在四邊形中，，，∵，∴，∵，∴,在中，，∵，∴，當(dāng)點與點，重合時，最小，∴的最小值為．故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．15．45【分析】連接，作點D關(guān)于直線的對成點T，連接、、．首先證明B、A、T共線，求出，證明四邊形EGCD是平行四邊形，推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，即可解決問題．解：如圖，連接、，作點D關(guān)于直線的對成點T，連接、、．∵，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，∴，，，∵，∴，∵D、T關(guān)于對稱，∴，，∴，∵，∴B、A、T共線，∴，∵，，∴四邊形EGCD是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，則的最小值為45．故答案為：45．【點撥】本題考查軸對稱，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會運用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．16．【分析】如圖，延長到，使得，連接，過點作于點．首先證明四邊形是平行四邊形，推出，推出點在射線上運動，當(dāng)點與重合時，的值最小，求出的長，可得結(jié)論．解：如圖，延長到，使得，連接，過點作于點．四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，點在射線上運動，當(dāng)點與重合時，的值最小，在中，，，，，．的最小值為．故答案為：．【點撥】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形度角的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．17．【分析】取AB中點O，連接CO、EO，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理求出CO、OE長，再根據(jù)CE≥OC-OE求出最小值即可．解：取AB中點O，連接CO、EO，∵在中，，∴，∵點E為BD中點，點O為AB中點，，∴，，∵CE≥OC-OE，∴，CE的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了中位線和勾股定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建三角形，利用三角形三邊關(guān)系求解．18．【分析】過C作CO⊥AB于O，過D作DH⊥AB于H，如圖1，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出OC=3，則可求得OB=OC=3，AB=3+3，繼而求出DH=3；過Q作QG⊥AB于G，連接DQ交AB于M，△QGM≌△DHM(AAS)，得到QG=DH=3，故Q到直線AB的距離始終為3，所以Q點在平行于AB的直線上運動，且兩直線距離為3，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)C，O，Q三點在一條直線上時，此時CQ最小，最小值為：CO+3，即可求解．解：如圖1，過C作CO⊥AB于O，過D作DH⊥AB于H，在Rt△ACO中，∠CAB=60°，∴∠ACO=30°，∴AO=AC=3，∴OC==3，在Rt△BCO中，∠CBA=45°，∴OB=CO=3，∴AB=AO+BO=3+3，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB=∠CAB=30°，在Rt△DHB中，∠CBA=45°，可設(shè)DH=HB=a，∴AD=2DH=2a，∴AH==a，∴AB=AH+BH=a+a，∴a+a=3+3，∴a=3，∴DH=3，如圖2，過Q作QG⊥AB于G，連接DQ交AB于M，∵四邊形DPQB為平行四邊形，∴DM=QM，在△QGM與△DHM中，，∴△QGM≌△DHM(AAS)，∴QG=DH=3，故Q到直線AB的距離始終為3，所以Q點在平行于AB的直線上運動，且兩直線距離為3，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)C，O，Q三點在一條直線上時，此時CQ最小，如圖3，最小值為：CO+3=3+3，故答案為：3+3．【點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂直線段最短，平行線間的距離，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，本題屬動點最短距離問題，綜合性較強(qiáng)．19．(1)(2)(3)萬元【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得、，作輔助線，從而求得，則可求得答案；（2）根據(jù)已知條件可得，從而的值轉(zhuǎn)化為求的值即可；（3）由題意可知為定值，從而將沿MN向下平移2km至，連接交于點，此時點N位于處，此時即為取最小值，過M作于點G，先判定四邊形和四邊形均為平行四邊形，再得出是等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得的長，則最短的綠道長度可得，從而費用的最小值可求得．解：（1）解：四邊形是平行四邊形，，，，，在中，過點作于點，如圖：，，，，，，；公園的面積為；故答案為：．（2）解：連接、，如圖：在中，，，，，，，，，．種植郁金香區(qū)域的面積為．（3）解：將沿向下平移至，連接交于點，此時點位于處，此時即為取最小值，過作于點，如圖：，，為的中位線，，四邊形和四邊形均為平行四邊形，，，，，，是等邊三角形，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，、、和的最小值為：，投入資金的最小值為：萬元．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點在最值問題中的綜合運用，本題難度略大．20．(1)12.5(2)(3)不是，，【分析】（1）根據(jù)題意，可以計算出等腰直角三角形的面積，從而可以得到四邊形的面積；（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．解：（1）解：由題意可得，，，則的面積，即四邊形的面積為，故答案為：12.5；（2）解：，，，，當(dāng)時，取最小值，最小值為2；（3）解：如圖，過點B作于H，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時，有最小值，即的最小值為，此時：，，是等邊三角形，．綜上可知，不是定值，的最小值為，此時平行四邊形的面積為．【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1），；（2）見分析；（3）【分析】（1）利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明；（2）延長至點F，使，連接CF，同（1）證四邊形是平行四邊形，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，推出，即可證明；（3）作輔助線（見分析），同（2）可證四邊形是平行四邊形，得出，同（1）可證四邊形是平行四邊形，得到，，；時，MC取最小值，取最小值，利用三角形等面積法求出MC，再利用勾股定理即可求出CE．解：（1）解：∵是的中線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．故答案為：，；（2）證明：如圖，延長至點F，使，連接CF，BF，∵是的中線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．∴，，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（3）解：如圖所示，連接AE，BM，延長DM至點N，使，連接CN，BN．∵點D是的中點，∴，又∵，，∴．同（2）可證，四邊形是平行四邊形，∴，∴當(dāng)MC取最小值時，取最小值，∵，∴時，MC取最小值．同（1）可證四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，，∴，∴，即，∴，又∵在中，，，∴．故線段CE的長為．【點撥】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形面積公式等，第3問有一定難度，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用第（1）（2）問的結(jié)論，利用等面積法求出MC．22．(1)；(2)，證明見詳解；(3)DE的最小值為．【分析】（1）過點A作AG⊥BC于點G，由,列等量關(guān)系,計算得到的長，然后利用三角形面積公式求解即可；（2）連接CE并延長，交BA的延長線與點H，證明，,進(jìn)一步推理得到；由三角形中位線定理知道；證明，得到,代入中即可得到答案；（3）延長PD到點M，使MD=PD，延長PE到點N，使NE=PE，連接AP、AM、AN、MN，過點A作AQ⊥MN于點Ｑ，推理得到當(dāng)AP有最小值的時候，DE有最小值，在△ABC中，當(dāng)AP⊥BC的時，AP有最小值，利用勾股定理求解即可．(1)解：過點A作AG⊥BC于點G，如下圖：∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，在中，，，∴，設(shè)，則，由勾股定理，得：，即，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：，∴，∴BC=2BG=2，∴，∴；(2),理由如下：證明：連接CE并延長，交BA的延長線與點H，作圖如下：∵，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在中，，由勾股定理，得：,即：，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴，∴，又∵F是BE的中點，∴AF是的中位線，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；(3)解：延長PD到點M，使MD=PD，延長PE到點N，使NE=PE，連接AP、AM、AN、MN，過點A作AQ⊥MN于點Ｑ，如下圖：∴DE為△PMN的中位線，∴MN=2BE，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，在中，AM=AN，，，∴，，∴，在中，，∴，由勾股定理，得：，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴當(dāng)AP有最小值的時候，DE有最小值，∴在△ABC中，當(dāng)AP⊥BC的時，AP有最小值，過點B作BF⊥AC于點F，如下圖：∵，∴∠BFC=∠BFA=，在中，，∴，∴FB=FC，由勾股定理，得：，即，，∵，∴，在中，，∴，∴，由勾股定理，得：，即：，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，由勾股定理，得，即，∵，∴，∴AP的最小值為3，∴，∴DE的最小值為：．【點撥】本題考查勾股定理解直接三角形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，直接開平方法解一元二次方程，二次根式的加減，等知識點，能夠用化歸的思想，利用輔助線畫準(zhǔn)確圖形是解該類型題的關(guān)鍵．23．(1)見分析(2)【分析】（1）如圖1，過點D作DF⊥DM交CE于點F，設(shè)CE與BD交于點K，先證明△DCF≌△DGH（ASA），進(jìn)而證得△DFH是等腰直角三角形，得出FH＝DH，再證明△DMB≌△CGH（AAS），推出CF＝BM，即可證得結(jié)論；（2）如圖2，在CD上截取CG＝CN，連接GQ，過點B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，連接DF交CE于點T，連接QF，過點F作FM⊥BD于點M，過點G作GH⊥DF于點H，應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和含30°直角三角形三邊關(guān)系可得：BC＝2CD＝2，利用勾股定理可得BD＝，再利用含30°直角三角形三邊關(guān)系可得：BM＝BF＝，F(xiàn)M＝BM＝，進(jìn)而可得DM＝，求得：FG＝，再證四邊形BPQF是平行四邊形，得出BP＝FQ，再證明△CNQ≌△CGQ（SAS），得出QN＝QG，根據(jù)FQ+QG≥FG，可得出：當(dāng)點Q在線段FG上時，F(xiàn)Q+QG的最小值為FG，即BP+QN的最小值為FG，即可求得BP+PQ+QN的最小值．(1)如圖1，過點D作DF⊥DM交CE于點F，設(shè)CE與BD交于點K，∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE，∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°，∴∠CDF＝∠GDH，∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC，∴∠DCF＝∠DGH，在△DCF和△DGH中，，∴△DCF≌△DGH（ASA），∴DF＝DH，CF＝GH，∵∠FDH＝90°，∴△DFH是等腰直角三角形，∴∠DFH＝∠DHF＝45°，F(xiàn)H＝DH，∵DC＝DG，∠CDG＝90°，∴∠CGD＝DCG＝45°，∴∠CGD＝∠DHF，∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH，∴∠GCH＝∠BDM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，∴∠DBM＝∠