高中數(shù)學(xué)40條秒殺公式

高中數(shù)學(xué)40條秒殺公式

1、適用條件：［直線過焦點］,必有ecosA=(x-l)/(x+l),其中A為直

線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注上述公式適合

一切圓錐曲線。如果焦點內(nèi)分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式；如果

外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+l)/(x-l),其他不變。

2、函數(shù)的周期性問題(記憶三個)：(1)若￡&)=dG+1<),則T=2k：(2)

若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。

注意點：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：常

數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相

加不是周期函數(shù)。

3、關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下：(1)若在R上(下

同)滿足:f(a+x)=f(b-x)恒成立,對稱軸為x=(a+b)/2(2)函數(shù)y=f(a+x)

與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)

圖像關(guān)于(a,b)中心對稱

4、函數(shù)奇偶性：(1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0(2)對于含參

函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方項(3)奇偶性作用不大，

一般用于選擇填空

5、數(shù)列爆強定律：1.等差數(shù)列中：5奇=血中，例如Si3=13a：2.等差數(shù)

列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3.等比數(shù)列中，上述2中各

項在公比不為負一時成等比，在q=T時，未必成立4.等比數(shù)列爆強公式：

S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q

6、數(shù)列的終極利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介紹公

式:對于a*pan+q,al已知,那么特征根x=q/(bp),則數(shù)列通項公式為

an=(al-x)p2(n-l)+x,這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩，且不常

用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造

(兩邊同時加數(shù))

7、函數(shù)詳解補充：(1)復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外(2)復(fù)

合函數(shù)單調(diào)性：同增異減(3)重點知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知

道三次函數(shù)曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導(dǎo)后

導(dǎo)數(shù)為0,根X即為中心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可以用x帶入原函數(shù)界定。另外，

必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8、常用數(shù)列bn=nX(2?n)求和Sn=(n-1)X(22(n+l))+2記憶方法前面

減去一個1,后面加一個，再整體加一個2

9、適用于標(biāo)準方程(焦點在x軸)爆強公式卜橢=-{(b2)xo}/{(a2)yo}

女雙={62”0}/{(a2)yo)k拋=p/yo注：(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所

截段的中點。

10、強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技已知直線L1：

alx+bly+cl=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：(充要條

件)ala2+blb2=0;若它們平行:(充要條件)alb2=a2bl且alc2Wa2cl[這個

條件為了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直

接必殺！

11、經(jīng)典中的經(jīng)典：相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對于

Sn=l/(1X3)+1/(2X4)+1/(3X5)++1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-

l/(n+2)]注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿

紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔！

12、爆強△面積公式S=l/2|mq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,

q)注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標(biāo)求面積的問題！

13、你知道嗎？空間立體幾何中：以下命題均錯：1.空間中不同三點確

定一個平面2.垂直同一直線的兩直線平行3.兩組對邊分別相等的四邊形是

平行四邊形4.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面5.

有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱6.有一個面

是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對初中生不適用。

14、一個小知識點所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15、求f(x)=|x-1|+|x-2I+|x-3|+…+|x-n|(n為正整數(shù))的最

小值。答案為：當(dāng)n為奇數(shù)，最小值為(n2-l)/4,在x=(n+l)/2時取到；當(dāng)

n為偶數(shù)時，最小值為r)2/4,在*』/2或n/2+l時取到。

16、V((a2+b2))/22(a+b)/2NJab22ab/(a+b)(a、b為正數(shù)，是

統(tǒng)一定義域)

17、橢圓中焦點三角形面積公式S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2

/tan(A/2)說明：適用于焦點在x軸，且標(biāo)準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾

角。

18、爆強定理：空間向量三公式解決所有題目cosA={向量a.向量b}

/［向量a的模X向量b的模］一：A為線線夾角二：A為線面夾角(但是公式

中cos換成sin)三：A為面面夾角注：以上角范圍均為［0,派/2］

19、爆強公式產(chǎn)+22+32+???+/=1/6(n)(n+1)(2n+l);產(chǎn)3+223+323+…+n

23=1/4(n2)(n+1)2

20、爆強切線方程記憶方法寫成對稱形式，換一個x,換一個y。舉例

說明：對于y2=2px可以寫成yXy=px+px再把(xo,yo)帶入其中一個得：y

Xyo=pxo+px

21、爆強定理：(a+b+c)2n的展開式［合并之后］的項數(shù)為：C/：

22、［轉(zhuǎn)化思想］切線長1=J(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，r

為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。

23、對于y2=2px,過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為

8p0爆強定理的證明：對于y2=2px,設(shè)過焦點的弦傾斜角為A.那么弦長可

表示為2p/((sinA>),所以與之垂直的弦長為2p/［(cosA)2］,所以求和再

據(jù)三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于

CD)

24、關(guān)于一個重要絕對值不等式的介紹爆強Ia-b|WIa土b|WIa

I+IbI

25、關(guān)于解決證明含In的不等式的一種思路：舉例說明：證明

1+1/2+1/3+…+l/n>ln(n+l)把左邊看成是1/n求和,右邊看成是Sn。解：

令an=l/n,令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+1)Tnn,那么只需證an>bn即可，

根據(jù)定積分知識畫出y=l/x的圖。an=lXl/n=矩形面積〉曲線下面積=bn。當(dāng)

然前面要證明l>ln2o注：僅供有能力的童鞋參考！！另外對于這種方法可以

推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明：前提是

含ln0

26、爆強簡潔公式：向量a在向量b上的射影是：(向量aX向量b的

數(shù)量積)/[向量b的模]。記憶方法：在哪投影除以哪個的模

27、說明一個易錯點：若f(x+a)[a任意]為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是

f(x+a)=-f(-x+a)[等式右邊不是-f(-x-a)),同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，

可得f(x+a)=f(-x+a)牢記！

28、離心率爆強公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點，其中

A為角F1PF2,兩腰角為M,N

29、橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。

比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界

即可。比你去=0不知道快多少倍！

30、[僅供有能力的童鞋參考]]爆強公式：和差化積sinO+sin"

=2sin[(9+巾)/2]cos[(0-6)/2]sin0-sin力=2cos[(9+<t>)/2]sin[(9

-<t>)/2]cos0+cos小=2cos[(0+<|))/2]cos[(0-<t>)/2]cos0-cos=-

2sin[(0+6)/2]sin[(0-6)/2]積化和差sinasin3=[cos(a-0)-

cos(a+B)]/2cosacosB=[cos(a+B)+cos(a-p)]/2sinacosB

=[sin(a+g)+sin(a-p)]/2cosasinP=[sin(a+P)-sin(a-p)]/2

31、爆強定理：直觀圖的面積是原圖的。2/4倍。

32、三角形垂心爆強定理：1.向量0H=向量0A+向量0B+向量0C(0為三

角形外心，H為垂心)2.若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=l/x的圖象上，則

它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。

33、維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂))正三角形內(nèi)(或邊界上)任

一點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。

34、爆強思路如果出現(xiàn)兩根之積xlx2=m,兩根之和xl+x2=n,我們應(yīng)當(dāng)

形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù)，再利用△大于等于0,可

以得到m、n范圍。

35、常用結(jié)論：過(2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。。為

原點，連接AO.B0。必有角A0B=90度

36、爆強公式：ln(x+l